《高等数学I》教学大纲

1、高等数学教学大纲课程名称：高等数学 Advanced Mathematics课程性质：通识课 公共必修课 学 分：11总 学 时：170学时 理论学时：170学时适用专业：本（工）科各专业先修课程：教学目的与要求：高等数学是高等院校本科学生数学教育都应达到的合格要求，也是选学工科各专业学生的基本要求，因此该课程不仅是高等院校本科数学教育的一门通识课程，也是工科本科各专业的一门重要基础理论课程与核心课程，它的教学目的与要求是：1. 使学生获得高等数学的基本概念、基本理论与基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础；2. 使学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象

2、能力；具有较强的自学能力；3. 使学生学习体会研究问题解决问题的一般科学方法，培养学生用数学方法解决实际问题的意识、兴趣和能力。教学内容与学时分配序号章目名称学时分配第一章函数与极限20学时第二章导数与微分10学时第三章微分中值定理与导数的应用12学时第四章不定积分12学时第五章定积分12学时第六章定积分的应用12学时第七章微分方程15学时第八章空间解析几何与向量代数12学时第九章多元函数微分法及其应用18学时第十章重积分12学时第十一章曲线积分与曲面积分18学时第十二章无穷级数17学时合计学时数170各章节主要知识点与教学要求第一章函数与极限（20学时）第一节 映射与函数第二节 数列的极限第

3、三节 函数的极限第四节 无穷小与无穷大，第五节 极限运算法则第六节 极限存在准则 两个重要极限第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质本章重点：函数与复合函数的概念，初等函数，实际问题中的函数关系；极限概念与极限运算法则；无穷小与无穷小的比较；两个重要极限；函数连续的概念与初等函数的连续性；间断点的分类；闭区间上连续函数的性质。本章难点：复合函数的复合过程；极限定义的理解；两个重要极限的灵活运用；极限存在的两个准则的应用；闭区间上连续函数性质的应用。教学要求：（1）掌握函数的概念、表示方法与性质，并会建立简单应用问题

4、中的函数关系式；（2）掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握复合函数的复合过程；（3）了解函数极限的概念，会用极限定义证明一些极简单的极限，理解和掌握极限的运算性质；(4) 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系; (5) 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；（6）掌握利用两个重要极限求极限的方法；（7）掌握无穷小的有关理论，会用等价无穷小求极限；（8）掌握函数连续的定义，会判别函数间断点的类型；（9）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，会用闭区间上连续函数的性质解决一些简单的有关问题。 （10）略讲内容：极限存在的两个准则的证明。第二章导数与微分(10学时)

5、第一节 导数概念第二节 函数的求导法则第三节 高阶导数第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率第五节 函数的微分本章重点：导数与微分的定义，导数运算法则；微分的概念与求法；高阶导数。 本章难点：微分的概念与微分法；复合函数的求导法则；分段函数导数的求法。教学要求：（1） 理解导数和微分的概念以及导数与微分的关系；理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量；（2）理解函数的可导性与连续性之间的关系；会用定义求函数在某一点的导数；（3）掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；（4）会求分段函数的导数

6、；（5）会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数；（6）会坚决一些简单的相关变化率实际问题；（7）会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用；（8）了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。（9）略讲内容： 高阶导数中的莱布尼兹公式； 微分应用中的四个概念（误差、相对误差、相对误差限、绝对误差限）。第三章 微分中值定理与导数的应用（12学时）第一节 微分中值定理第二节 罗必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值第六节 函数图形的描绘第七节 曲率第八节 方程的近似解本章重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式；

7、罗必达法则；函数的单调性的判别方法；函数极值的求法，最大值和最小值的应用；函数图形的描绘。本章难点：泰勒公式；洛必达法则；最大值、最小值的应用问题。教学要求：（1）掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；理解泰勒公式，知道泰勒公式的一些简单应用；。（2）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；（3）理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。（4）会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点；（5）会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；（6）理解弧微分；知道曲率和曲率半径的概念。（7）略讲内容： 曲率

8、半径、曲率中心与曲率圆的计算； 方程的近似解。第四章不定积分（12学时）第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分第五节 积分表的使用本章重点：原函数与不定积分的概念；不定积分的性质；换元法与分部积分法；有理函数的积分。本章难点：不定积分各种方法的综合使用；换元积分法中变量代换的选择。 教学要求：（1）理解原函数和不定积分的概念；（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质；（3）掌握不定积分的换元法与分部积分法；（4）会求简单的有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分；（5）了解积分表的使用方法。第五章 定积分（12学时）第一节 定积分

9、的概念与性质第二节 微积分学基本公式第三节 定积分的换元法和分部积分法第四节 反常积分本章重点：定积分的概念及性质；牛顿莱布尼茨公式。本章难点：定积分的概念；积分上限函数的导数；反常积分的计算。教学要求：（1）理解定积分的概念与几何意义；（2）掌握定积分的性质；（3）掌握积分上限函数及其求导方法；（4）掌握牛顿莱布尼茨公式；（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法，并会利用换元公式证明一些简单命题；（6）了解反常积分的概念并会计算简单的反常积分。（7）略讲内容： 定积分的近似计算； 定积分的递推公式。第六章 定积分的应用（12学时）第一节 定积分的元素法第二节 定积分在几何学上的应用第三节 定

