轨迹与轨迹方程的求法专项练习

1、专题68轨迹与轨迹方程的求法【学习目标】1. 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3能熟练地运用直接法、定义法、代数法、参数法等方法求曲线的轨迹方程【高考模拟】一、单选题1 当点'在圆I上变动时，它与定点相连，线段的中点的轨迹方程是()A .盘 + ：疔 +二 4 BO ：疔 + / = 1【答案】C【解析】【分析】设 的中点为 '的坐标为，设|，利用相关点法求解的轨迹方程【详解】设尸(珀划)，设PQ的中点为M的坐标为则有_ y二Q = % = 2先 + 3, ya = 2y,又点卩在圆H +比二i上，所以©

2、; + 3尸+ (2刃J 1, 故选择：【点睛】本题考查点的轨迹的求法，注意相关点法的合理运用2 .设动点P到A( 5, 0)的距离与它到B(5 , 0)的距离的差等于6,贝U P点的轨迹方程是(2【答案】D【解析】【分析】根据课本中所给定义可得到轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c= 5, a = 3,. b= 4,进而得到方程.【详解】由题意得动点P到A(-5, 0)的距离与它到昨，0)的距离的差等于6知轨迹罡双曲线的一支，根据定义得 到：R点尸的轨迹方程是- = 10 2:3).故答案为：D.【点睛】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题

3、要先分析题意转化为等式， 例如-7，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细3 在三棱锥卩 一 ARC 中 Ph = PR = PC = AC = RC =点 Q 为也川BC所在平面内的动点，若与二所成角为定值'，:，则动点.的轨迹是A 圆 B 椭圆 C.双曲线D.抛物线【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹【详解】由题，三棱锥：'为正三棱锥，顶点'在底面！的射影是底面三角形！的中心，则以为坐标原点,以为 轴，以V为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得 - &

4、#39; -，设*为平面内任一点，则宀汽打，由题与=所成角为定值，则x+ 1幽討+护7则.：:处-! ' ： = U"化 简 得 ：；!*'.：；： : 二；:：汀二":.故动点的轨迹是椭圆选B【点睛】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题4 .动圆x + y (4m+ 2)x 2my+ 4m + 4m+ 1 = 0的圆心的轨迹方程是 ().A . 2x y- 1 = 0 B. 2x y- 1 = 0(x 1)C. x 2y 1 = O(xm 1) D. x 2y 1 = 0【答案】C【解析】【分析】利用配方法得到圆心坐标，消去参数得

5、到圆心的轨迹方程，关键注意自变量的取值范围要求。【详解】配方得：一 二宀-C庐2 m十1所以圆心坐标为"叮，则令-消 m 得、1 一：-所以选C【点睛】本题考查了圆的标准方程，轨迹方程的简单求法，属于基础题。5.如右图，在四棱锥-“ 中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面"V '为底面一 内的一个动点，且满足；'；，则点在正方形.内的轨迹为下图中的()Mc.【答案】A【解析】【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段【详解】MH'的垂直平分面与平面-的交线得到结论根抿题意可扣皿二DG则点D符合啡为底面曲仞内的一个动為且满足MP =

6、MC-f设朋的中点为小根据题目条件可蚓册酬兰PN = C忙点R也符合“耐为底面AEfD內的一个动点，且满足故动点皿的轨迹肯定过点。和点叽可排除乩G而到点卩与到点淌距离相等的点的轨迹是线段叱的垂直平分面线段Pf的垂直平分面与平面的交线是一直线，故选爪【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力,属于难题.6 .已知双曲线2 2=l(a > 0上 > 0)圧过心G),班-晶-2)两点，点卩为该双曲线上除点"，R外的任意点，直线二，斜率之积为：，则双曲线的方程是(X2护=C.x yA .【答案】D【解析】分析：根据两条直线斜

