2019年数学选修1-1试题870

1、2019 年数学选修 1-1 试题单选题（共 5 道）1、若双曲线 x2-y2=1 点 P（a, b）到直线 y=x 距离为 IA丄2BC-2D22、函数 y=x2cosx 的导数为Ay=2xcosxx2s inxBy=2xcosx+x2s inxCy =x2cosx2xs inxDy =xcosxx2s inx3、函数 f （x）的导函数为 f（x）,对？x R,都有 f 立，若 f （In2 ） =2,则不等式 f （x） ex 的解是（）Ax1BOvxv1CxIn2D0vxvl n24、函数 f （x） =1+x-sinx , x（ 0, 2n）,则函数 f （x）A在（0,2n）内是增

2、函数B在（0,2n）内是减函数C在（0,n）内是增函数，在（n,2n）内是减函数+b 的值（）(x)f (x)成D在（0,n）内是减函数，在（n,2n）内是增函数5、给出以下四个命题：1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那 么这条直线和交线平行；2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于 这个平面；3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题(共 5 道)6 (本小题满分 12 分)求与双曲线-有公共渐近线，且过点丄二的双曲

3、线的标准方程。7、已知函数 f (x) =. (x0)(1) 函数 f (x)在区间(0, +x)上是增函数还是减函数？证明你的结论;(2) 若当 x0 时，f (x) 恒成立，求正整数 k 的最大值.8、（本小题满分 14 分）已知. （1）当=1 时， 求=-； 上的值域；求函数在w X 心 叭上的最小值；（3）证明:对一切心u*，都有成立9、（本小题满分 12 分）求与双曲线-有公共渐近线，且过点丄二的双曲线的标准方程。10、设圆 C 与两圆（x+頁）2+y2=4, （x-書）2+y2=4 中的一个内切，另一 个外切.（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程;(2)已知点 M(，乎)，F (

4、厲，0),且 P 为 L 上动点，求|MP| - |FP|的最大值及此时点 P 的坐标.填空题(共 5 道)11、设-.-一为双曲线一一-的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且- 的最小值为匚；，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是.12、设.：为双曲线一的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且翱 的最小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是.13、已知双曲线|；y2=1 的左右焦点分别为卩仆 2,过 F1 且倾斜角为 60的直线 I 与双曲线交于 M N 两点，则 MNF2 的内切圆半径为 _.14、已知过抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 的弦与抛物线交于 A，B 两点，过 A, B分

5、别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C, D,则|AC| + |BD|的最小值是_.15、如图是 y=f (x)的导数的图象，则正确的判断是(1) f (x)在(-3 , 1) 上是增函数(2) x=-1 是 f (x)的极小值点(3) f (x)在(2, 4)上是减函数，在(-1 , 2) 上是增函数(4) x=2 是 f (x)的极小值点1-答案：tc解：点 P(a, b)到直线 y=x 距离为戸，厄峠 , |a-b|=2 又 a2-b2=1 , (a+b)(a-b) =1, a b,： a+b”7詁 =，故选B .2-答案：A3-答案：tc解：？x R,都有 f (x) f (x)成立， f

6、 (x) -f (x) 0,于是 有(一T)0,令 g(x)=，则有 g(x)在 R 上单调递增，不等式 f(x) ex,：g (x) 1,vf (ln2 ) =2,：g (l n2 ) =1,： x ln2，故选：C.4-答案：tc(x)=1+x-sinx,x(0,2n ),(x) =1-cosx 0, 函数 f (x) =1+x-sinx 在 x (0, 2n)上单调递增.故解： 函数选 A.5-答案：B1-答案：设所求双曲线的方程为- -,将点-代入得 = -2 , 所求双曲线的标准方程为一一略2-答案：(1)函数 f (x)二 f (x)匸 - -i-|n (x+1) =-+ln(x+

7、1).由 x 0, x2 0, 0, In (x+1) 0,得 f( x)v0.因此函数 f (x)在区间(0, +x)上是减函数.(2)解法一：当 x0 时，f (x)朮恒成立，令 x=1 有 kv21+ In2.又 k 为正整数.则 k 的最大值不大于 3.下面证明当 k=3 时，f (x)-(x0)恒成立.即证明 x0 时(x+1) In (x+1) +1-2x 0 恒成立.令 g(x) = (x+1) In (x+1) +1-2x，贝Ug( x) =ln (x+1) -1 .当 xe-1 时，g(x) 0;当 0vxve-1 时，g( x)v0.A当 x=e-1 时，g (x)取得最小

8、值g (e-1 ) =3-e 0.二当 x0 时，(x+1) In (x+1) +1-2x 0 恒成立.因此正整数 k 的最大值为 3.解法二：当 x0 时，f (x) 丄恒成立.即 h(x)=-一k 对 x0 恒成立.即 h (x) (x0)的最小值大于 k .由 h( x)=,记(x)=x-1-In (x+1). (x 0)贝 U(x)=0,.(x)在(0,+)上连续递增.又(2) =1-In3v0,(3)=2-2In2 0,.(x)=0 存在惟一实根 a,且满足：a( 2, 3), a=1+In (a+1)，由 xa 时，(x) 0, h(x)0； 0vxva 时，(x)v0, h(x)

9、v0 知：h (x) (x0)的最小值 为 h (a)=卯芈屮 T=a+1( 3, 4).因此正整数 k 的最大值为 3.3-答案：解：(1 ) p 上；=匚-1 亠=,丄x 0,3.1 分当=】时，.：-“-；;当: =1时，-故一值域为. 3分(2)当,单调递减，当,. 单调递. 5 分叶“ J , t 无解；. 6分，即.)； -I- - rF%：*J n|邑萼明Tn * 5 仗十佻*4) +由 * 空呵知F( (X) )- hi中*眞# 设fl4/1(- nD-丄 企冃“当1*;旷取阿 从帀汩0, b0)的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -

10、|PF1|=2a , |PF2|=2a+|PF1| ,- 一:-；(当且仅当- 一时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a ,v|PF2|-|PF1|=2av2c, |PF1|+|PF2|=6a 2c,所以 e(1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活 应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。2-答案：一试题分析：v 双曲线1(a 0, b0)的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a , |PF2|=2a+|PF1| ,- 一: -：(当且仅当一时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1

11、|=4a , v |PF2|-|PF1|=2a v2c, |PF1|+|PF2|=6a 2c,所以 e(1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活 应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。3-答案：v-y2=1 的右焦点为 F2(2 , 0),左焦点为 F1(-2 , 0)，二过 F1 且倾斜角为 60的直线 I 方程为：(x+2)，二由(5-消去 y 得：8x2+36x+39=0,设 M (x1 , y1), N (x2 ,y2)，则 x1,x2 是方程 8x2+36x+39=0 的两根.二 x1+x2 二专,1x2=,二 |MN|=不亍（3）?“7、比=2 丁川一=両.:|MF2 卜|MF1|=2 诃|,|NF2|-|NF1|=2 |诃|,|MF2|+|NF2|=4 肝+|MN|=5 灯.：MNF2 的周长为 |MF2|+|NF2|+|MN|=6 灯；设F2I I 2|OF| = 2.5-答案：（1） f （乂乂）在（-3 , 1）上是增函数，不是真命题，在这个区间上 导数图象在 x 轴下方，应是减函数；（2） x=-1 是 f （x）的极小值点，此命题正确，由导数图象知，此点左侧函 数减，