10、积分在物理学上的应用本章重点：定积分的元素法。本章难点：元素法的实际应用方法。教学要求：（1）理解和掌握定积分的元素法；（2）能利用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积等）和一些物理量（变力做功、引力、压力等）。（3）略讲内容：函数的平均值及其应用。第七章微分方程（15学时）第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程第四节 一阶线性微分方程第五节 可降阶的高阶微分方程第六节 高阶线性微分方程第七节 常系数齐次线性微分方程第八节 常系数非齐次线性微分方程第九节 欧拉方程第十节 微分方程的幂级数解法本章重

11、点：微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程及一阶线性方程的解法；可降阶的高阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。本章难点：线性微分方程解的性质与结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。教学要求：（1）掌握微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解等概念；（2）掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；（3）会用降阶法解某些简单的高阶微分方程；（4）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；（6）会求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解； （7

12、）知道微分方程的幂级数解法。 （8）略讲内容：贝努里方程； 微分方程的幂级数解法。第八章空间解析几何与向量代数（12学时）第一节 向量及其线性运算第二节 数量积 向量积 混合积第三节 曲面及其方程第四节 空间曲线及其方程第五节 平面及其方程第六节 空间直线及其方程。本章重点：向量的坐标表达式；向量的数量积与向量积；两向量平行、垂直的条件；平面的点法式方程；直线的对称式方程；直线和平面的位置关系；球面方程；母线平行于坐标轴的柱面方程；旋转曲面的方程。本章难点：两向量的向量积；旋转曲面的方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线；二次曲面的方程。教学要求(1) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；

13、(2) 掌握向量的线性运算、数量积和向量积，了解混合积；掌握两个向量垂直和平行的条件；(3)掌握向量的模、方向余弦与方向角；(4) 掌握平面方程和直线方程；(5) 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。(6) 会求点到直线以及点到平面的距离。(7) 理解曲面方程的概念；了解截痕法，了解常用二次曲面的方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；(8) 了解空间曲线的参数方程和一般方程；(9) 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。(10) 略讲内容：平面束。第九章多元函数微分法及其应

14、用（18学时）第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导公式第六节 多元函数微分学的几何应用第七节 方向导数与梯度第八节 多元函数的极值及其求法第九节 二元函数的泰勒公式。本章重点：函数的偏导数和全微分；多元复合函数的一阶偏导数；多元函数极值和条件极值的求法。本章难点：二元函数极限与连续性的概念；偏导数与一元函数导数之间的联系与区别；复合函数偏导数的求法；二元函数最大值与最小值的求法；拉格朗日乘数法。教学要求：（1）理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，会判定二元函数在给定点处极限不存在；（

15、3）理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求偏导数与全微分；了解全微分存在的必要条件和充分条件；（4）知道二元函数中的极限、连续、可偏导、可微分、偏导连续之间的关系；（5）掌握多元复合函数的一阶偏导数的求法，会求多元复合函数的二阶偏导数；（6）会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；（7）会求空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；（8）理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。（9）略讲内容： 二元函数极限的-

16、定义； 全微分在近似计算中的应用； 隐函数的求导公式（二）； 方向导数与梯度； 二元函数的泰勒公式。第十章重积分（12学时）第一节 二重积分的概念与性质第二节 二重积分的计算方法第三节 三重积分第四节 重积分的应用本章重点：二重积分与三重积分的概念；二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；重积分的应用。本章难点：多重积分化累次积分。教学要求：（1）理解二重积分与三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理；（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；会用直角坐标与柱面坐标计算三重积分；（3）会用重积分计算一些几何量与物理量（曲面面积、质心、转动惯量、引力等）。第十一章曲线积分

17、与曲面积分（18学时）第一节 对弧长的曲线积分第二节 对坐标的曲线积分第三节 格林公式及其应用第四节 对面积的曲面积分第五节 对坐标的曲面积分第六节 高斯公式第七节 斯托克斯公式本章重点：两类曲线积分的概念与计算；格林公式及其应用；两类曲面积分的概念与计算；高斯公式；积分思想的内涵。本章难点：第二类曲线积分与第二类曲面积分；格林公式与高斯公式。教学要求：（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系（2）掌握两类曲线积分的计算方法；（3）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，求全微分的原函数；（4）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算

18、两类曲面积分的方法；（5）了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分；知道斯托克斯公式。（6）略讲内容：斯托克斯公式。第十二章 无穷级数 （17学时）第一节 常数项级数的概念和性质第二节 常数项级数审敛法第三节 幂级数第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用第六节 傅立叶级数（简介）本章重点：无穷级数收敛、发散以及级数的和等概念；无穷级数基本性质及收敛的必要条件；几何级数和级数的收敛性；正项级数的比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法；交错级数的莱布尼兹审敛法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；几个重要初等函数的麦克劳林展开式。本章难点：数项级数的概念和敛散性条件；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛域与和函数的求法。教学要求：（1）掌握常数项级数的概念、性质及收敛的必要条件；（2）掌