7、率之积为定值，设出动点P的坐标，即可确定解析式。详解：因为直线,斜率之积为，即'，设 P ()则 .:.，化简得-1所以选D点睛：本题考查了圆锥曲线的简单应用，根据斜率乘积为定值确定动点的轨迹方程，属于简单题。7 在平面直角坐标系中，定义d (A, B )= max为x? , % y? 为两点A( x, %卜B (X2,科2 )的切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q ,称d (P,Q )的最小值为点P到直线丨的 切比雪夫距离”，记作d(P,l),给出下列三个命题： 对任意三点 A、B、C，都有d C,A d C, B _d A,B ;4 已知点P 3,1和直线l :2x - y -

8、1二0 ,贝U d P,l3 定点吒(_c,0 卜 F2(c,0 )，动点 P(x, y)满足 d (PF )-d ( P,F? j = 2a ( 2c a 2a a 0),则点P的轨迹与直线y = k ( k为常数)有且仅有 2个公共点；其中真命题的个数是()A 0 B 1 C 2 D 3【答案】D【解析】设A XaVa ,B Xbb ,c Xc,yc，由题意可得：d(C, A)+d (C, B 戶max Xa -Xc , yA -yc + maxxB -Xc , yB - yc X Xa _xc 十 Xb _Xc X Xa _Xb ,同理可得：d C,A d C,B _yA-yB,则：d

9、(C, A)+d (C, B pmax 似人Xb , yy = A,B ), 命题成立；设点 Q是直线 y=2x-1 上一点，且 Q (x,2x-1),可得 d(P,Q )=max x 3,2-2x,554由x -3启2 2x，解得一1兰x兰一，即有d(P,Q)=x 3，当z=时取得最小值一；3335由 x3 c|22x，解得 X A 或 XV1，即有 d(P,Q) = |2x 2 ,3d P,Q的范围是- °, ： = 4,无最小值.U八3丿综上可得，P,Q两点的 切比雪夫距离”的最小值为-.3说法正确定点 R (-c,0 卜 F2 (c,0 )，动点 P(x, y)满足 d (P

10、, Rd ( P,F2 ) = 2a ( 2c a 2a a 0 )，则:maxx+c, y maxxc, y二 2a ,显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x>0 y>0.X +cX C-y-y时,x+c-x-c =2a，得:当当X +cX CX +cX c:y时,时,0 =2a，此时无解;x c - y = 2a, a ： x ；则点p的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线=k （ k为常数）有且仅有 2个公共点，命题正确综上可得命题均正确，真命题的个数是3.本题选择D选项.点睛： 新定义”主要是指即时定义新概念 、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定

11、义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求 .但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说新题不一定是难题”掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝 .8 .如图，正方体 ABC -A1BC1D1中，动点P在侧面BCG内，且点P到棱AB与棱CC1距离相等,则点P运动形成的图形是（).Pj(A/ fl/IA 线段 B 圆弧 C.椭圆的一部分D .抛物线的一部分【答案】D【解析】由题意知，直线血丄平面BB.C.C,则应丄刖, 即|刃|就是点P到直线AB的距离, 所以，在面月Eqc中，点P到直线g的距离等于

12、它到点迟的距离, 由抛物线的定义可知，点P运动形式的團形是抛物线的一部分 故选D.点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义.9.在正方体ABCD - ABCiDi中，点Q为对角面ABCDi内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线 DQ与MN所成角的最小值为二，则下列结论中正确的是（BA .若v -30，则点Q的轨迹为双曲线的一部分B .若-45，则点Q的轨迹为双曲线的一部分C 若二-60，则点Q的轨迹为双曲线的一部分D

13、 若v -75，则点Q的轨迹为双曲线的一部分【答案】A【解析】由题意结合最小角定理可知，若直线DQ与MN所成角的最小值为 -，则原问题等价于:已知圆锥的母线与底面的夹角为180，圆锥的顶点为点 D，底面与平面 ABCD平行，求圆锥被平面CBA（ D1截得的平面何时为双曲线.由圆锥的特征结合平面 CBA1D1与平面ABCD所成角的平面角为 45可知:当二:：:45时截面为双曲线的一部分;当v -45：时截面为圆的一部分；当二45时截面为椭圆的一部分 本题选择A选项.2 210.已知椭圆 笃召=1 a b 0 , M为椭圆上一动点，Fl为椭圆的左焦点则线段 MFi的中点P的轨a b迹是（）A 椭圆

