物理应用以运动学为主以微分方程为主

1、微分方程是物理科学与各种应用科学、 工程科学的基本语言和工具。 微分方程 的技术和理论，最早溯源于牛顿在天体力学中对行星运动及其轨道的定量研究。 其后微分方程不仅是对天体力学， 而且也是对一切物质运动及其动力机制进行本 质刻画和定量研究的主要手段。 一个物质运动， 它的运动过程是由物质所在的系 统的内部物理机制和外部作用力所决定的。 那么，如何由运动的物理机理和外部 的作用力来精确地确定运动过程？这就需要我们运用数学的工具， 将运动机理与 外部作用力的作用定量地表示成数学模型微分方程， 然后应用数学的运算技 巧，将实际的运动过程从微分方程中求解出来。 因此，从动力学的角度来看问题， 所谓微分方

2、程，就是物质运动动力机制的数学表述。什么叫“方程”？按照词的本意， 所谓方程， 就是约束在平衡或相等关 系下的演算，在西文中，方程式的对应词是 equation ，也是等式的意思。因此 确切的讲， 方程式就是指未知量和已知量在平衡 （等式）约束下的一种运算关系 式，它包含着三个本质因素： 未知量、 已知量以及把未知量与已知量结合起来的 运算。例如在初等数学里，众所周知的二次方程式ax2 + bx + c = 0其中 x 表示欲求的数， 是方程式中的未知量， a、b、c 则表示已知的数， 代表已知量， 而将已知量与未知量结合在等式中的则是加、 乘的代数运算。 如上 所示以数作为未知量的方程式中，

3、 所出现的运算当然可以是多种多样的。 人们常 常依据方程式中出现的不同运算关系而把方程式称为代数方程式、有理方程式、 无理方程式、三角方程式 , 。在初等数学，人们接触最多的是那种用加、减、 乘运算结合的代数方程式 （即多项式方程） ，并根据方程中未知量出现的最高次 数把它们称为一次的（线性的）、二次的或 n 次的方程式。什么是微分方程式 （以下简称微分方程） ？微分方程是在近代的变量数 学中出现的、 以函数为未知量和已知量的一种数学方程式， 它与古典的以数为对 象的代数方程式有着本质区别。 在微分方程中， 结合未知函数和已知函数的运算 是函数的求导以及函数间的代数运算与复合运算。对于一个 n

4、 阶的微分方程，若它满足一定得基本条件，则它就具有由 n 个独立的任意常数（ n 个独立参数）联系起来的解族，这个解族，有时候能够用 组合着 n 个独立参数的初等函数及其积分式解析的表示出来， 这时这个解族的统 一的解析表示式就称为微分方程的通解 （注意通解总的独立常数的个数应与方程 的阶数一致） 。但在更多的场合， 我们不可能得到解族的这种解析表示式， 这时 候我们常常也用通解这个词去通称没有解析表示式， 但实际存在的解族。 注意通 解不是微分方程中的精确概念，它更多的是微分方程解族的一种通称。相对于通解而言，微分方程满足特殊条件的个解，就称为特解。在实际问题中， 若需要寻求的未知函数的个数

5、不止一个， 则相应的微分方程式的个数也要增加，这就出现有若干个独立的微分方程式构成的微分方程组。一般来讲，微分方程组中独立方程式的个数应与未知函数的个数相当，这与代数方程组的情况类似。物理应用以微分方程结合运动学问题为主【考研朋友噢来噢同学问】据多个老师说今年考研考应用题的可能性极大，这叫人怎么样 复习啊？桶大家讲一讲吗？【袭成通老师的回答】关于今年考研考应用题的可能性冋題，本人也觉得可能性确实很大, “数学三”的应用范围校札这里就不多说了.至于"数学一必数学二”在几何应用方面要求差得不多，卿应用完全一存几何应 用相对于协里应用来说，面誉且变化也不多而物理应用在徽分、积分以及微分方程

6、方面都 有涉及，而且涉及的物理抚念也多，从速度、加速度到功、引力、质诩口转动惯量.本人觉得，时到今日，薦考试时间已经不多了，每一方面都去复习研究，恐怕已经有点 来不及了 那么我fi他面上问题略加注意外,就紧紧抓住运动学问题在徼分方程里的应用问 題详细复习一下.这里把两年前的一篇旧文黄铐发一下，提供给你复习泰考.08考研朋友鲁酒泉同学问：文郡C老师说物理方面应用题很重要，他说考在徽分方程 内的可能性最大，其中以力学问題最为重要，但罡我找不到这方面的有关问题，你能不能在 你的博克上介绍几个力学方面的应用题.我的回答：鲁爲泉同学，C老师说需不错，应腰实很重要。但究竟考在哪一邹分 很难说，对于C老师所

