瞬时速与导数李红云学习教案

1、会计学1瞬时瞬时(shn sh)速与导数李红云速与导数李红云第一页，共51页。65049探究计算运动员在 ， 这段时间里的平均速度，并思考下面两个问题。2( )4.96.510h ttt 2121()()h th thvttt平均速度公式：平均速度公式：由上面的公式，我们由上面的公式，我们(w men)可以计算任何时间段内的平均可以计算任何时间段内的平均速度。速度。第2页/共51页第二页，共51页。 1?2?运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗hto 探究探究(tnji)过程：如图是函数过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图

2、形的图像，结合图形可知，经过计算可知，经过计算 ，所以，所以，) 0 ()4965(hh65()(0)490(/ )65049hhvm s虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员的运动状态的运动状态49650t0(/ )m s6549第3页/共51页第三页，共51页。回顾所学物理知识：既然平均速度不回顾所学物理知识：既然平均速度不能精确的描述运动员的运动状态，为能精确的描述运动员的运动状态，为了更加精确的刻画运动员在某一

3、时刻了更加精确的刻画运动员在某一时刻的运动状态，我们的运动状态，我们(w men)可以考察什可以考察什么物理量？么物理量？思考思考(sko)运动员在某一时刻的速度运动员在某一时刻的速度(sd)，即物理，即物理中的瞬时速度中的瞬时速度(sd)。第4页/共51页第四页，共51页。3.1.2瞬时速度(shn sh s d)与导数第5页/共51页第五页，共51页。二新课讲授二新课讲授(jingshu)1瞬时速度瞬时速度,?那么 我们如何求运动员的瞬时速度呢 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻在高台跳水运动中，运动员在不同时刻(shk)的速度是不同的。我们把物体在某一的速度是不同的。我们把物体在某一时刻

4、时刻(shk)的速度称为瞬时速度。运动员的的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻(shk)的瞬时速度。的瞬时速度。,2?t 比如时的瞬时速度是多少第6页/共51页第六页，共51页。1.9，21.99，21.999，21.9999，21.99999，21.999999，22，2.12，2.012，2.0012，2.00012，2.000012，2.000001第7页/共51页第七页，共51页。s2.2,2,0.0,22;0,22.2,22,2,.ttttttttttv 根据上面的分析，要想确定2 时的瞬时速度，我们可以先考察附近的

5、情况 在任意取一个时刻是时间的改变量 可以是也可以之前或之后正值是但不为 当时在之前 当时在 之后计算区间和区间内平均速度 为了方便研究，画表负格如下值第8页/共51页第八页，共51页。s2.2,2,0.0,22;0,22.2,22,2,.ttttttttttv 根据上面的分析，要想确定2 时的瞬时速度，我们可以先考察附近的情况 在任意取一个时刻是时间的改变量 可以是也可以之前或之后正值是但不为 当时在之前 当时在 之后计算区间和区间内平均速度 为了方便研究，画表负格如下值第9页/共51页第九页，共51页。4.913.1vt 4.913.1vt 4.913.1vt 4.913.1vt 4.91

6、3.1vt 1.9，21.99，21.999，21.9999，21.99999，21.999999，2-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001-0.0000012，2.12，2.012，2.0012，2.00012，2.000012，2.0000010.10.010.0010.00010.000010.00000113.051v 0951.13v13.09951v 099951.13v13.0999951v 12.61v 13.149v 1049.13v100049.13v13.1000049v 13.10049v 13.59v 2( )4.96.510h ttt (2)(

7、2)02(2)hhhttttv 时，(2)(2)0(2)2vhhthttt 时，4.913.1t 4.913.1t ?通过表格通过表格(biog)中的数据观察，当中的数据观察，当t趋于趋于0时时，平均速度有什么样的变化趋势？，平均速度有什么样的变化趋势？ ?v ?v 第10页/共51页第十页，共51页。.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 022lim13.1,2,0,13.1.ttththt

8、v 为了我们用表示 当趋势近于 时表述方便平均速度 趋近于 13220.1hthtt我们称确定值是当趋于 时的极限近那么在那么在t=1t=1或或t=3t=3时的瞬时速度时的瞬时速度(shn (shn sh s d)sh s d)怎么求？怎么求？第11页/共51页第十一页，共51页。.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 022lim,2,0,13.13.1 .1ththtttv 为了我们用表示