14、 B 圆 C.双曲线的一支D.线段【答案】A【解析】设M（ acos, bs inn）；已（-c,0）,线段MR的中点P（空c）,2 2acos： -c2bsin2cos2x casin2yb，点P的轨迹方程为a2b244线段MR的中点P的轨迹是椭圆.故选A.【答案】D【解析】设M x，则 N x 0 "iM 4,A N 亠!1, 0 N B亍 1, x因,为Mt2 上 N N所以2-3 1 -x22 y,x i=1 ，所以动点M的轨迹是椭圆，故选 D.212.已知圆C： x 3y 100和点B 3,0 ,P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交 CP于M点,则M点的轨迹方程是(A .

15、y2 = 6x B.2 2x y 125162C.1 D.25162y= 25【答案】B【解析】由圆的方程可知，圆心®-3,0),半径等于1设点财的坐标为g),的垂直平分线交C尸于点二又IMPIHWC)斗径10,纠旳依据椭圆的走义可得 点财的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，且加10, 63,二1,故補圆方程为看+討,故选B.点睛：求轨迹方程的常用方法:(1)直接法：直接利用条件建立x , y之间的关系F x, y =0 ;(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程;(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;(4)代入(相关点)法：

16、动点P x,y依赖于另一动点 Q Xo,y°的变化而运动，常利用代入法求动点 P x,y的轨迹方程.13.已知点M( 3,0), N(3,0).动点P(x, y)满足门 二,，则点P的轨迹的曲线类型为()A 双曲线B 抛物线C 圆 D 椭圆【答案】B【解析】=(3,0) ( 3,0) = (6,0), |= 6,= (x, y) ( 3,0)= (x+ 3, y),= (x, y)(3,0) = (x3, y),.-= 6 .+ 6(x 3) = 0,化简可得 y2= 12x.故点 P 的轨迹为抛物线.1 214.已知|AB | =3, A , B分别在x轴和yp轴上运动，O为原点，

17、 OP OA OB，则点P的轨迹方3 3程为（)22222A xB x2_y = 1C x2_y = 1D x2-14499【答案】A【解析】设动点P坐标为P（X，y）j A （町0）? B （0, b）亠1 2 12由OP = -OA + -OB,得：（x,v） =-（a,0） +-（0, b）3 3' 33Z.a=3x. b-y,2'/| AB |=3,.护-MT,（琉+（勞=9, 即疋+£ = 1 4故选：A.15 如图， AB是平面的斜线段， A为斜足，若点P在平面内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A 圆 B 一条直线 C.椭圆 D.两条平

18、行直线【答案】C【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以 AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值,分析可得，点 P在以AB为轴线的圆柱面与平面 a的交线上，且 a与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；本题选择C选项2 2Q为圆周上任一点，线段 AQ的垂直平16设圆x 1 y2 =25的圆心为C , A 1,0是圆内一定点,分线与CQ的连线交于点M，贝U M的轨迹方程为（A .4x2B.2 24x 4y /C.4x2"1212521252521【答案】D2 24x 4y 才2521【解析】圆心C -1

19、,0 ,半径为5,设点M x, y AQ的垂直平分线交CQ 于 M ,二 MA = MQ ,又MQ +MC =5>AC，由椭圆的定义可得点M是以A,C为焦点的椭圆，且2a=5,c=1, b二，故椭圆22 2方程为鉉题=1,故选D.2521先根据条件设点睛：求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数一一待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：（1）直接法；（2）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（3）代入法（相关点法）；（4）参数法.17阿波罗尼斯是古希腊著名数学

20、家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为 k0,九式1 ）,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面，我们来研究与此相关的一个问题.已知圆：x2 y 1和点A -,0 ，点B 1 ,I 2丿M为圆O上动点，贝U 2 MA + MB|的最小值为（）A .6 B ,7c. 10D 11【答案】c【解析】令2阳|=昭|则閘口 2 虫题意可得圆* +b = 1是关于点扎C的阿波罗尼斯圆，且兄=寸则徑|AfC丄沪疔不二？家整理得S +弩时争/ :

