2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：空间点、线、面之间的位置关系

1、课时跟踪检测（三十八）空间点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. （2019 台州一诊 股 a, b 是空间中不同的直线，a, B是不同的平面，则下列说法正确的是（)A. a/ b,b?a ,则 a /aB. a?a ,b?3a / 3,则 a/ bC. a?a ,b?a ,a/ 3, b/ 3,贝U a/3D. all3a ?a,则 a /3解析： 选 D由a , b 是:空间中不同的直线，a, 3是不同的平面知，在 A 中，a/ b ,b?a,则 a/a或 a?a,故 A 错误；在 B 中，a?a, b?3, a/ 3,则 a 与 b 平行或异面，故 B 错误；在 C

2、中，a?a, b?a,a /3,b/3贝U a与3相交或平行，故 C 错误；在 D 中，all3a?a,则由面面平行的性质定理得a/3,故 D 正确.故选 D.2.（2018 平阳期末）已知 a , b 是异面直线,直线 c/直线 a,那么 c 与 b（ ）A 一定是异面直线B 一定是相交直线C 不可能是平行直线D 不可能是相交直线解析：选 C 由平行直线公理可知，若c/ b,则a/b,与 a , b 是异面直线矛盾.所以 c 与 b 不可能是平行直线.3.空间四边形两对角线的长分别为6 和 8,所成的角为45。连接各边中点所得四边形的面积是（）A. 6 2B. 12C. 12.2D. 24.

3、2解析：选 A 如图，已知空间四边形 ABCD,设对角线 AC= 6 , BD =8 ,易证四边形 EFGH 为平行四边形，/ EFG 或/ FGH 为 AC 与 BD 所成的 45角，故 S四边形EFGH= 3X4 sin 45 = 6 ，2 ,故选A.4._ 如图所示,平行六面体 ABCD -A1B1C1D1中，既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有 _ 条；与 AB 异面的棱有 _ 条.解析：依题意，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1平行有棱 AA1, BB1；与AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD , C1D1.故符合条 件的有 5 条.与 AB 异面

4、的棱有 CC1, DD1, B1C1,A1D1,共 4 条.答案：5 45. 如图，在三棱锥 A-BCD 中，AB= AC = BD = CD = 3 , AD = BC =2,点 M, N 分别为 AD , BC 的中点，则异面直线 AN, CM 所成的角 的余弦值是_ .解析：如图所示，连接 DN ,取线段 DN 的中点 K,连接 MK , CK. M 为 AD 的中点, MK / AN ,/ KMC 为异面直线 AN, CM 所成的角.AB= AC = BD = CD= 3, AD = BC = 2, N 为 BC 的中点,由勾股定理易求得 AN = DN = CM = 2 2, MK

5、= 2.在 Rt CKN 中，CK =22+ 12= 3.在厶 CKM 中，由余弦定理，得cos/ KMC器早疤 L72 X#2X2#2答案：7保咼考，全练题型做到咼考达标A .充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A 若 m?a, n?a,且 m / n ,由线面平行的判定定理知m /a,但若 m?a,n?a,且 m /a,贝 U m 与 n 有可能异面，二“ m / n ”是“ m /a”的充分不必要条件.2. （2018 宁波模拟）如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M, N 分别是 BC1, CD1的中点，则下列说法错误的是（）解析：选 D 如图，连接 C1D ,在

6、厶 C1DB 中，MN / BD ,故 C 正 确；因为C6 丄平面 ABCD,所以 C&丄 BD ,所以 MN 与 CC1垂直，故 A 正确；因为 AC 丄 BD, MN / BD ,所以 MN 与 AC 垂直，故 B 正确；因为 A1B1与 BD 异面，MN / BD,所以 MN 与 A1B1不可能平行，故 D 错误.81. （2018 浙江高考）已知平面a,直线 m,n 满足 m?a,n?a,则m/n”是m/ a”B.必要不充分条件C .充分必要A. MN 与 CC1垂直C . MN 与 BD 平行B. MN 与 AC 垂直D. MN 与 A1B1平行3. （2018 义乌二模）

