欧拉公式的证明和应用

1、数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一.序-2.欧拉公式的证明 -31.1极限法 -31.2指数函数定义法 -41.3分离变量积分法-41.4复数幕级数展开法 -41.5变上限积分法 -51.6类比求导法 -7三. 欧拉公式的应用2.1求高阶导数 -72.2积分计算 -82.3高阶线性齐次微分方程的通解-92.4求函数级数展开式-92.5三角级数求和函数-102.6傅里叶级数的复数形式 -10四. 结语 - -11参考文献 -11欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一1 ，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。ix丄?“本文关注的欧拉公式e 二 cos x t sin x ，在复数域中它把指数

2、函数联系在一起。特别当x 二精选资料，欢迎下载时,欧拉公式便写成了二 7 =0 ，这个等式将最富有特色的五个数。丄巳二绝妙的联系在一起，“ 1 是实数的基本单位， i 是虚数的基本单位，0 是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。 i 源于代数，二源于几何，e 源于分析， e 与二在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。” 2公式 e" - 1 -0 成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具

3、有重要意义。二.欧拉公式的证明欧拉公式 elx = cosx i sinx有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种:首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是精选资料，欢迎下载x复指数函数定义法 2 ; 另外从对数函数特征性质匹 J 或 竺=e x 出发 3 , 利用微分方程分离 dx x dx3 ; 再其次采用变上限积分法验证；变量积分法；再者采用复数幕级数展开式法来验证用 Lagrange 中值定理的推论来证明3 。1.1 极限法当 x =0 时，欧拉公式显然成立 ;当 x=0 时，考虑极限 lim (1 ) n,( R,n N) ,n

4、 c方面，令 t另一方面，将由棣莫弗公式得所以有n " 亠 则有IXlim (1 %)nix(1)n 厂 n二 e ；ix1 化为三角式，得nxxx()2cos(arctan(-)i sin(arctan(-) ；nnn( 心 )二1 (_) 2 2cos(narctan( )i sin(narctan(-) ,nn ，n何12X、1( n) =lim e 2n弋) jmin ：:xx” m cos(narctan) =cosim narctan )= cosx,lim sin(n arcta ng)=sin lim n arctanC) = sin x,nn ) ： :lim(1

5、与二 cosx i sinx.nr： n由(1) 、( 2) 两式得eix 二 cosxi sin1.2 指数函数定义法x。因为对任何复数z=x iy,(x, y R) ，复指数函数ez =ex iy =ex(cos y i si ny) 4所以，当复数z 的实部 x=0 时，就得精选资料，欢迎下载eiy = cos y is in y 。1.3 分离变量积分法设复数 z =cosx ? isin x, （ x：二 R ）,两边对 x 求导数，得= -sinx i cosx = i 2 sinx i cosx 二 i(cosx i sin x) =iz ， dx分离变量并对两边积分，1dz =

6、 idx , In z = ix c , 'z '取 x =0 ，得z = cosx i sinx = 0,c = 0,故有 In z =ix ，即eix = cosx i sin x 。1.4 复数幕级数展开法4x2nxcosx =1( 而1)2!4!(2n)!！心 3 R) ， n24曲 .,L(ix)丄 ( ix)-cosx =14!(2n)!2!八空 (x R) n 凶 ( 2n)!3 x sin x 二 x -52n 1一3!U ?( _1) n 2丄_ -5!(2n 1)!寸( T)n 2 2n 1x / _ c、n (2n,(x R) ，1)!.3.5. 2n 1

7、Isin x = ixix ixn '2IX5!(T)3!(2n +1)!=区.应.应2n 1+?.* 十 ( IX)十1!3!5!(2n 1)!精选资料，欢迎下载:（ix） 2n 1爲亦，（XR）2e = i . 他1! 2!n!八 a,(x. R)n 卫 n!2n 1 吃虫2n n 卫 ( 2n)! ncosx isinxt 回( 2n 1)!-n八空卅。nn!1.5变上限积分法考虑变上限积分1dtt2 1因为yydt =arctant | = arctany ,1又因为丄 ( 丄)dt1 -2i t - i t -1= ；l n(t i)-l n(t-i)| 0=-l n(y i