21、 T庄题竜得该圆的方程为X2 + y2 = 1 ,2m 4-4 = 02n = 0 j解得曲£ ° 工.«=0fH1 + H2 -1.=13二点C的坐标为(-2,0).A2| + |Affl| = |AfC| + pl|,因此当点M位于图中的胚辺的位蛊时，2阿|十=十陋|的值最小，且対皿故选U二、填空题18.已知定点P4和定圆QP + yJ%,动圆"和圆Q外切，且经过点P,求圆心M的轨迹方程2 2L_2L=1【答案】双曲线| 的左支【解析】【分析】画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可.【详解】结合图象可得，|MQ| - |MP|=4，可得a=2, c=

22、4,则b= .,2 2M的轨迹为双曲线- 的左支.（1）本题主要考查点的轨迹方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）求轨迹方程的四种主要方法：待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设 出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程代入法：如果点的运动是由于点 的运动引起的，可以先用点 的坐标表示点 的坐标，然后代入点'满足的方程，即得动点 丫的轨迹方程直接 法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程参数法：动点.的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参19

23、如图所示，放置的边长为1的正方形沿 轴滚动，点 恰好经过原点设顶点：的轨迹方程是y = fw,则对函数y二f（町有下列判断： 若一'二”三r则函数' 是偶函数； 对任意的，都有-； 函数- '在区间1<-1 上单调递减； 函数在区间上是减函数.其中判断正确的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】根据正方形的运动，得到点 P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.【详解】当-2仝£- b P的轨迹是以A为圆心，半径为1的三圆，当-1001时 P的轨迹是以B为圆心半径为芒的寸圆，当0支时，P的轨迹是次C为圆心，半径为1的三

24、虱 当3<x<4时、P的轨迹是以A为圆心半径为1的中圆 二函数的周期是4 因此最终构成图象如下： 根据图象的对称性可知函数y=f (x)是偶函数，.正确. 由图象即分析可知函数的周期是4.A正确. 函数y=f (x)在区间2, 3上单调递增，.错误. 函数y=f (x)在区间4 , 6上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、.正确.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，禾U用数 形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键.20 以下关于圆锥曲线的命题中设A, B是两个定点，k为非零常数，若PA -= k ,则动点

25、P的轨迹为双曲线的一支；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB， O为坐标原点，若3 -1 OA OB，则动点P的轨迹为椭圆；方程22 2 22x y2 y2x -5x *2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆x21有相92535同的焦点其中真命题的序号是.【答案】【解析】根据双曲线的定义，有绝对值，且k的范围fikClABJ,错误孑T 0P= £（芮+阿1P为弦AB的中点，不妨在单位圆x2-y2=l中,走点A（b0;动点B g 沙 设P <x,心 用代入法求得P的轨述方程是|竞-丄）-宀丄:点P的轨迹为圆I错误；I 2丿4TW-亦2-0的两根是為椭圆的离心率范围

26、是 他1）,戏曲线的离心率范围是（1，炯.正2确.T中双曲线的焦点是（土妬，0）,椭圆的焦点（6 土任，二错误.故答案为:21 .已知两定点F1 J-1,0 ， F2 1,0和一动点P，给出下列结论： 若PFj+|PF2 =2，则点P的轨迹是椭圆； 若PR - PF2 -1，则点P的轨迹是双曲线；PF1 若=丸（扎>0,丸式1 ），则点P的轨迹是圆；|PF2| 若|PFj PFa2（0 ），则点P的轨迹关于原点对称； 若直线PF1与PF2斜率之积等于 m m = 0，则点P的轨迹是椭圆（除长轴两端点）其中正确的是 （填序号）【答案】【解析】对于，由于 PR +|PF2 =2=|FiF2，

27、所以点P的轨迹是线段RF2，不正确;对于，由于 PF, - PF2 =1,故点P的轨迹是双曲线的右支，不正确;对于，设P x, y，由题意得22x -1 y整理得1 _ 2 X2 1 -2 y22 22 x 1-2 =0, x2 y- 2 2 22 x -<0，1-k点P的轨迹是圆，正确。对于，设P x, y ,则 PF1 PF2 -x+1 f+y2 J(x_1 f+y2 =a2。又点P x, y关于原点的对称点为P -X,-y ,V -X1 2-讨2-X -1 2寸二.X 1 2y2.X -1 2y2二 a2, 点P-X,y也在曲线x+1 ( + y2 J(x_1 $ +y2 =a2上