7、已知 m , n 为两条不同的直线,a,B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A .若a丄B,m 丄B,贝ym II aB.若平面a内有不共线的三点到平面B的距离相等，则al BC .若 m 丄a,m n，贝 U nI aD.若 mln, n 丄a,贝Uma解析：选 D 由 m, n 为两条不同的直线，a, B为两个不同的平面知，在 A 中，若a丄Bm 丄B,贝Uml a或 m?a,故 A 错误；在 B 中，若平面a内有不共线的三点到平面B的距离相等，则a与B相交或平行，故 B 错误；在 C 中，若 m 丄a,m n，则 nI a或 n ?a,故 C 错误；在 D 中，若 mln,n 丄

8、a,则由线面垂直的判定定理得 m 丄a,故 D 正确.故 选 D.4. （2019 湖州模拟）如图，在下列四个正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E , F , G 均为所在 棱的中点，过 E , F , G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BDi与平面 EFG 不垂直的是（）解析：选 D 如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E , F , G , M ,N , Q 均为所在棱的中点， 易知多边形 EFMN QG 是一个平面图形，且直 线 BDi与平面 EFMN QG 垂直，结合各选项知，选项 A、B、C 中的平 面与这个平面重合，只有选项D 中的平面既不与平面 EFMN C

9、G 重合，又不与之平行.故选 D.5. （20i8 宁波九中一模）正三棱柱 ABC-AiBiCi中，若 AC = 2AAi,则 ABi与 CAi所成 角的大小为（）A. 60B. i05C. 75D. 90解析：选 D 取 AiCi的中点 D，连接 AD, BiD（图略），易证 BiD 丄 AiC,因为tan/CAiCianZADAi2?X2 = i，所以 AiC 丄 AD,又 BiDnAD = D，所以 AiC 丄平面BDABiD，又 ABi?平面 ABID，所以 AiC 丄 ABi，故 ABi与 CAi所成角的大小为 906.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB, CD ,

10、EF , GH 在原正方体中互为异面直线的对数为 _ 对.解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB, CD , EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD , EF 与 GH , AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对.答案：37.（20i8 福建六校联考）设 a, b, c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：1若 a / b, b/ c,贝 U a/ c;2若 a 丄 b, bc,贝 U a/ c;3若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；4若 a?

11、平面 a, b?平面 3,则 a, b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 _（写出所有正确命题的序号）.解析：由公理 4 知正确；当 a 丄 b, b 丄 c 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错;当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故错；a?a,b?3并不能说明 a 与 b 不同在任何一个平面内”，故错.答案：8.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB的中点，Ci是圆柱上底面弧 AiBi的中点，那么异面直线 ACi与 BC 所成角的正切值为 _.i_ .,.1解析：取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D

12、, 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD / BC ,所以直线 ACi与 AD 所成角等于异面直线Ci是圆柱上底面弧 AiBi的中点，所以 CiD 丄圆柱下底面，所以 CiD 丄 AD ,连接 CiD, AD ,r因为圆柱的轴截面 ABBiAi是正方形， 所以 CiD = 2AD , 所以直线 ACi与 AD 所成角的正切值为.2,所以异面直线 ACi与 BC 所成角的正切值为.2.答案：29. （2018 舟山模拟）在空间四边形 ABCD 中，已知 AD = 1, BC = .3 且 AD 丄 BC,对 角线BD = 今,AC= J，求 AC 和 BD 所成的角.解：如图，分别

13、取 AD , CD, AB, BD 的中点 E , F , G, H，连接 EF ,FH , HG , GE , GF.由三角形的中位线定理知，EF / AC ,且 EF =-4,GE / BD，且 GE =今，GE 和 EF 所成的锐角（或直角）就是 AC 和 BD 所4成的角.同理，GH / AD , HF / BC, GH = 1, HF =中.又 AD 丄 BC,所以/ GHF = 90 所以 GF2= GH2+HF2= 1.在厶 EFG 中，GE2+ EF2= 1 = GF2,所以/ GEF = 90即 AC 和 BD 所成的角为 9010.如图所示，在三棱锥 P -ABC 中，PA

