第1课时　函数概念及其表示

1、第1课时函数概念及其表示 2.1 函数的概念及其表示 求 考试要求 1. 了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如 如图 像 法、列表法、解析法) 表示函数.3. 了解简单的分段函数，并能简单应用 1 函数的概念 设 一般地，设 a ，b 是非空的 数集 ，如果按系 照某个对应关系 f ，对于集合 a 中任何一数 个数 x 在集合 b 中都存在 唯一确定 的数f(x) 与之对应，那么就把对应关系 f 叫作定合 义在集合 a 上的函数，记作 f ：a b 或 或 y f(x) ，x a. 2 函数的定义域、值域 (1) 在函数 y f

2、(x) ，x a 中，x 叫作自变量，x 的取值范围 a 叫作函数的 定义域 ；与 与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值，函数值的集合f(x)|x a 叫作函数的 值域 (2) 如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数相等 3 函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图像法和 列表法 4 分段函数 (1) 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 (2) 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集 考 微思考 1 直线

3、x a(a 是常数) 与函数 y f(x) 的图像有多少个交点？ 提示 0 个或 1 个 2 函数定义中，非空数集 a ，b 与函数的定义域、值域有什么关系？ 提示 合 函数的定义域即为集合 a ，值域为合 集合 b 的子集 题组一 思考辨析 1 判断下列结论是否正确( 请在括号中打"' 或 "') (1)若 若 a r ，b x|x0 ，f ：x y |x|， ，从 其对应是从 a 到 到 b 的函数( ) (2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等( ) (3)y x 3 2 x 是一个函数( ) (4) 函数 y f(x) 的图 像 可以是

4、一条封闭的曲线( ) 题组二 教材改编 2 函数 f(x) 2 x 1 1x 2 的定义域为_ 【答案】0,2) (2 ， ) 【解析】 依题意î î ï ïí íï ïì ì 2 x 1 0， ，x 2 0 得 解得 x 0 且 且 x 2 ， 原函数的定义域为0,2) (2 ， ) 3 已知函数 f(x) î î ï ïí íï ïì ì 2 x ， ，x 1， ，f( (x 1) ) ，x1

5、， ，则 则 f(2) _. 【答案】2 【解析】f(2) f(1) 2 1 2. 4 已知函数f(x) î îï ïí íï ïì ì x 2 2 ，x 1， ，1x ，x1， ，则 则f(x)的值域为_ 【答案】(0,1) 2 ， ) 【解析】当 当 x 1 时，f(x) x 2 2 ， f(x) 2 ， ) ， 当 当 x1 时，f(x) 1x ， f(x) (0,1) 综上，f(x) 的值域为(0,1) 2 ， ) 题组三 易错自纠 5 下列图形中可以表示以 m x|0 x 1为定义域，

6、n y|0 y 1 为值域的函数的图 像是 是( ) 【答案】c 【解析】a 选项中的值域不满足，b 选项中的定义域不满足，d 选项不是函数的图像项 ，由函数的定义可知选项 c 正确 6 已知 f( x) x x 1 ，则 f(x) _. 【答案】x 2 x 1 ，x 0 【解析】令 令 t x ，则 t 0 ，x t 2 ， ， f(t) t 2 t 1(t 0) ， f(x) x 2 x 1 ，x 0. 第 第 1 课时 函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 1 下列各曲线表示的 y 与 与 x 之间的关系中，y 不是 x 的函数的是( ) 【答案】c 2 下列各组函数相等的是( ) a

7、 f(x) x 2 2x 1(x r) ，g(s) s 2 2s 1(s z) b f(x) x 1 ，g(x) x2 1x 1 c f(x) x 2 ， ，g(x) î î ï ïí íï ïì ì x ，x 0， ， x ，x0 d f(x) x 3 ， ，g(x) x x 【答案】c 3 已知集合 p x|0 x 4 ，q y|0 y 2 ，下列从 p 到 到 q 的各对应关系f 不是函数的是_ ( 填序号) f ：x y 12 x； f ：x y 13 x； f ：x y 23 x； f

8、 ：x y x. 【答案】 【解析】 中，f ：x y 23 x ，x 0,4 时，y 23 x ë ëé éû ûù ù0， ， 83 q，故不满足函数的定义 ，故不满足函数的定义 思维升华 (1) 函数的定义要求第一个非集 空数集 a 中的任何一个元素在第二个非集 空数集 b 中有且只有一个元素与之对应，即可以 " 多对一 ' ，不能 " 一对多 ' ，而b 中有可能存在与 a 中元素不对应的元素 (2) 构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同 题型二 求函

9、数的解析式 例 例 1 求下列函数的解析式： (1) 已知 f(1 sin x) cos 2 x ，求 f(x) 的解析 式； (2) 已知 f è èæ æø øö öx 1x x 2 1x 2 求，求 f(x) 的解析式； (3) 已知 f(x) 是一次函数且 3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17 ，求 f(x) 的解析式； (4) 已知 f(x) 满足 2f(x) f( x) 3x ，求 f(x)的解析式 【答案】 【解析】(1)( 换元法)设 设 1 sin x t， ，t 0,2 ， 则 则 sin

