2020高考理科数学一轮复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

1、1 . 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 (5) _ 如果 _ ，且 ，那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 1 .命题的概念 (1) 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或 式子表达的，可以 _ 的陈述句叫做命题， 其中 _ 的语句叫做真命题， _ 的语句叫做假命题. (2) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命 题为 _ . (3) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这 样的两个命题称为 _ . (4) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定

2、，这 样的两个命题称为 _ . 一般地，设若 p，贝 U q”为原命题，那么 _ 就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题. 2 .四种命题间的相互关系 (1) 四种命题间的相互关系图(请你补全) 真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有 _ 的真假性，即等价； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真 假性 _ . 3 .充分条件和必要条件 (1) _ 如果 p? q,则称 p 是 q 的 _ , q 是 p 的 如果 _ ，且 _ ，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称 p 是 q 的 _ ，记作 如果 p? q,但 q p,那么称 p 是 q 的 _ 条件

3、. (4)如果 _ ，但 _ ，那么称 p 是 q 的必要不充分条件. 自查自纠： 1 . (1)判断真假判断为真判断为假 互逆命题 互否命题 互为逆否命题 若 q,则 p 若綈 p，则綈 q 若綈 q,则綈 P 2 . (1) (2) 相同 没有关系 3 . (1)充分条件 必要条件 p? q q? p 充要条件 p? q 充分不必要 (4)p q q? p p q q p 下列语句为命题的是 () A. 对角线相等的四边形 B . av 5 C . x2 x+ 1 = 0 D .有一个内角是 90的三角形是直角三角形 解：只有选项 D 是可以判断真假的陈述句， 故 选 D. (2018 天

4、津)设 x R，则“ X号v2”是 “ x3v 1” 的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 考点梳理 基础自测 卜小易全活牛刀小试 解：因为 xv*，所以 0v xv 1 又因为 x3v 1，所以 xv 1.因为 Ov xv 1? xv 1,但 xv 1 0v xv 1 1 1,所以“ X 2 V1是“ X3v 1”的充分不必要条 件.故选A. (2018 北京)设 a, b 均为单位向量，则 “a 3b|= |3a+ b|” 是“ a 丄 b”的 ( ) A .充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既

5、不充分也不必要条件 解：|a 3b| = |3a+ b|的两边平方得 |a|2 6a b+ 9|b|2 = 9|a|2 + 6a b + |b|2,所以 8|a|2+ 12a b 8|b|2 = 0, 所以 2|a|2 + 3a b 2|b|2 = 0因为 |a|= |b|= 1,所以 3a b =0,所以 a b = 0，所以 a 丄 b反之，步步可逆，故 是充分必要条件.故选 C. Q (教材练习改编)命题“若a=才,则 tan a= 1” 的逆否命题是 _ . 解：原命题的逆否命题是 “若 tanaM 1，则 a n .故填若 tan a 1,贝U an 4 4 已知集合 M = x|1

6、xa , N= x|1x3，则 “a= 3”是“ M? N”的 _ 条件. 解：a= 2 时亦有 M? N.故填充分不必要. 否命题： 在厶 ABC 中， 若 AB AC,则/C B. 逆否命题：在厶 ABC 中，若/ C 3， 则 x2 2x 3 0. 否命题：若 x2 2x 3W 0,则一 1W x 3. 逆否命题：若 一 1W x 3，贝U x2 2x 3 3”的否定形式是“ x 1 且 x3”，即卩 “1W xb，则 ac be ; (2) 在厶 ABC 中，若 ABAC,则/ CZ B; (3) 若 x2 2x 30,贝V xv 1 或 x 3. 解：(1)因为当 e= 0 时，ae

7、2= be2,所以原命题 为假命题. 逆命题：若 ae2 be2,贝U a b.它为真命题. 否命题：若 aW b,贝U ae2 be2.它为真命题. 逆否命题：若 ae2 be2，则 a Z B,贝 U AB AC. (1) 在厶 ABC 中，p： A = B, q： sinA= sinB; 2 2 (2) 已知 x, y R , p： (x 1) + (y 2) = 0, q： 指出下列各组中, “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条 件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答 ). (x 1)(y 2) = 0； (3) 非空集合 A, B(AAB= ?)中,p： x (A U B

