2020高考理数(北师大版)教学案第2章第9节函数模型及其应用

1、 第九节函数模型及其应用 考纲传真1了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征 ，结合具体实 例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模 型(如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数 模型)的广泛应用 1. 常见的几种函数模型 (1) 一次函数模型：y= kx+ b(0). k 反比例函数模型：y=x+ b(k, b 为常数且 0). 入 (3) 二次函数模型：y= ax2 + bx+ c(a, b, c 为常数，a0). (4) 指数函数模型：y= a bx + c(a, b, c 为常数，b0, b 1, a0). (5) 对数函数模

2、型：y= mlogax+ n(m, n, a 为常数，a0, a 1, 0). (6) 幕函数模型：y= a xn+ b(aM 0). 2. 三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 y= ax(a 1) y= logax(a 1) y=xn( n 0) 在(0, +) 上的增减性 增加的 增加的 增加的 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表 现为与 X 轴平行 随 n 值变化而各有 不同 值的比较 存在一个 x0,当 xX0时，有 logaXVxnvax 3.解函数应用题的步骤课刖 知识全通关 常用结论 a 形如

3、 f（x） = x+-（a0）的函数模型称为“对勾”函数模型： X （1）该函数在（一, a和a, +）内递增，在-a, 0和（0,a上递 减. （2 ）当 x 0 时，a 时取最小值 2 a, 当 xv0 时，x= 、ja 时取最大值一 2, a. 基础自测 1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“x” ） （1）函数 y=2x与函数 y= x2的图像有且只有两个公共点. （ ） （2）幕函数增长比直线增长更快. () (3)不存在 X0,使 ax0VxSvIogaX。. () (4)f(x) = x2, g(x) = 2x, h(x) = log2X, 当 x (4

4、,+x )时，恒有 h(x) vf(x)v g(x).() 答案（1）x x x V 2在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表，则 x, 2 A. y = 2x B . y=x 1 C. y= 2x 2 D. y= log2X D 当 x= 0.50 时，y= 0.99,从而排除选项 A、C,又当 x= 2.01 时，y= 0.98,从而排除选项 B,故选 D . 3. （教材改编）一个工厂生产一种产品的总成本 y（单位：万元）与产量 x（单位: y 最适合的函数是（） X 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 台)之间的

5、函数关系是 y= 0.1x2 + 10 x+ 300(0v x 240, x N),若每台产品的售 价为25 万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润二销售收入- 产品成本)时的产量是() A. 70 台 B. 75 台 C. 80 台 D. 85 台 2 B 由题意可知，利润 f(x) = 25x y= 0.1x + 15x 300, (0vx 100 时，y= 100X 0.5+ (x 100)x 0.4 =0.4x+ 10. 0.5x，0vx 100. y= 0.5x，0vx 100 100 由题意可知，当 0v x8 时，L(x)= 5x 6x + 罗38 3= 35- x

6、+ 1 2 (2)当 Ovxv 8 时，L(x) = 3(x 6)2 + 9. 此时，当 x= 6 时，L(x)取得最大值 L(6)= 9 万兀， 当 x8 时，L(x) = 35 x+100 35 2 , x 谡、35 20= 15,此时，当且 仅当 x =乎，即 x= 10 时，L(x)取得最大值 15 万元.因为 9 8. 跟踪练习(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加 工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可 食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p = at2 O.fi 0,7 0.5 + bt+ c(a, b, c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根

7、 据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 () A. 3.50 分钟 C. 4.00 分钟 B. 3.75 分钟 D. 4.25 分钟 (2)(2019沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小 孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y= ae_bt(cm3),经过 8 min 后发现容 器内还有一半的沙子，则再经过 _ min,容器中的沙子只有开始时的八分 之一. B (2)16 根据图表，把(t, p)的三组数据(3,0.7), (4,0.8), (5,0.5)分别 代入函数关系式， | 0.7= 9a + 3b + c, 联立方程组得 0.8=