9、当趋势近于 时 平均速度 趋近于确定值表述方便 13220.1hthtt我们称确定值是当趋于 时的极限近那么那么(n me)(n me)在在t=1t=1或或t=3t=3时的瞬时速度怎么时的瞬时速度怎么求？求？第12页/共51页第十二页，共51页。0?t运动员在某时刻 的瞬时速度怎样表示 0000limlimtth tth thtt 第13页/共51页第十三页，共51页。逼近逼近(bjn)思想思想或或lttsttst)()(000时，lttsttst)()(000lim瞬时速度瞬时速度(shn sh s d)的两种记法：的两种记法：思想思想(sxing)方方法：逼近思法：逼近思想想(sxing)

10、第14页/共51页第十四页，共51页。lttsttst)()(000lim 时刻的瞬时速度。就称为这个常数趋近于一个常数时间内的平均速度时，趋近于00000,0tllttsttstttt00|.x xyyxx表示函数 关于自变量 在 处的导数推广到一般的函数推广到一般的函数(hnsh)关系：关系：lxxfxxfx)()(lim000)(xfy 瞬时变化率怎样求处的在点函数0)(xxxfy 时刻的瞬时变化率。就称为这个常数趋近于一个常数时间内的平均变化率时，趋近于00000,0 xllxxfxxfxxxxlttsttst)()(000时，瞬时速度瞬时速度(shn sh s d)的两的两种记法：种

11、记法：lxxfxxfx)()(000时，第15页/共51页第十五页，共51页。第16页/共51页第十六页，共51页。0 xf0| xxyxxfxxfxyxx)()(limlim0000二、导数二、导数(do sh)的概念的概念 xfy 0 xx通常称为函数在处的导数，记作 xfy 0 xx 函数函数 在在 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 0 xf或 0| xxy即即第17页/共51页第十七页，共51页。第18页/共51页第十八页，共51页。 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解精讲点拨精讲点拨(din bo),根据导数的定义xfxfxy)2()2(第19页/共51页第十九

12、页，共51页。 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 ,根据导数的定义xfxfxy)2()2( 3)3(limlim200 xxyfxxxx所以第20页/共51页第二十页，共51页。求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0处的导数的基本处的导数的基本(jbn)(jbn)步骤是步骤是: :);()()1(00 xfxxfy 求函数的增量求函数的增量;)()()2(00 xxfxxfxy 求平均变化率求平均变化率.lim)()3(00 xyxfx 取极限，得导数取极限，得导数注意注意: :这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量

13、不是一般意义上的增量, ,它可正也可负它可正也可负. .自变量的自变量的增量增量xx的形式是多样的的形式是多样的, ,但不论但不论xx选择哪种形式选择哪种形式,y,y也必须也必须(bx)(bx)选择与之相对应的形式选择与之相对应的形式. .方法方法(fngf)总总结：结：第21页/共51页第二十一页，共51页。例例2火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到到(d do)100m/s，试问熄火后多长时间火箭向，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为上的速度为0？(g=9.8) 解：火箭的运动解：火箭的运动(yndng)方程为方程为h(t)=100t gt2，21在在

14、t附近附近(fjn)的平均变化率为的平均变化率为22211100()() 100221100()2ttg tttgtttgt ttgtt =100gt gt 12试用数学和物理两种方法来解试用数学和物理两种方法来解第22页/共51页第二十二页，共51页。当当t0时，上式趋近时，上式趋近(q jn)于于100gt。可见可见t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度h(t)=100gt。 令令h(t)=100gt=0，解得，解得10010010.2( )9.8tsg 所以火箭熄火后约所以火箭熄火后约10.2s向上向上(xingshng)的速的速度变为度变为0.第23页/共51页第二十三页，共51页。例例2.2

15、.求求y=x2y=x2在点在点x=1x=1处的导数处的导数(do (do sh)sh)解：解：222)(21)1 (xxxyxxxxxy2)(222|2)2(limlim100 xxxyxxy试一试：试一试：第24页/共51页第二十四页，共51页。 求函数求函数y=x2+2在点在点x=3处的导数处的导数(do sh)。解：因为解：因为(yn wi)y=(3+x)232=6x+(x)2.所以所以(suy)yx=6+x，所以函数所以函数y=x2在点在点x=3处的导数为处的导数为6.跟踪练习跟踪练习2.6)6(limlim)3( 00 xxyfxx所以第25页/共51页第二十五页，共51页。 如果函

16、数如果函数f(x)在开区间在开区间(q jin)(a，b)内每一内每一点点x都是可导的，则称都是可导的，则称f(x)在区间在区间(q jin)(a，b)可导。这样，对开区间可导。这样，对开区间(q jin)(a，b)内每个值内每个值x，都对应一个确定的导数，都对应一个确定的导数f (x)。于是，在区间。于是，在区间(q jin)(a，b)内，内，f (x)构成一个新的函数，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为的导函数，记为f (x)或或y(或或 )。xy三：导函数(hnsh)的概念第26页/共51页第二十六页，共51页。 (1)求函数求函数y