28、,即点P的轨迹关于原点对称。故正确。对于，设P x, y，则kpR,x +12由题意得kPF kPF - y y - yx 1 x-1 x2/mZ，2整理得x2 -山=1。此方程不一定表示椭圆。不正确。m综上，正确的结论是。答案：三、解答题22如图，抛物线的焦点为，抛物线上'两点，在抛物线的准线上的射影分别为'.(1)如图，若 点在线段上，过.作.的平行线 与抛物线准线交于 ，证明： 是 的中点;1(2) 如图，若的面积是么匸，的面积的两倍，求中点的轨迹方程4【答案】 见解析；(2) I【解析】【分析】ABx = my +?甘* _ 丁(1)设直线，与抛物线方程联立可得，.1于

29、是一选,直线-：,设直线与交于点，令y« = 一-一易得Spqj；二-|F£>| - y? - y. I(2)设-与 轴的焦点分别为，贝U的面积是的面积的两倍，心-'"'I ,所以点可设直线 w'I,与抛物线方程联立可得."1 n厂f y,从而可得严九+1,即所求轨迹方程【详解】(1)由题，:准线1X =2AEt.x = my +设直线联立于是 叫二気=-叫，直线 切-力=-兀0 -衍）1X =设直线与交于点，令 （1 ，乃得：；'11出叫班旳+乃=+7+/21-=+7-7= 故直线经过 的中点（2）设| '

30、与 轴的焦点分别为 ，则5施旷=-EF I * 12 Vi L富=7 |FD I * ly： Vi ITJPQF的面积是鮎F的面积的两倍:.EF=2FD,所以点DCUa可设直ABix = my+ 1,恥中点"（久“兀）,x = my + 1 .y2 = 2x为+为=2肌为用=一乙工阜和 _yyi _ m v _ x卄比 _旳刃TrlEzn _ g _心一殳一 4=414 肿 +1 = yj + 1,即M中点的轨迹方程为丸=y2 + t【点睛】求轨迹方程的常见方法有：（1）直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义分别用第三个变量表示，消去参法，根据题意动点符合已知曲线的

31、定义，直接求出方程；参数法，把数即可；逆代法，将 弘=皿代入"叼$0)= °.解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求” 整体代换”的方法，以简化计算11 _m23在ABC中，已知一1 I-,且，求点A的轨迹方程，并说明轨迹实什么图形。【答案】见解析【解析】【分析】11 _ 一 m设两定点中点为原点，BC所在直线为x轴，建立如下图直角坐标系，设点A的坐标为，把 坐标化，可得1-1 '二， 1'' I |：,再分” _ .和 I讨论图形特征。【详解】由器=得Ja十幫+严=整理成(沖 _ 1)* + (卅-l)y: - 2(m: +1) +-1) =

32、 0 当存=1B寸,m = i $方程是先=° 轨迹是Y轴心当计或期寸，对式配万，得©一黔尸+严=虚和所以点A的轨迹是以(¥0)为圆心/孟争为半径的圆(除去圆与BC的交点)【点睛】 本题为典型的求轨迹的问题，第一步是建立合适的坐标系，如本题尽量利用对称性。第二步，建立几何关系，第三步几何关系代数化，第四步，检验，本题含有参数所以还需要分析参数不同时图形不同。24 已知圆J厂' 上一动点，过点作 轴，垂足为 点，中点为：' (1 )当在圆上运动时，求点：'的轨迹；的方程；(n)过点. 的直线 与：交于两点，当时，求线段：，的垂直平分线方程.工

