2020高考文数总复习课后限时集训38空间图形的基本关系与公理

1、A .B .课后限时集训（三十八）空间图形的基本关系与公理（建议用时：60 分钟）A 组基础达标一、选择题1.a是一个平面，m, n 是两条直线，A 是一个点，若a,na,且 A m, Aa,贝 U m, n 的位置关系不可能是（）A .垂直B .相交C.异面D .平行D I a是一个平面，m, n 是两条直线，A 是一个点，血a,na,n 在平面a内.TAm, A a, A 是 m 和平面a相交的点， m 和 n 异面或相交，一定不平行.D A , B, C 图中四点一定共面,D 中四点不共面.3.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相

2、交，可以确定 1 个或 3 个平面.其2.如图是正方体或四面体, 点不共面的一个图是（）P, Q, R,S 分别是所在棱的中点，则这四个CABDCD 中正确的序号是（）CD B 显然正确；错误，三条平行直线可能确定 1 个或 3 个平面；若三个点共线，则两个平面相交，故错误；显然正确故选 B .4已知在四面体 ABCD 中，E, F 分别是 AC, BD 的中点若 AB = 2, CD =4，EF 丄 AB,贝 U EF 与 CD 所成角的度数为（）A.90B. 45C. 60D. 30D 如图，设 G 为 AD 的中点，连接 GF，GE，则 GF，GE 分别为 ABD， ACD 的中位线.由

3、此可得，GF / AB，口1且 GF = AB= 1，GE/ CD，且 GE=|CD= 2,/ FEG 或其补角即为 EF 与 CD 所成的角.又 EF 丄 AB, GF / AB，二 EF 丄 GF.因此，在 Rt EFG 中，GF= 1, GE= 2,sin/ GEF =GF_ 1GE=2,CD 可得/ GEF_ 30, EF 与 CD 所成角的度数为 305.如图是某个正方体的侧面展开图，条侧面对角线，则在正方体中，11与 12（A .互相平行B.异面且互相垂直nc.异面且夹角为 3然四边形 EFGH 为平行四边形.要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF = EH , 即D.n相交

4、且夹角为 3将侧面展开图还原成正方体如图所示，则 B, C 两点重合. 故 li与 12相交，连接 AD,AABD 为正三角形，n以 11与 12的夹角为 3故选 D .H(C)、填空题6.如图所示， 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E, F 分别是 CC1, AD 的中点，那么异面直线和 AiF 所成角的余弦值等于25 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系.则 Ai(2,0,2), F(1,0,0),则 A1F = ( 1,0, D1E,A1FD1E A1F |D1E|A1F|2 2_ 55_2，A异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于号.7.如图所示，在三

5、棱锥 A-BCD 中，E, F, G, H 分别是棱AB, BC, CD, DA 的中点，则当 AC, BD 满足条件 时，四边形EFGH 为菱形，当 AC, BD 满足条件时，四边形 EFGH 是正方形.AC =BD AC = BD 且 AC 丄 BD易知EH/ BD / FG ,且 EH = *BD = FG ,同理 EF/ AC/ HG ,且 EF=HG,显D所Di(0,0,2), E(0,2,1),DiE= (0,2, 1), cosAC_ BD ;要使平行四边形 EFGH 为正方形需满足 EF _ EH 且 EF 丄 EH ,即AC= BD 且 AC 丄 BD .8._ (2019

6、长白山模拟)下列命题中不正确的是_ .(填序号)1没有公共点的两条直线是异面直线；2分别和两条异面直线都相交的两直线异面；3一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；4一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.没有公共点的两直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线 有可能相交；命题正确，因为若直线 a 和 b 异面，c/ a，则 c 与 b 不可能平行， 用反证法证明如下：若 c/ b，又 c / a，则 a / b，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不平行；命题正确，若 c 与两异面直线 a，b 都相交，可知，a，c 可确定一个 平面，b，c 也可确定

7、一个平面，这样，a，b，c 共确定两个平面.三、解答题9. 在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，(1) 求 AC 与 AiD 所成角的大小；(2) 若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 AiCi与 EF 所成角的大小.解 如图，连接 BiC, ABi，由 ABCD-AiBiCiDi是正方体，易知 AiD / BiC，从而 BiC 与 AC 所成的角就是 AC 与AiD 所成的角.因为 ABi= AC= BiC，所以/ BiCA= 60即 AiD 与 AC 所成的角为 60(2)连接 BD，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，AC 丄 BD，AC/ AiCi.因为 E，F 分别为

8、AB，AD 的中点，所以 EF/ BD，所以 EF 丄 AC.所以EFlA1C1.即 AiCi与 EF 所成的角为 9010. 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形,1 1綊 2AD，BE 綊 2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点.(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C, D，F，E 四点是否共面？为什么？解证明：由已知 FG = GA，FH = HD，可得 GH 綊知.又 BC 綊如,四边形 BCHG 为平行四边形.1(2)vBE 綊 2AF，G 为 FA 的中点， BE 綊 FG，四边形 BEFG 为平行四边形，二 EF / BG.由(1)知 BG 綊

9、 CH，二 EF / CH，二 EF 与 CH 共面.又 D FH，二 C，D，F，E 四点共面.B 组能力提升1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R 分别是 AB，AD，B1C1的中点, 那么正方体过 P，Q，R 的截面图形是()A .三角形B .四边形C.五边形D .六边形D 如图所示，作 RG/ PQ 交 C1D1于 G，连接 QP 并延长与 CB 延长线交于M，且 QP 反向延长线与 CD 延长线交于 N,连接 MR 交 BB1于 E,连接 PE,则 PE, RE 为截面与正方体DiG C.的交线，同理连接 NG 交 DD1于 F,连接 QF, FG ,则 QF, FG

10、 为截面与正方体的交线，所以截面为六边形 PQFGRE.2.如图所示，ABCD-AiBiCiDi是长方体，0 是 BiDi的中点，直线 AiC 交平面 ABiDi于点M ,则下列结论正确 的是（）A. A，M，0 三点共线B. A，M，0, Ai不共面C. A，M，C，O 不共面D. B，Bi，0，M 共面A 连接 AiCi, AC，则 AiCi/ AC，所以 Ai，Ci, C， A四点共面，所以 AiC 平面 ACCiAi，因为M AiC，所 以M平面 ACCiAi，又 M 平面 ABiDi,所以 M 在平面ACCiAi与平面 ABiDi的交线上,同理 0 在平面 ACCiAi与平面ABiD

11、i的交线上,又 A 在平面 ACCiAi和平面 ABiDi的交线上.所以 A, M , 0 三点共线.B, C 不正确,BBi与 A0 异面,所以 D 不正确.故选 A.3.（20i9 西安模拟）如图是正四面体的平面展开图，GH, M , N 分别为 DE, BE, EF, EC 的中点，在这个正四 面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与MN 成 60角；DE 与 MN 垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是_.又厶 GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角，易证 DE 丄 AF, MN / AF，二 MN 丄 DE.还原成正四面体 A-DEF ,其中 H 与 N 重合,A, B, C 三点重合.易知 GH 与 EF 异面,BD 与 MN 异面.a因此正确的序号是.4如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，FA 丄底面 ABC, Dn是 PC 的中点.已知/ BAC=2, AB= 2, AC = 2 3, PA= 2. 求：三棱锥 P-ABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值.解SAABC=2X2X2 3=2 3,三棱锥 P-