(高考数学复习讲练18)空间几何体的表面积和体积

1、个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2021 年 月 日(星期 ) : : 姓名阳丰泽年级高三性别男教学课题 空间几何体的外表积和体积教学目标1用选择、填空题考查本章的根本性质和求积公式；2考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；重点难点课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_ 第 讲 空间几何体的外表积和体积知识点：多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之

2、和S侧+S底S底·h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。题型1：柱体的体积和外表积【例1】一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是

3、24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为x cm、y cm、z cm、l cm依题意得： 由22得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=363由31得x2+y2+z2=16即l2=16，所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的外表积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素对角线、内切与面积、体积之间的关系。【例2】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，假设E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两局部，那么V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为

4、S，体积为V，那么V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型2：锥体的体积和外表积PABCDO【例3】在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积？解：1在四棱锥P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO=60°。在RtAOB

5、中BO=ABsin30°=1, 由POBO，于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=×2×=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。题型3：棱台的体积、面积【例4】1如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么 A B C2S0SS DS022SS21994全国，7正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，那么其体积为 A32 B28 C24 D20解析：1解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2） 正六棱台上下底面面积分别为：S上6··22

6、6，S下6··4224，V台，答案B。点评：此题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点此题选用“特例法来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型4：圆柱的体积、外表积及其综合问题【例5】一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A B C D解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，那么由题设知h=2r.S全=2r2+2r2=2r21+2.S侧=h2=42r2，。答案为A。点评：此题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。【例6】如图99，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.假设放入一个半径为r的实心

7、铁球，水面高度恰好升高r，那么= 。解析：水面高度升高r，那么圆柱体积增加R2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：此题主要考查旋转体的根底知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型4：圆锥的体积、外表积及综合问题【例7】12002京皖春，7在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°如下图，假设将ABC绕直线BC旋转一周，那么所形成的旋转体的体积是 A BC D22001全国文，3假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，那么这个圆锥的全面积是 A3 B3 C6 D9解析：1如下图，该旋转体的体积为圆锥CADE与圆锥BAD

8、E体积之差，又求得AB=1。，答案D。2Sabsin，a2sin60°，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。图【例8】如下图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两局部，那么母线与轴的夹角的余弦值为 A B C D图解析：如下图，由题意知，r2hR2h，r 又ABOCAO，OA2r·R，cos，答案为D。点评：此题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型5：球的体积、外

9、表积【例9】过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的外表积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，那么，在中，。点评： 正确应用球的外表积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。【例10】如下图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的外表积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面

10、ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。点评：此题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，那么球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。题型9：球的面积、体积综合问题【例11】12006四川文，10如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，那么球的外表积是 A B C D2半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，假设正方体棱长为，求球的外表积和体积。解析：1如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上

11、，点在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的外表积是，选D。2作轴截面如下图，设球半径为，那么 ，。点评：此题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。【例12】外表积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的外表积。解： 设球半径为，正四棱柱底面边长为，那么作轴截面如图， ，又，题型6：球的经纬度、球面距离问题【例13】在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。解：设经过三点的截面为，设球心为，连结，那么平面，所以，球心到截面距离为【例14】在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为为地球半径，求两点间的球面距离

12、。解：设北纬圈的半径为，那么，设为北纬圈的圆心，中，所以，两点的球面距离等于点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角。【例16】地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为 ，求A、B两地经度的差.解：90度1 半径为的半圆卷成一个圆锥，那么它的体积为 A B C D 2一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，那么球的外表积是 3 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，那么圆台较小底面的半径为 A 4 棱台上、下底面面积之比为，那么棱台的中截面分棱台成两局部的体积之比是 A 5一空间几何体的三视图如下图，

13、那么该几何体的体积为                 A       B            C          D 6中，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为_ 7 等体积的球

14、和正方体，它们的外表积的大小关系是_8 假设长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为，从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿外表运动到另一个端点，其最短路程是_ 9 假设圆锥的外表积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的底面的直径为_ 10三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，那么球的体积与三棱锥体积之比是           11：一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为的内接圆柱 1求圆柱的侧面积； 2x为何值时，圆柱的侧面积最大课后反思：课堂检测听课及知识掌握情况反应_.测试题(累计不超过20分钟)_道；成绩_；教学需:加快;保持;放慢;增加内容课后稳固作业_题; 稳固复习_ ; 预习布置_签字教学组长签字： 学习管理师:老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议：教案?空间几何体的外表积和体积?参考答案1.解析：A 2.解析：B 正方体的顶点都在球面上，那么球为正方体的外接球，那么， 3.解析： A 4.解析：C 中截面的面积为个单位， 5.解析：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为，四棱锥的底