33、2 + y2 = 100)氏厂厂厂【答案】(1厂;"、八：'=或 门【解析】分析：(1)要求点：'的轨迹：的方程，可设点的坐标为，由条件过点作- 轴，垂足为点, -中点为：'，可写出点 A的坐标| 。因为点| 在圆;：'上，故可将点| 的坐标代入33E：一 + y2 = l(y 0)圆的方程 I,可得点：'的轨迹。的方程，根据弦长求直线的方程。因(2)要线段的垂直平分线方程，应先求直线；的方程，所以应设直线为直线 的斜率是否存在不确定，为了避免讨论，可设直线方程为:；匸二仝,一忌,并与轨迹 的方程联立可2季m片十出=一n?十4得-：i ,由根与

34、系数的关系可得J巾 亦+ 4 ,由弦长公式可得|朋| =氐十m2|yi "兀I = J1 +亦JOi+y畀-叫兀m£ + 44(m2 + 1)亠一 一-=2，可解得皿=±莊。分情况讨论，求 线段；的中点，直线 的斜率，进而可求线段；的垂直平分线方程。详解：(1 )设 ，则|23Et + y2 = l(y 0)将| 代入圆':方程得：点的轨迹(注：学生不写也不扣分)(2 )由题意可设直线 方程为：衣二 ,'x - my -屮4 + y _1 得：（卄 + 4）于_2ny-1 二 0X + y厂丁?n2 + 41丹片=- 一所以I加+斗= 7?&quo

35、t;十 m2|yi - y2 = Ji + 刑马（州 +乃），-叫Fi -兀二一;=2+ 4所以' =_ -J"Xi+ y；芬"1 F当时，中点纵坐标 "，代入-L - - - 得：V中点横坐标，斜率为=.故：的垂直平分线方程为：-! ；'./ 丄;=二当匸二时，同理可得：的垂直平分线方程为：1；所以：的垂直平分线方程为：.，、"：=：!或 ： 一 " = 点睛：求动点的轨迹方程方法（1） 直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用 于动点具有的几何条件比较明显时.（2） 代

36、入法 若动点M （x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点 N的坐标代入已知曲 线的方程或满足的几何条件，从而求得动点 M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的 情况.（3） 定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常以填空、选择题的形式出现.（4） 参数法 若动点P （x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可 求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程.25已知圆，；，1 - -1 L的圆心为:,点'是圆'上的动点，点

37、 -，线段'的垂直平分线交：于占八、（1）求点的轨迹的方程；2（2） 过点作斜率不为0的直线 与（1 ）中的轨迹交于-,两点，点关于 轴的对称点为；，连接 交轴于点，求【答案】（1厂 '；（2）“ -:.2【解析】分析：（1 ）利用待定系数法求出点在以、为焦点，长轴长为 4的椭圆上，点的轨迹，的方程为：（ 2）先求出点Q的坐标，再利用两点间的距离公式求'详解：（1 ）由题意知，线段 的垂直平分线交"于点，所以八一1门丨山.、=|U| ，=门厂=!- 一，T = p；：<点在以、 为焦点，长轴长为4的椭圆上，2“ = 4 2c = 2 亚 b2 = a2-

38、c2 = 2X2 F ,F = 1点的轨迹的方程为'. 依题意可设直线/方程为xmy + 4,将直线方程代入扌+斗"，化简得（盹2 + 2）y3 +8my + 12 = 0,设直线与椭圆£的两交点为眉（七$）迟Umb由d = 64m3-4 X 12（m2 + 2） > 0,得讯左 > 6,且划+为=一哉，兀力=為，因为点A关于咒轴的对称点为久则可设0%叽etni l 二 吃也1 -所以BD所在直线方程为y _ y2 =鳥；工；）住-尬旳-4）,令=°,得窃=竺養严2,把代入，得丸u = 1,二Q点的坐标为（10）,A|（?T| = 3.点睛：求

39、动点的轨迹方程常用的有四种方法：直接法、待定系数法（定义法）、相关点代入法和参数法每一种方法都分为五个步骤：建（建立直角坐标系）设（设点） 限（写出动点满足的限制条件） 代（代点和公式）化简.26.设动圆P（圆心为P）经过定点（0, 2）,被x轴截得的弦长为4, P的轨迹为曲线C（1）求C的方程（2）设不经过坐标原点 O的直线I与C交于A、B两点，O在以线段AB为直径的圆上，求证：直线 I经过定点，并求出定点坐标【答案】(1) '一； ( 2)【解析】分析：(1)由圆的几何性质布列方程组，消去参数即可得到轨迹方程；(2)设不经过坐标原点 0的直线'的方程为:卜，(y = kx