8、) l n( y i) l n i l n( -i) 2ln (-1)(y i)24lnln( -1) 。y21再设 arcta ny = 二由此得 y = tanr ，即(y i) 2y2 1ln (-1)1y i- i= -l n( ) l n 精选资料，欢迎下载sec 2 二2 2ln(cos ) -2isin JCOSV - sin v)I222ln(cos (-R 2isin(- J)COS (-J) i sin (- ) )i2ln(cos(_ ) i sin(_R)=i ln(cos( - v) i sin( -v)；ix = ln( cos x is in x),id n(co

9、s(- R isi n()“),即有ixe cosx I sin x 。1.6 类比求导法精选资料，欢迎下载x构造辅助函数eixf (x),为在 Ie 禾口 cosx - isinx可导，cosx +i sinx且cosx i sinxO ，所以在区间 1=(- 二厂： ) 上， f(x) 处处可导，且ie x(cosx i sin x) -e x(-sin x i sin x)f (x) 二2(cosx isin x)ixe (i cosx-sin x+sinx-icosx)cos2x i sin 2x根据 Lagrange 微分中值定理的一个重要推论“如果函数f(x) 在区间 I 上的导数

10、恒为 0 ,那么f(x) 在区间 I 上是一个常数”， f(x) 在区间 |上是一个常数 ，即存在某个常数C，使得 -x 三 I =( - “， , - ?)，都有f( X) 三 C；又因为 f (0) =1 ，所以 c = 1 , 从而 f (x) 三 1，即ixe cosx i sin x 。三.欧拉公式在高等数学的应用举例欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明。2.1 求高阶导数设 f (x) 二 e“xcos4x, 求 f (n) (x) 。34解：设 g(x) 二 e x sin4x,- -

11、arctaw ,并记 F (x) 二 f (x) ig (x) ，3根据欧拉公式，有F (x) =e x(cos4x isinAxIreCxF(n) =(-3 4i) ne2 4i)x =(-5d ) ne(-3 4i)xn -3x (n '4x)i=(-5) e= (-5) nexcos(n：4x) isin(n4x) ,精选资料，欢迎下载分离其实部和虚即可得所求之结果部，f(n ) =(_5) n e；xcos(4x_ narctanf) 。22 积分计算求不定积分：xe 2x sin 3xdx 禾口 xe 2x cos3xdx 。解：记f (x) = xe 2x cos 3xdx

12、 , g (x) = xe2x sin 3xdx ，则f(x) ig(x) 二 xe2x cos3xdx i xe 2x sin 3xdx= xe 2x (cos3x i sin 3x) dx1 xde (2 3i)x2 3i1 r(243i)x1(2 期) x i 2 3ix e2 3ie c1 、，亠 ( 2 卞 i)x二 - x e2 3i_ 2 _3ix e(2 3i ) x . 51卞 i)x 丄亠(2 3i) 22 e c12i2 朴 e(c1316926 -39i (2 3i)x 5 12i(2s ) x= - x ee c1691692xe3ix(26x 5) -(39x-12

13、)i e c1692xe(26x 5) -(39x-12)i (cos3x isin 3x) c1692xe(26x 5)cosx (39x-12)sin 3x1692xe(12-39x)cosx (26x 5)sin 3x c169分离实部和虚部 ( 上式中c 为任意复数， c 和 c2 分别为其实部和虚部)2x2x execos3xdx (26x 5) cosx (39xT2)sin3x169xe 2x sin 3xdxe2x(12 -39x) cosx (26x 5)sin 3x C 2 。16922.3 高阶线性常系数齐次微分方程的通解求微分方程y( 5 ) -12y" 14