8、), q： x B; (4) 对于实数 x, y, p: x+ yz 8, q： XM 2 或 yM 6. 解：在厶 ABC 中，A= B? sinA= sinB;反之， 若 sinA = sinB,因为 A 与 B 不可能互补(三角形三个 内角之和为 180 ),所以只有 A= B,故 p 是 q 的充 要条件 (2) 条件 p： x= 1 且 y= 2,条件 q： x= 1 或 y= 2, 所以 p? q 但 q . .p,故 p 是 q 的充分不必要条件. (3) 显然 x (AU B)不一定有 x B,但 x B 一定 有x (A U B)，所以 p 是 q 的必要不充分条件. 易知綈

9、 p: x+y=8，綈 q： x=2 且 y=6，显然 綈 q 綈 p,但綈 p 吐綈 q,即綈 q 是綈 p 的充分不必 要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知， p 是 q 的充分不必要条件. 点拨： 充要条件的三种判断方法：定义法：根据 p ? q, q? p 进行判断；集合法：根据由 p, q 成立 的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；等 价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性， 把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断 .这个 方法特别适合以否定形式给出的问题 . (1)(2017 辽宁实验中学月考)若 a, b, c, d R，则a + d= b+ c” 是a, b, c,

10、d 依次成 等差数列”的 ( ) A .充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D .既不充分也不必要条件 解：若 a, b, c, d 依次成等差数列，则有 a+ d =b+。；反之，如 2 + 3= 1 + 4，但 2, 1, 4, 3 不成 等差数列.所以a+ d= b + c”是a, b, c, d 依 次成等差数列”的必要不充分条件.故选 B. (2)(2018 上海春季高考题)设 Sn为数列an的 前 n项和，“ an是递增数列”是“ Sn是递增数列” 的 () A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C 充要条件 D.既非充分又非必要条件 解：若 an= 2n 10

11、,则 0v &,所以非充分.若 an= n则 Sn递增，此时an递减，所以非必要故 选D. 类型三充要条件的应用 (1)(2018 天津一中月考)已知 p： xk, 3 q ： 亡 v 1，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 I I k 的取值范围是 B . (2 , + a) D . ( a, 1 解： 由 dhv1， 得沽-1 =汁0， 即(x- 2)(x+ 1) 0,解得 xv 1 或 x 2由 p 是 q 的充分不 必要条件知，k 2故选 B. (2)(2018 海口模拟)已知集合 A =1 x|23,即 m2故选 C. 点拨： 求解充要条件的应用问题时，一般是把充分

12、条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系， 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 (组) 求解.求解参数的取值范围时，一定要注意对区 间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关 系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号 决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误 . (1)设 p： |4x 3|w 1, q： x2 (2a+ 1)x+ a(a + 1)w 0,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实 数 a 的取值范围是( ) A. 0, B0, 一1 (1 C .(- a,0 U 2，+ a D .(-a,0) u $，+a；A . 2 ,+ a) C. 1 ,+ a) 1 2

13、 解： 由|4x 3|w 1 得 2 1 a 2, 所以 0w mw 3.故填0, 1 + mw 10, “否命题”与“命题的否定”是两个不同的概 念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其 结论，而 1 .命题及其真假判断 (1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否 具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条 件.只有这两个条件都具备的语句才是命题 . 判断一个命题的真假，首先要分清命题的条 件和结论.对涉及数学概念的命题真假的判断，要 以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题, 且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断 . 2 .四种命题间的相互关系及应用 (1) 在判断四种命

14、题之间的关系时，首先要注意 分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与 结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性， 一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的 “逆命题”“否命题” “逆否命题” (2) 当一个命题有大前提而要写其他三种命题 时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由 多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时， 应把其中一个(或几个)作为大前提. (3) 判断命题的真假， 如果不易直接判断， 可正 难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断 3 . “否命题”与“命题的否定”的区别 “命题的否定”只否定命题的结论 4 .充要条件的三种判断方法 (1) 定义法：分三步进行，第

