2020高考文数总复习课后限时集训37空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积

1、课后限时集训（三十七）空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积（建议用时：60 分钟）A 组基础达标一、选择题1. （2018 肥二模）在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E, F, G 分别为棱 CD,CCi, A1B1的中点，用过点 E, F, G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的 几何体的侧视图为（）C 过点 E, F, G 截正方体的平面为如图所示的平面 EFKGHI ,由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C 选项，故选 C.2.（2019 山西六校联考）如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为 9 cm,高为 36 cm.玻璃杯内水深为 33 cm,将一个球放在杯口，

2、球面恰好与水面接触,并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为（）A.900ncmB.450ncrn2 2C.800ncmD.400ncmA 由题意，知球嵌入玻璃杯的高度 h = 36- 33= 3 cm.设球的半径为 R,则 有R2= 92+ （R-3）2，解得 R= 15 cm，所以该球的表面积 S= 4 点=900ncrr，故 选 A.3.九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有 一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”. 若某“阳马”的三视图如图所示，其 中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表 面积为（）A. 1+ 2B.

3、1+ 2 2C . 2+ 2D . 2 + 2 2C 由三视图可得该“阳马”的底面是边长为 1 的正方形，高为 1,贝憔面1 1积为 1+ 2X十1X1+ 2X2X.2X1= 2+ 2,故选 C.4 . （2019 福州模拟）已知圆锥的高为 3,底面半径为乜，若该圆锥的顶点与 底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A8D32代 3nB.3nC.16nD.32nB 设该圆锥的外接球的半径为 R,依题意得,R2= （3- R）2+ （一 3）2,解得 R剧 C 工4Q4Q32=2,所以所求球的体积 v= 4nR = 4nx 2 = 3 n故选B-5. （2019 郑州模拟）已知点 P,

4、 A, B, C 是半径为 2 的球面上的点，PA=PB=PC= 2,ZABC= 90点 B 在 AC 上的射影为 D，则三棱锥 P-ABD 体积的最大值是（）B 设点 P 在平面 ABC 上的射影为 G,如图，由 PA=PB= PC = 2,ZABC= 90知点 P 在平面 ABC 上的射 山徒整匚影 G ABC 的外心,即 AC 的中点.设球的球心为 O,连接 PG,贝 U O 在 PG 的延长线上.连接 OB, BG,设 PG = h,贝 U OG= 2- h,所以 OB2- OG2= PB2- PG2,即 4 (2- h)2= 4- h2,解得 h= 1,则 AG= CG= 3. 设

5、AD=x, J 则 GD = x-AG = x . 3, BG= 3,所以 BD = BG2- GD2=p- X2+2/3X,所以ABD= AD BD=11 x4+ 3x3.令 f(x)=- x4+ 2 . 3x3,贝Uf (x) = - 4x3+ 6 3x2.由 f (x) = 0,得 x= 0 或 x=易知当 x=務3时，函数 f(x)取得最大值帶, 所以0ABD)max= X普二又 PG= 1,所以三棱锥 P-ABD 体积的最大值为|X983x1 =誉，故选 B.二、填空题A.3；343,386有一块多边形的菜地， 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角 梯形 （如图所示），/ AB

6、C= 45 AB = AD = 1, DC 丄 BC,则这块菜地的面积为2+；如图 1,在直观图中，过点 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E.Rt ABE 中，AB= 1,ZABE= 45 二 BE=面体是正八面体,其中正八面体的所有棱长都是.2,则该1 厂24正八面体的体积为 3X（2）x2 二 3 8. （2017 全国卷I）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 0 的球面上，SC是球 0 的直径.若平面 SCA 丄平面 SCB, SA= AC, SB= BC,三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 0 的表面积为_ .36n如图，连接 OA, 0B.而四边形 AECD 为矩形，AD

7、= 1,由此可还原原图形如图 2在原图形中，1,且 A，D/ B，C，, A，B，丄 B EC= AD=1,ABC= BE+ EC=2 + 1J2A，D，= 1, A，B，= 2, B，C，=2 +1C，,A这块菜地的面积S=2(A，D，+B，C ）苏+ 1+乎X2=2+乎.7.（2018 江苏高考）如图所示，正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 _ .正万体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多图 1由 SA= AC, SB= BC, SC 为球 O 的直径，知 OA 丄 SC, OB 丄 SC.由平面 SCA 丄平面 SCB,平面 SCAn平面 SCB= SC, O