17、=x2+2在点在点x=3处的导数处的导数(do sh)。解：因为解：因为(yn wi)y=(3+x)232=6x+(x)2.所以所以(suy)yx=6+x，所以函数所以函数y=x2在点在点x=3处的导数为处的导数为6.思考：导函数和导数的区别是什么？导函数是一个函数，导数是一个数值(2)求函数求函数y=x2+2的导数。的导数。导函数通常简称为导数讨论6)6(limlim)3( 00 xxyfxx所以第27页/共51页第二十七页，共51页。回顾总结回顾总结2. 导数的概念(ginin)及其内涵 1. 瞬时(shn sh)变化率的求法5. 思想方法：“以已知探求未知”、逼近(bjn)、类比、从 特

18、殊到一般。0 xfxxfxxfxfxx)()(limlim00003.导数的计算公式：= xfy 0 xx 4.求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限” 第28页/共51页第二十八页，共51页。当堂检测：当堂检测：1.已知函数已知函数)(xfy ，下列说法错误的是下列说法错误的是（ ）A.)()(00 xfxxfy叫函数增量叫函数增量xxfxxfxy)()(00 xxx00,B.叫函数在叫函数在 上的平均变化率上的平均变化率C.在点在点)(xf0 xy处的导数记为处的导数记为)(xf0 x)(0 xf D.在点在点处的导数记为处的导数记为22ts 3t3.若质点(zhdin)A按规律运动运

19、动(yndng)(yndng)，则在，则在秒的瞬时速度秒的瞬时速度(shn sh (shn sh s d)s d)为（为（ ）A.6 B.12 C.54 D.81CB)(xfxfxfx3) 1 ()1 (lim02.设函数设函数可导可导，则则=（ ）) 1 (f A.) 1 (31f B.C.不存在 D.以上都不对B第29页/共51页第二十九页，共51页。课后作业课后作业(zuy)(zuy)请同学请同学(tng xu)们课后复习巩固本们课后复习巩固本节所学内容并完成节所学内容并完成本节的课后案。本节的课后案。第30页/共51页第三十页，共51页。1.求求22xy在点在点x=1处的导数处的导数.

20、xxxf2)(1x2.2.求函数求函数在在附近的平均变化率，附近的平均变化率，并求出在该点处的导数并求出在该点处的导数答案答案(d n)：（：（1）2 （2）3第31页/共51页第三十一页，共51页。注意注意(zh y) 00000limlim.xxf xxf xyfxxx （2）由导数）由导数(do sh)的定义可知的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)在在x=x0的导数的导数(do sh)的的 一般方法一般方法:1.求平均求平均(pngjn)变变化率化率 2. 求极限值求极限值.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy第32页/共51页第三十二页，共51页。 上图

21、是一张运动员高台跳水的图片，运动员起跳后相对于水面的高度h与时间t的函数(hnsh)关系为 ，由这个函数(hnsh)关系，我们就能求出在任何一段时间内的平均速度，回忆求平均速度的计算公式。2( )4.96.510h ttt 一一第33页/共51页第三十三页，共51页。 1?2?运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗hto 探究探究(tnji)过程：如图是函数过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图的图像，结合图形可知，经过计算形可知，经过计算 ，所以，所以，) 0 ()4965(hh65()(0)490(/ )65049hhvm

22、 s虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员的运动状态的运动状态49650t0(/ )m s6549第34页/共51页第三十四页，共51页。回顾回顾(hug)所学物理知识：既然平均速所学物理知识：既然平均速度不能精确的描述运动员的运动状态，度不能精确的描述运动员的运动状态，为了更加精确的刻画运动员在某一时刻为了更加精确的刻画运动员在某一时刻的运动状态，我们可以考察什么物理量的运动状态，我们可以考察什么物理量？思考思考(s

23、ko)运动员在某一时刻运动员在某一时刻(shk)的速度，即物理的速度，即物理中的瞬时速度。中的瞬时速度。第35页/共51页第三十五页，共51页。二新课讲授二新课讲授(jingshu)1瞬时速度瞬时速度,?那么 我们如何求运动员的瞬时速度呢 在高台跳水运动在高台跳水运动(yndng)中，运动中，运动(yndng)员在不同时刻的速度是不同的。我员在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动动(yndng)员的平均速度不一定能反映他（员的平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻的瞬时速度。她）在某一时刻的瞬时速度。,2?t 比如时的瞬时