40、+ b则：.'，解得：/:一"-"，利用根与系数的关系表示垂直关系可得线I经过定点.详解：(1)设动圆P圆心为 ，半径为，被x轴截得的弦为'依题意的:f2 + (y-2)2-r化简整理得：一 所以，点P的轨迹C的方程 I(2)设不经过坐标原点0的直线'的方程为，!y = kx b x2 = 4y ，解得：严吨如_ 4b = 0 ,尤i +苫2 =伙，戈iF=-忙又 0在以线段 AB为直径的圆上，. 丿：川" 即又y1 kx1 + b y2 = kx2 + b 叼龙2 斗 旺兀i + 方)龙2 + = °吟2 + %勺十 kb(x1

41、 +x2) + ft2 = 0-4b-4kzb + 4k2b +b2 = Q"w 耳一或(舍去)所以直线I经过定点点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 定义法：根据圆、直线等定义列方程. 几何法：利用圆的几何性质列方程. 代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.227.已知焦点为 的的抛物线:-()与圆心在坐标原点,半径为 的交于乙 两点，且，其中p,旳均为正实数(1 )求抛物线及 的方程;(2)设点为劣弧：上任意一点，过作 的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线 -相切，且两直线交于点

42、',求点Y的轨迹方程y2 = 1 G - 4> - 2J21【答案】(1)答案见解析；(2):.4FI = 2 +【解析】试题分析：(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A於 斥处& =丄的坐标，由点点距得到半径；(2 )设， ，由直线和曲线相切得到，：1 Xi1 乃y = x + y- + 儿 '，同理-： 乃 '，联立两直线得y =，x08XI X(，根据点(心在圆上可消参得到轨迹解析:(1)由题意，內|=2+叮=缶故p=lo 所以抛物线£的方程为护二2x.将4(2,皿代入抛物线方程，解得机=2, 因此卫(2劝故= 0A

43、2 =2= + 2= =8,0。的方程为以+严=氏(2 )设=，''，设，yly-yi = Kx -则由1 宀肚得；：J ；!令A = (-2)2-4fc(2y1tyJ)= 0,解得 丹1 丹V = 故：.，1 出y = x + 同理：则由卜 1 旳 y = 一"Vi 21 乃 y=x-r .>2 2解得2 J y i + y2 y因直线QR；尢岸+ y訝=X勺E N2网2y071十?2 =丿%16 y2 =_ t-I因此y=”X =.呵根据点"(呵必)在圆上满足方程來十b = B，消参得到G点睛：这道题考查圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：

44、数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法28已知圆:"'V '的圆心为，： , 为圆上任意一点，线段 "的垂直平分线与线段的交点为：'(1)求点'的轨迹.的方程;(2)若过点 的直线；交曲线于 两点，求的取值范围【答案】见解析【解析】试题分析：（1 ）第（1）问，利用定义法确定点 P的轨迹是椭圆，再求椭圆的标准方程（2）第（2）皿 2- 57问，先求出 "关于直线斜率k的表达式;-，再求函数的取值范围试题解析：（1）连结"，由于是

45、线段厂的垂直平分线，所以 'I -飞所以 宀小门-I" _ -，所以点：'的轨迹，是以I'为焦点，以4为长轴长的椭 圆,=1故其方程为：;.（2 当直线的斜率不存在时，?AM AN = A- = -，所以1 .2 2 疋 y-I- = 1当直线的斜率存在时，设： I，代入： 消去得*-$十U -?-8以4fc2- 12X-. + X2 = x.x2 设沙9，则3 + 4/?23 + 4/ ,因为|二一朋-所以 | 二 ' - ',- i -： - , - 一：', - I i. -=(1 + k2)xx2 + (fc2-+x2) + 1

