向量基础知识汇总

1、向量基础知识梳理1向量：既有，又有的量叫向量.2. 向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作 .3. 向量的有关概念：(1) 零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .(2) 单位向量：长度为 的向量叫做单位向量.(3) 相等向量：且的向量叫做相等向量.(4) 平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量. 记法：向量a平行于b，记作. 规定：零向量与 平行.厂1.向量的加法法则乞/ .(1) 三角形法则如图所示，已知非零向量 a, b,在平面内任取一点 A，作AB = a, BC = b,则向量叫做a与ILU uuub的和(或和向量)，记作，即a+ b = AB + BC

2、 =上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有 a+ 0=+=.(2) 平行四边形法则为邻边作 ，则对角线上的向量 = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.2. 向量加法的运算律(1) 交换律：a+ b=.(2) 结合律：(a+ b)+ c=.3. 向量的减法(1) 定义：a b= a +( b),即减去一个向量相当于加上这个向量的 .umruun(2) 作法：在平面内任取一点0,作OA= a, OB = b，则向量a b =.如图所示.(3) 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为,uuu uun

3、被减向量的终点为的向量.例如：0A 0B =.1向量数乘运算实数入与向量a的积是一个 ,这种运算叫做向量的 ，记作,其长度与方向规定如下：(1) |刊=(2)扫(0)的方向时，与a方向相同 时，与a方向相反特别地，当 =0 或 a= 0 时，0a =或 X) =.2. 向量数乘的运算律(1) X ( g)=.(2) ( X+ p) a =.(3) X (a + b)=.特另U地，有(一 X a =;X (a b) =.3. 共线向量定理向量a (0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数X使.4. 向量的线性运算向量的、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b,以及任意实数 X 口、匹，恒有 X

4、 ( pa土!pb)=.1. 平面向量基本定理(1) 定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a,实数X, X,使a =.(2) 基底：把 的向量e1, e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个=0 (0°<180° ,叫做uuu uuua 和 b,作 OA = a, OB = b，则向量a与b的夹角. 范围：向量 a与b的夹角的范围是 . 当0= 0°寸，a与b. 当0= 180°时，a与b.(2)垂直：如果 a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作.3.平面向量的坐标表示(1

5、) 向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解.(2) 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i, j作为基底，对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x, y使得a=，则叫作向量a的坐标，叫作向量的坐标表示.ULUI(3) 向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x, y),则OA =，若A (X1,屮)，B (X2,uuu y2),贝H AB =.1平面向量的坐标运算()若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),则a+ b =,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2) 若a =( X1 , y1)

6、, b=( X2 , y2),贝U a- b =,即两个向量差的坐标等于这 两个向量相应坐标的差.(3) 若a =( x , y),入 R ,贝U沦=,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2. 两向量共线的坐标表示设 a =( X1 , yj , b=( X2 , y2).(1) 当 a / b 时，有.(2) 当a / b且X2y2丰0时，有.即两向量的相应坐标成比例.uuu uuu3. 若RP =沪卩2 ,贝V P与卩1、P2三点共线.当当当P位于线段PlP2的内部，特别地 X= 1时，P为线段P1P2的中点;P位于线段PlP2的延长线上；P位于线段PlP2的反向延长

7、线上.1 平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b,我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a b, 即卩a b = |a|b|cos 0,其中B是a与b的夹角.(2)规定：零向量与任一向量的数量积为(3) 投影：设两个非零向量 a、b的夹角为0贝U向量a在b方向的投影是 ，向量b在a方向上的投影是2. 数量积的几何意义a b的几何意义是数量积 a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.3. 向量数量积的运算律(1) a b = (交换律);(2) (扫) b= (结合律);(3) (a + b) c = (分配律).1 .平面向量数量积的坐标表示若a =( X1,

8、 yj, b=( X2, y2),贝U a b=.即两个向量的数量积等于 .2. 两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),则a丄b? .3. 平面向量的模(1) 向量模公式：设 a=( X1 , yj ,则|a=.、ILW(2) 两点间距离公式：若 A (X1 , y1), B (x2 , y2),贝V |AB| =4. 向量的夹角公式设两非零向量 a=( X1 , y1) , b =( x2 , y2), a与b的夹角为 0贝U cos 0=.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a/ b( bz 0