14、4y ，=0 的通解。精选资料，欢迎下载解：因为原方程的特征方程为精选资料，欢迎下载5322-12'144 ?=0, 即即?( 6)108=0 ,可知有一个实数特征根为'1 ，其余四个特征根由=66. 3i =12e3，可求得另四个特征根为: =2.3e = . 、 3 ? 3i,=2. 3e_ = _?、3 _3i,2. 匸4=2.3e63 _3i, ,5 =2、 3e 6 =3 ? 3i,即两对共轭复根3 _3i 和 _ 3 _3i ,所以原方程组通解为:迈x,_ 3xy =G( C2 cos3x + C3sin3x)(C4 cos3x + C5sin3x) 。2.4 求函

15、数的级数展开式展开函数 f(x) =e 4x(4cos3x 5sin3x) 为麦克劳林级数。解：作辅助函数g,x) = e 4x cos3x ,g2( x)二 e4x sin 3x ,4x 3xi (4-3i) xG(x) =gdx) ig 2( x) =e e、3并记： -arctan ，4则有 G(x) 的麦克劳林展开式； Hn1 - n/ ： i5 nnG(x) (4 3i)x(5e x)(cosnx 亠 isinn 、)xnnn!心 n!n!分离其实部和虚部，则有“(X) 八： 5n=0n!g2 ( x)八： 5xn,n=0n!精选资料，欢迎下载所以f (x) =4g i(x) 5g

16、2 ( x)=n3：亠 5sinn 、冷 x ,( : =arcta 叮) 。4cosn2.5 三角级数求和函数三角级数求和函数的问题是将函数展开为傅里叶级数的逆问题，对这类问题如不用欧拉公式, 一般比较难求解。求三角级数 7 nsinnx 在收敛域 ( _： , ?“ ) 上的和函数 s(x) 。 経 n!n解：构造类似于给定三角级数在上收敛的三角级数<r 3 cosnx，7 n!并设其和函数为 ：(x) ，即:3n： 1 3 n -二( x) is(x) 八 一(cosnx i sin nx)八 一 enxi心 n!nd n!xixi n 3e3(cosx ： i sinx)(3e

17、) e en 卫 n!= e 3co sx cos ( 3sin x) +i sin(3sin x) ,煮 3n sin nx分离其实部和虚部，从而可得所求之三角级数为，心 n!其在收敛域 (- ： ,? ： ) 上的和函数为s(x) = e 3cosx si n(3si n x) 。2.6 傅里叶级数的复数形式若函数 f (x) 以 2 二为周期，在 - 二，二 连续或至多有有限个第一类间断点，且- 二，二 上至多有有限个单调区间，则傅里叶级数为a0' (a n cosnxbn sin nx) ，2 n d其中傅里叶级数计算公式为anf (x) cosnxdx, n = 0,1,2,

18、3/ ,Jl -n1 -bnf (x)s inn xdx, n=0,1,2,3,Jl -31在式中，若以 ( n)代替 n，则有 a = an, b_n = -b n。精选资料，欢迎下载这里是傅里叶级数的实数形式，但在某些场合，复数形式的傅里叶级数更好用一些，这就需要利用欧拉公式进行转换了，因为1 / inx + -inx 、 ?1 ( inx-inx 、cosnx (e e ), sinnx (e -e ),2i2所以有舒 Rn COSnx +bnSin 心加 2( 导) 八( 协 " ,1i记 cnanbn,n 二 0 一 1,_2, _3, ，则可得函数 f (x) 的傅里叶级数有如下的复数形式220inx_ cn e,n =- ：其中系数计算公式为：1Cn =2 佝 - 叫)1if (x)(cos nx - i s inn x)dx2 -1 ILinxf (x)e dx 。2 二四?结语经过这段时间的数学文化课学习，我逐渐了解到了数学的美妙之处，尽管有费尔马达定理，四色问题，哥德巴赫猜想等许多我们无法求解的难题，但同样的也有许多如欧拉公式这种我们能证明并使用的有趣数学问题。数学其实可以称作自然哲学，它反映了深刻的自然现象，是对自然，生活的一种深入研究。能对这些