8、A 丄 SC,知 OA 丄平 面SCB.设球 O 的半径为 r,则OA= OB = r, SC= 2r,三棱锥 S-ABC 的体积3r2即 3 9， r = 3,二 S球表=4n= 36n.三、解答题9.一个正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 15,求这个三棱锥的体积.解正三棱锥 S-ABC 如图所示，设 H 为正三角形 ABC 的中心,连接 SH,则 SH 的长即为该正三棱锥的高.连接 AH 并延长交 BC 于点 E,则 E 为 BC 的中点，且 AE 丄 BC.ABC 是边长为 6 的正三角形,AE=X6=3 寸 3,2 AH = 3AE = 2 3.1 1在厶 ABC 中，SABC=9

9、3.在 Rt SHA 中，SA= 15, AH= 2 3,gsCOB3rOA= 3, SH= SA2- AH2=15 12= 3,C. 3D. 41 1V正三棱锥=3&ABCSH=3X9 3X3=9.10个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为 1 的平行四边形,左视图是一个长为.3、宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的 矩形.左观图(1) 求该几何体的体积 V;(2) 求该几何体的表面积 S解(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为 1 的正方形，高为，3.所以 V= 1x1x3= 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中,A1D

10、丄平面 ABCD, CD 丄平面 BCC1B1,所以 AA1= 2,侧面 ABB1A1, CDD1C1均为矩形.S=2X(1x1+1x.3+1x2)=6+2 -3.B 组能力提升1. (2018 北京高考)某四棱锥的三视图如图所示， 在此四棱锥的侧面中， 直 角三角形的个数为()俯视图左越图B. 2C 将二视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示.易知，BC/ AD, BC= 1, AD = AB= PA= 2, AB 丄 AD ,:FA 丄平面 ABCD,故厶 PAD, PAB 为直角三角形, FA 丄平面 ABCD, BC 平面 ABCD，二 PA

11、丄 BC,又 BC 丄 AB,且 PAGAB=A,ABC 丄平面 PAB,又 PB 平面 PAB,ABC 丄 PB, PBC 为直角三角形,容易求得 PC = 3, CD = 5, PD = 2 2,故厶 PCD 不是直角三角形，故选 C.2.(2019 湖北联考)一个帐篷下部的形状是高为2 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点 D到底面中心 Oi的距离为 帐篷的体积最大.7m 设 DOi为 x 米，(2vxv5)于是底面正六边形的面积为 6XX C 5+ 4x x2)2=3J3(5 + 4x x2),所以帐篷的体积为 V(x) = 2(5 + 4x

12、x2)X2 + 3X+ 4x x2)(x 2)=33(5+ 4x x2) 2+ 3 x 2 = 2(5 + 4x x2)(x+ 4),所以 V (x)=-(21 3x2),可得当 2vxv,7 时，V (x)0,贝U函数 V(x)递增;当7vxv5 时，V (x)v0,贝U函数 V(x)递减，所以当 x= 7 时，V(x)取得最大值.3.如图，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AB= 1, BC= 2,BBi= 3,ZABC= 90点 D 为侧棱 BBi上的动点，当 AD+时,则由题意可得正六棱锥底面边长为:25+ 4x x m,DCi最小时，三棱锥 D-ABCi的体积为.将直三棱柱 ABC

13、-AiBiCi的两侧面展开成矩形交 BBi于 D，此时 AD + DCi最小. AB=i,BC=2,BBi=3,ZABC=90点 D为侧棱 BBi上的动点,当 AD + DCi最小时,BD = i ,此时三棱锥D-ABCi的体积为VD-ABCi= VCi-ABD = 3SABDBiCii i=3X2AB BD BiCii ii=3X2XiXiX2=3.4. (20i9 沈阳质检)在三棱柱 ABC-AiBiCi中， 侧面 AAiCiC 丄底面 ABC, AAi= AiC = AC = AB= BC = 2,且点 O 为 AC 中点.(1) 证明：AiO 丄平面 ABC;(2) 求三棱锥 Ci-ABC 的体积.解(i)证明：因为 AAi= AiC，且 O 为 AC 的中点，所以 AiO 丄 AC,又平面 AAiCiC 丄平面 ABC,平面 AAiCiCn平面 ABC = AC,且 AiO 平面A