24、速度是多少10220数都趋近于一个确定的常那边趋近，的的那边还是大于时，无论从小于趋近于发现：vt第36页/共51页第三十六页，共51页。./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 022lim,2,0,13.13.1 .1ththtttv 为了我们用表示 当趋势近于 时 平均速度 趋近于确定值表述方便 13220.1hthtt我们称确定值是当趋于 时的极限近那么那么(n me)(n me)在在t=1t=1或或t=3t=3时的瞬时速度怎么时的瞬时速度怎么求？求？第37页/共51页第三十七页，共51页。小结：

25、由定义小结：由定义(dngy)(dngy)知，知，求求f(x)f(x)在在x0 x0处的导数步骤为处的导数步骤为：);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限第38页/共51页第三十八页，共51页。第39页/共51页第三十九页，共51页。例例2. 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为： 其其中位移单位是中位移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.

26、01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 第40页/共51页第四十页，共51页。解解:)(212_tggtsv (1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt

27、第41页/共51页第四十一页，共51页。跟踪练习跟踪练习:(1)火箭竖直向上火箭竖直向上(xingshng)发射熄火时向上发射熄火时向上(xingshng)速度达到速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上，试问熄火后多长时间火箭向上(xingshng)速度为速度为0？(2)质量为质量为10kg的物体，按照的物体，按照(nzho)s(t)=3t2+t+4的规律做的规律做直线运动，求运动开始后直线运动，求运动开始后s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；第42页/共51页第四十二页，共51页。课后思考课后思考(sko)从函数的图象上看，平均变化率：表示(biosh)曲线y=f(x)的一条割线

28、的斜率。 00()()fxxfxx 那么导数即瞬时变化率那么导数即瞬时变化率 表示什么呢？请课后思考表示什么呢？请课后思考.0000()( )( )limxf xxf xf xx y=f(x)f(x0+ )-f(x0)x0 x0+xyf(x0+ )f(x0)oxxxx第43页/共51页第四十三页，共51页。s2.2,2,0.0,22;0,22.2,22,2,.ttttttttttv 根据上面的分析，要想确定2 时的瞬时速度，我们可以先考察附近的情况 在任意取一个时刻是时间的改变量 可以是也可以之前或之后正值是但不为 当时在之前 当时在 之后计算区间和区间内平均速度 为了方便研究，画表负格如下值

29、一、如何求运动物体在某时刻一、如何求运动物体在某时刻(shk)的瞬时速的瞬时速度？度？第44页/共51页第四十四页，共51页。00|.x xyyxx表示函数 关于自变量 在 处的导数推广到一般推广到一般(ybn)的函数关系：的函数关系：时，0 xlxxfxxf)()(00 xfy 0 xx 函数函数 在在 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 0 xf0| xxy xfy 0 xx通常称为函数在处的导数，记作或 lxxfxxfx)()(lim000)(xfy 处的瞬时变化率怎样求在点函数0)(xxxfy或或第45页/共51页第四十五页，共51页。早在十七世纪，欧洲资本主早在十七世纪，欧洲资本主义发展初

30、期，由于工场的手义发展初期，由于工场的手工业向机器生产工业向机器生产(shngchn)(shngchn)过渡，提高了生产过渡，提高了生产(shngchn)(shngchn)力，促进了科学力，促进了科学技术的快速发展，其中突出技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果了丰硕的成果微积分微积分的产生。的产生。微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到

31、了广泛的为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用应用(yngyng)。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。们的日常生活中所碰到的那些问题了。第46页/共51页第四十六页，共51页。来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常(chngchng)(chngchn

32、g)遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。与最小值。 学习微分学习微分(wi fn)是解决上述问题的有力工具是解决上述问题的有力工具。问题：超市货品问题：超市货品(hupn)(hupn)架上的罐装饮料架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积（圆柱形），当圆柱形罐的容积V V一定时，一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？省？食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等，不少都使食品店里的罐装汽水、可

33、乐、啤酒等，不少都使用圆柱形金属罐。当圆柱形罐的容积相同时，由用圆柱形金属罐。当圆柱形罐的容积相同时，由于形状不同，它们的表面积就不同，所用材料的于形状不同，它们的表面积就不同，所用材料的数量也就不同。数量也就不同。名词解释：名词解释：微分学，包括求导数的运算微分学，包括求导数的运算, ,是一套关于变化率的是一套关于变化率的理论理论. . 它使得函数它使得函数, ,速度速度, ,加速度和曲线的斜率等均可加速度和曲线的斜率等均可在一个通用在一个通用的符号化基础上进行讨论的符号化基础上进行讨论. .第47页/共51页第四十七页，共51页。由导数的意义可知由导数的意义可知(k zh),(k zh),求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0处的导数的基本处的