46、 + k22 4來-122-8lc22=(1 + 以)十(fc2-l) + 1 十以3 +4k23 + 4kz_ 7/t2-9 _ 7_573 +斗/ 44(3 + 4k2)1957_ 一 孑因为所以，所以'1 ,-諒斗综上可知，心；的取值范围是点睛：本题关键是第（2）问，首先要想到函数的思想，先求出757AMAN =4叭3十4/）,再求函数的取值范围函数的思想是高中数学里的一个重要思想,曲欣关于直线斜率k的表达式大家要理解掌握并灵活运用29.已知动圆C恒过点 -,0 ，且与直线12丿x-相切.(1)求圆心C的轨迹方程;<3 ¥3(x + 3)(x + 3)+ y+-

47、y+? =0，化简得I人t2(2)若过点P 3,0的直线交轨迹C于A , B两点，直线OA , OB ( O为坐标原点)分别交直线x =3 于点M , N，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.【答案】y2 = 2x ；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)分析题意，由抛物线的定义，可知圆心C的轨迹为以 1 0为焦点，X二-丄为丿 2准线的抛物线，且P =1，圆心C的轨迹方程为y2=2x ；( 2)设A 2t12,2t1 ,B 2t22,t2址2 = 0，由A,P,B3三点共线，求出 t1t2，以MN为直径的圆的方程为22 2 .x 3 y -2鮎 t2 y -6 =0，令y =0 ,

48、求出x的值，求出弦长。试题解折:(1)由題青得，点C与点e)的距离始终等于点C到直线x =的距离一因此由抛物线的定义，可知圆心C的轨迹为以£卫)为焦点，x=4为准线的抛物线V A ;A所以圆心c的轨迹方程为y2=lx(2)由圆心C的轨迹方程为y2 =2x，可设 A 2t12,2t1， B 2tf,2t2， 览=0， 则 PA = 2tf -3,2t3 ， PB 二 2t| -3,2t2 ， 由 A， P， B 三点共线，可知 2t： -3 2t2 - 2tf -3 2t3 =0，即 2t：t2-3t2 -2t；t33t1 =0=2t1t2t2-t33 b -t2 二0=2t1t23t

49、3-t2 = 0.3因为1 =t2，所以址2.2又依题得，直线 OA的方程为y x.(3令 x =,，得 M _3, _3同理可知N -3,(3 ¥3、因此以MN为直径的圆的方程可设为(x+3)x + 3)+ y十 y + =0.化简得x 31 :ii，y y + 0，tl t23 2 2将址2 - - 2代入上式，可知 x 3 y - 2 tl t2 y - 6 = 0， 在上式中令y = 0 ,可知为-3 ， x2 - -3 -、6，因此以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为 x, -x2 = -3 +J6+3 +J6 = 2J6，为定值.点睛：本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与抛

50、物线，直线与圆的位置关系，属于中档题。熟练掌握定 理及公式是解答本题的关键。x 230 已知双曲线y =1的左、右顶点分别为 A，入，直线l：x二p与双曲线交于 M,N，直线A,M交直线AN于点Q.(1) 求点Q的轨迹方程；(2) 若点Q的轨迹与矩形ABCD的四条边都相切，探究矩形 ABCD对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.2【答案】 才 y2 =1 x=0, y=0 ;(2)见解析.【解析】试题分析：利用交轨法，求出点 Q的轨迹方程；(2)设点A m, n m=0,n = 0，过点A作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0,设斜率为k，则切线方程为 y二kx n _km ,

51、2 2 2代入到椭圆方程整理，得 (1+2k )x +4k(n-km)x + 2(n-km) -2 = 0.由 =0得到2 2 2m -2 k -2mnk-1=0，这个关于k的一元二次方程的两根即为 kAB与kAD，由kAB kAD = 1，可知m? + n? = 3，即0円=OB = OC = OD = J3，即点O为矩形ABCD外接圆的圆心，其中AC为直径，大小为2,3，故矩形ABCD对角线长为定值2J3.试題解析:(1设点Qx,y?其中宙题意，得对(一4卫,两式相乘得2-y0代入上式得x2 -2由与乜,23-1 1x 2“p22 一2 T 八1，y°0，得 y m 0 ,得 x- 2 P- 2 _i= x".x