14、 丄底面 ABC, D 是 PC 的中点.已知/ BAC= 90 AB= 2, AC= 2 3, PA= 2.求：（1）三棱锥 P -ABC 的体积；（2）异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值.1解：(1)SAABC=x2X2 3 = 2 3,故三棱锥 P -ABC 的体积为V=1SAABCPA=3X2 3X2=43.如图所示， 取 PB的中点 E,连接 DE , AE, 贝 U DE/ BC,所以/ ADE(或其补角) )是异面直线在厶 ADE 中，DE = 2, AE = , 2,DE2+ AD2- AE2则 cos/ ADE =2DE ADBC 与 AD 所成的角.AD=2,22+2

15、2_2=3 -2X2X2=4.即异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为3.4三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. （2019 绍兴质检）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB = BC =2, A1C 与底面 ABCD 所成的角为 60 求四棱锥 Ai-ABCD 的体积；(2)求异面直线 AiB 与 BiDi所成角的余弦值.解：在长方体 ABCD-AiBiCiDi中，AB= BC= 2,连接 AC,AAC =22+ 22= 2 2,又易知 AAi丄平面 ABCD ,/AiCA 是 AiC 与底面 ABCD 所成的角，即/ AiCA = 60AAi=ACtan 60= 2 2X3=

16、2 6,；S正方形ABCD=AB BC=2X2=4,ii 厂8 馮VA,/BCD= 3 AAiS正方形ABCD=2 6X4=寸.(2)连接 BD，易知 BD/ BiDi,AiBD 是异面直线 AiB 与 BiDi所成的角( (或所成角的补角) ). BD = 22+ 22= 2 .2, AiD = AiB= 2?+ 2 62= 2 .7,AIB2+BD2AiD2=28+828 =回2 AiB BD=2X2辺=i4，2. (20i8台州一模) )如图所示的圆锥的体积为 点C 是 AB 的中点，点 D 是母线 PA 的中点.(1) 求该圆锥的侧面积；(2) 求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小

17、.解：( (i)T圆锥的体积为-3 冗，圆 o 的直径3即异面直线 AiB 与 BiDi所成角的余弦值是.i4i4 .cos/ A,BD=AB= 2，圆锥的高为 PO ,/ P0 丄平面 ABC, OC ?平面 ABC,.PO 丄 OC ,又点 C 是 AB 的中点， OC 丄 AB./ POPAB = O, PO?平面 PAB , AB?平面 PAB, OCX平面 PAB,又 DO?平面 PAB, OCXDO，即/ DOC = 90在 Rt DOC 中，TOC= DO = I,： / CDO = 45故异面直线 PB 与 CD 所成角为 45法二：连接 OC,易知 OC 丄 AB,又TPO

18、丄平面 ABC , PO, OC, OB 两两垂直，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 轴，OB所在直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.其中 A(0, - 1,0), P(0,0,3),D 0,- 2 于,B(0,1,0), C(1,0,0), PB= (0,1， 3) , CD = - 1 ,-寺于,设异面直线 PB 与 CD 所成的角为0,则 cose=匹型=2=2|PB| |CD| 2五2、e=45 ，异面直线 PB 与 CD 所成角为 453.如图所示,三棱柱 ABC -A1B1C1,底面是边长为 2 的正三角形， 侧棱 A1A丄底面 ABC ,点 E, F 分别是棱 CC1, BB1上的点，点 M 是线段 AC 上的动点，EC = 2FB = 2.(1)当点 M 在何位置时， BM /平面 AEF?若 BM /平面 AEF ,判断 BM 与 EF 的位置关系，说明理由；并求 BM与 EF 所成 的角的余弦值.解：法一：如图所示,取 AE 的中点 O ,连接 OF,过点 O 作 OM 丄 AC于点 M.因为侧棱 AA丄底面 ABC ,所以侧面 A1ACC1丄底面 ABC.xa又因为 EC = 2FB = 2,所以 0M / FB / EC 且 0M = 2EC=F