10、 x 1 t， ， f(1 sin x) cos 2 x 1 sin 2 x ， f(t) 1 (1 t) 2 2t t 2 ， ，t 0,2 即 即 f(x) 2x x 2 ， ，x 0,2 (2)( 配凑法) f è èæ æø øö öx 1x x 2 1x 2 è èæ æø øö öx 1x2 2 ， f(x) x 2 2， ，x ( ，2 2 ， ) (3)( 待定系数法) f(x) 是一次函数， 设 可设 f(x) ax

11、b(a 0) ， 3a(x 1) b 2a(x 1) b 2x 17. 即 即 ax (5a b) 2x 17 ， î î ï ïí íï ïì ì a 2， ，5a b 17， ，解得î î ï ïí íï ïì ì a 2， ，b 7. f(x) 的解析式是 f(x) 2x 7. (4)( 解方程组法) 2f(x) f( x) 3x， ， 将 将 x 用x 替换，得 2f( x) f(x) 3

12、x， ， 由 得 解得 f(x) 3x. 思维升华 函数解析式的求法 (1) 配凑法：由已知条件 f(g(x) f(x) ，可将 将 f(x) 改写成关于 g(x) 的表达式，然后以x 替代 g(x) ，便得 f(x) 的表达式 (2) 待定系数法：若已知函数的类型( 如一次函数、二次函数) 可用待定系数法 (3) 换元法：已知复合函数 f(g(x) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 (4) 解方程组法：已知关于 f(x)与 与 f è èæ æø øö ö1x或f ( x) 等的表达式，可根据已知条

13、件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方出 程组求出 f(x) 练 跟踪训练1 (1)(2021 济南模拟) 若f è èæ æø øö ö1xx1 x 则，则 f(x) _. 【答案】1x 1 (x 0 且 且 x 1) 【解析】f(x) 1x1 1x1x 1 (x 0 且 且 x 1) (2) 已知 y f(x) 是二次函数，若方程 f(x) 0 有两个相等实根，且 f (x) 2x 2， ，则 则 f(x) _. 【答案】x 2 2x 1 【解析】设 设 f(x) ax 2 bx c(a 0) ，则f (x

14、) 2ax b ， 2ax b 2x 2 ，则 a 1 ，b 2. f(x) x 2 2x c ， 又 又 f(x) 0 ，即 x 2 2x c 0 有两个相等实根， 4 4c 0 ，则 c 1.故 故 f(x) x 2 2x 1. (3) 已知 f(x) 满足 f(x) 2f è èæ æø øö ö1x 2x ，则 f(x) _. 【答案】 2x343x 【解析】 f(x) 2f è èæ æø øö ö1x 2x， ， 以 1x

15、代替 的 中的 x ，得 f è èæ æø øö ö1x 2f(x) 2x ， 2 得3f(x) 2x 4x ， f(x) 2x343x . 题型三 分段函数 点 命题点 1 求分段函数的函数值 例 例 2 已知 f(x) î î ï ïí íï ïì ì cos x ，x 1， ，f( (x 1) ) 1 ，x1， ，则f è èæ æø øö

16、 ö43 f è èæ æø øö ö 43的值为( ) a. 12 b 12 c 1 d 1 【答案】d 【解析】f è èæ æø øö ö43 f è èæ æø øö ö43 1 1 f è èæ æø øö ö13 1 cos 3 1 32 ， f è

17、; èæ æø øö ö 43 cos è èæ æø øö ö 43 cos 23 12 ， f è èæ æø øö ö43 f è èæ æø øö ö 43 32 12 1. 点 命题点 2 分段函数与方程、不等式问题 例 例 3 (1)(2021 长春模拟) 已知函数 f(x)

18、î î ï ïí íï ïì ì 2 x ， ，x0， ，x 1 ，x 0.若 若 f(a) f(1) 0 ，则实数 a的值等于( ) a 3 b 1 c 1 d 3 【答案】a 【解析】 f(1) 2 1 2， ， f(a) 2 0， ， f(a) 2 ， 当 当 a 0 时，f(a) a 1 2， ， a 3， ， 当 当 a0 时，f(a) 2 a 2 ，方程无解， 有 综上有 a 3. (2) 已知函数 f(x) î îï ïí 

19、7;ï ïì ì log 2 x ，x 1， ，1x ，x1 且x 0， ，则式 不等式 f(x) 1 的解集为( ) a ( ， ，2 b ( ， ，0 (1,2 c 0,2 d ( ， ，0) 1,2 【答案】d 【解析】 当 当 x 1 时，log 2 x 1， ， 1 x 2. 当 当 x1 且 且 x 0 时， 1x 1 ，解得 x0 ， f(x) 1 的解集为( ， ，0) 1,2 思维升华 (1) 分段函数的求值问题的解题思路 现 求函数值：当出现 f(f(a) 的形式时，应从内到外依次求值 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 (2) 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 练 跟踪训练 2 (1)(2021 河北冀州一中模拟) 设 设 f(x) î îï ïí íï ïì ì x 2x 3 ，x 1， ，x 2 1 ，x1.