15、一步，分清条件与 结论；第二步，判断 p? q 及 q? p 的真假；第三步， 下结论. (2) 等价法：将命题转化为另一个等价且容易判 断真假的命题.一般地，这类问题由几个充分必要 条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理 判断真假. (3) 集合法：写出集合 A = x|p(x)及 B= x|q(x), 利用集合之间的包含关系加以判断： 若 A? B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 B? A，贝U p 是 q 的必要条件； 若 BA,则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 A=B，则 p 是 q 的充要条件； 若 AE B 且 B 二

16、A,则 p 是 q 的既不充分也不必 要条件. 名师点睛 3. 课时作业 卜娄漏补缺拓展延伸 1 . (2018 四川成都一诊)命题“若 a b，则 a+ c b+ c”的否命题是 ( ) A .若 aw b，贝U a + cw b+ c B .若 a+ cw b+ c,贝U aw b C.若 a+ c b+ c,贝U a b D .若 a b，贝U a + cw b+ c 解：“若 p,则 q”的否命题是“若綈 p,则綈 q”，所以原命题的否命题是 “若 aw b,则 a + cw b + c” .故选A. 2 . (2018 天津模拟)设 x 0, y R,则“ x y” 是“ x |y|

17、” 的 ( ) A .充要条件 B. 充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 解：xyx |y|(如 x= 1, y= 2).但 x |y|时， 必有 xy.所以“xy”是“x|y|”的必要不充分条 件.故选 C. 3 . (2017 南昌三校联考)下列说法中正确的是 ( ) A .若 a 3,贝U sin a sin 3 B .命题“？ x 1, x4 5 1” 的否定是“ ？ xw 1, x2 W 1” 4 1 C .命题“若 x 3, sin a= sin 3, 故 A 错误；命题“？ x 1, x2 1 ”的否定是“？ x0 1, x0 1”，故 B 错误；命

18、题“若 x 3 x-1 1 4 1 3”的逆命题是“若 3,贝V x 3 x 1 3 x1 得 1 v x 3 此时满足 xsinB,贝U A B”的 逆命题是假命题； “三个数 a, b, c 成等比数列”是“ b = /03” 的既不充分也不必要条件； 命题“？ x R, x3x2 + 1W 0”的否定是“ ？ X0 R, x0 x2 + 1 0 ”. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 解：若 f(x)= 2x肯+ a 为奇函数，则 f(0) = 0,解 的对边分别为 a, b,由 A B,可得 a b，由正弦 定理得sinA sinB,原命题的逆命题是真命题， 所以 不正确；三

19、个数 a, b, c 成等比数列，则 b2= ac, 所以b= ac,若 a = b= c= 0，则满足 b=ac,但 三个数 a, b, c 不成等比数列，所以 “三个数 a, b, c 成等比数列”是“ b= .ac”的既不充分也不必要条 件，所以正确；命题“ ？ x R, x3 x2+ 1W 0 ”的 否定是“？ x R, x0 X0+ 1 0”，所以正确故 选 C. 6 .设 a, b 为正数， 则“ a b1 ”是“ a2 b21 ” 的 () A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解： a b1， 即 ab+ 1因为 a, b

20、为正数， 所 以 a?(b + 1)2= b? + 1 + 2bb?+ 1，即 a? b?1 成 立.反之，当a= 3, b = 1 时，满足 a2 b21，但 a b1 不成立.所以 “a b1 ” 是 “a2 b21 ” 的 充分不必要条件.故选 A. 7 .命题“若 x, y 都是偶数，则 x + y 也是偶数” 的逆否命题是 _ . 解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否 命题是“若 x+ y 不是偶数，则 x, y 不都是偶数”.故 填若 x+ y 不是偶数，则 x, y 不都是偶数. 8 . (2018 黑龙江大庆教学质量检测 )已知 p： x 10,解得 m9.故 填m|m 9. 9 .写出命题“若.x 2+ (y+ 1)2= 0,贝V x= 2 且 y= 1 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断 它们的真假. 解：逆命题：若 x= 2 且 y= 1，U . x 2+ (y + 1)2= 0 ； (真) 否命题：若.x 2+ (y+ 1)2z0，贝y xz 2 或 yM 1；(真) 逆否命题：若 XM2 或 yM 1，则. x 2+ (y+ 1)2M 0.(真). 10 .若 p： a R, a2