8、16a + 4b+ c, 0.5= 25a + 5b+ c, 7a + b = 0.1, 消去 c 化简得 9a + b = 0.3, a= 0.2, 解得 b= 1.5, c= 2. 所以 p= 0.2t2 + 1.5t 2 15 刁+ 225 45 16 + 16 2 所以当 t = -4 = 3.75 时，p 取得最大值, 即最佳加工时间为 3.75 分钟. (2)当 t= 0 时，y= a,当 t= 8 时，y= ae_8b=1a, e-8b = 2 容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即 y= ae-bt=器，e_b 8= (e-8 b)3= e-24b,则 t = 24,所以再经过

9、 16 min. 构建函数模型解决实际问题 霆型 _ 【例 2】 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若 每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超 出 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后 的所得) (1) 求函数 y= f(x)的解析式及其定义域； (2) 试问当每辆自行车的日

10、租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 当 x0，解得 x2.3. /x N， 3x6 时，y= 50 3(x- 6)x- 115. 2 令50 3(x-6)x- 1150，有 3x 68x+ 115v0. 又 x N ， 6v x 20(x N )， 50 x 1153Wx6，x N* ), 故 y= 2 * 3x2 + 68x 1156V x 20，x N ) (2)对于 y= 50 x 115(3= x 6, x N*),显然当 x= 6 时，ymax= 185. 2 34 + 詈(6 x 185, 当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多对于 y= 3x*

11、1 2 3 + 68x 115= 3 x3 + x 表示上市时间，f(x)表示价格，记 x= 0 表示 4 月 1 号，x= 1 表示 5 月 1 号，, 以此类推 x 0,5) (1) 在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势， 请你选择，并简要说明理由； 对中所选的函数 f(x)，若 f(2)= 11, f(3)= 10,记 g(x) =f x 13, 经过多年的统计发现，当函数 g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显， 请预测明年拓展外销市场的时间是几月 1 号？ 解(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先递增后一直递减，基本符合 开口向下的二次函数变化趋

12、势， 故应该选择 f(x) = px2 + qx+ 7. (2) 由 f(2) = 11, f(3) = 10 解得 f(x)= x2 + 4x+ 7. f x 2x 13 g(x)= x+ 1 2 x 2x+ 6 x+ 1 + x+ 1 4 当且仅当 x+ 1 = 3,即 x= 2 时等号成立. 所以明年拓展外销的时间应为 6 月 1 号. 可以选用二次函数模型 y= ax2 + bx+ c a, b, c 均为常数，a0 . 3 对数函数底数大于 1 时增长越来越慢，而指数函数底数大于 1 时增长 越来越快 跟踪练叼 某商场 2018 年 1 月份到 12 月份销售额呈现先下降后上升的趋势

13、， 因为 x+ 1 4 下列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额 f(x)与月份 x 的关系且满足 f(1) =8, f(3)= 2 的函数为( ) x A. f(x) = 20 X 2 B. f(x) = 6log3 x+ 8 2 C. f(x) = x 12x+ 19 D. f(x) = x2 7x+ 14 D 把 f(1) = 8, f(3)= 2 逐一代入四个选项中，并结合 f(x)与 x 间呈先下降后 上升的趋势，不难选出选项 D 符合.规律方法构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 (1) 构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解 (2) 构建分段函数模型，

14、应用分段函数分段求解的方法. a (3) 构建 f(x) = x+ x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. 入 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制 跟踪练习(2016 四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投 入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研 发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年 份是(参考数据：lg 1.120.05, lg 1.3 0.11, lg 2 0.30)( ) A. 2018 年 B. 2019 年 C. 2020 年 D. 2021 年 B 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元.由 130(1+ 12%)n200,得 1.12 還两边取常用对数，得 n严皆 =罟，二 n4,A从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 函数模型的选择 14| _ 【例 3】(2019 沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从 4 月 1 号开始仅 能持续 5 个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价 格在原有价格基础之上继续下跌.