7、言“考在徵分方程的可能性最大”，我的评论罡SB甫一定的道理。 但他说的话和我说的话一样,全都仅仅是一家之盲.在另f 问題上，我个人有不同意见，"其中叹力学冋题最为重要”恐怕是一个口误， 或者是你的耳误.无论罡从徼分方程的教学要求看，还罡从历届的考试茸題看，从来都是 “以运动学厢为重点”，而不是“以力学冋»为重点”的.例如1995年、1998年、2004 年的试题；其;欠是与相关变化率有关的问題，例如2001年、2003年的试题；再次是物料衡 算问虬例2000年考的湖水治理问趣.而有关"力学问题”一次也没有考过，这与应用题"不能有特别有利于个别专业考生”

8、的命题原则有关，因为有关“力学冋题”对多数专业考生是不太有利的力学方面的应用题 不罡说没有，最典型的就罡利用张力与重力的平衡关系，求悬德线方程的问题，但其物理It 念不合适作为考研数学要求的更点.所儿我这里不能满足你的賽求，不打尊举微分方程在'力学方面啲应用问题例子了 另 外你的问題太笼统了，我觉得我们还是就具体问題进行分析为宜，从而裁以四个“运动学方 面”应用的典型例子,为你作详细说明.【例1 一质量为血=1（血）的炮仗（也称爆竹），叹初速度匕=21（ms）铅直向上飞向已知在上升的过程中，空气对它的阻力与它运动速度a的平方成正比，比例系数为【他»»»&#

9、187;»IBf曲峠秫a斛测潮澀删猶）跑澀馭阳啊鉅州淅娴2k I mg以具体数据代入御h=-fa： 1 + 2££Lx212 ： = 20fa 2.125 *15.1(m).心2x0.025 I 1x9.8 丿' 7【例2】空中跳伞运动是一项培养人的胆识和智彗，嘏炼人的意志和品质的军事体肓运动但 罡也是_项輿有一定危险性的运动现在有一个质量为w = 80(kg)(包括装备在内运动员，从高空跳下，设下落时的总阻力与下落速度成正比，比例系数为"100(kg s)设整个降落过程用时为90(5),求运 动员起跳的高度h和看地时的速度.解取起跳点为原点，铅

10、直向下为x轴，设在时刻r运动员的坐标为垃)，则x(0)=0,玖0) = 0很擔牛顿运动第二定律可得=这是一二阶常系数纟尉dr41dr非齐;欠徽分方程，其通解为2 2根据初始茶件x(0)=0, x0) = 0,可得C=兽,c2=-/,即kk“甞(#j+讐.kk将殛意中数据m = 80(kg). k = 1 OO(kg s), t = 90(s)及g = 9 81(m s :)代入,可得着地 时所经过的距离及着地时的速度分别为h = x(90) * 700.04(m), v = 乂(90) * 7.848(tn s) 【例3】一颗子弹以初速度vo=2OO(m s)垂直打进一块厚度为lO(ctn)的

11、木板，穿透木板后 > 以末速度V1= 50(ms)离开木板已知子弹在木板中前进时所受到的阻力与运动速度的平方成正比，求子弹穿过木板所 经过的时间(可忽略子弹的长度，而把它看作是一个质点).【解】设子弹的质量为加，根据牛顿运动第二定律，建立初值问題如下-爭嘅)&0) = 0/(0) = 200,其中比例常数k>0f这是一个不显含未知函数s的可降阶的二阶特殊型方程.v = v为& 新自变量，仍臥/为自变量变换方程，得到新方程m = -kv29 v(0) = 200,dr这是一个一阶可分离变量方程，分离变量并积分得(下面为使运算较为简洁，引进一个新的 常数2 =mc v

12、dv11 勺200ds 200J 200/v 2001+ 200力dr 1 + 200力这是一个“一阶可分离变量方程”，分离变量后积分，再根据初始条件(0) = 0,可得 s = gln(l+20(U0 设需经过厶秒,子弹穿透0.1(m)厚的木板后叹耳=50(m s )的速度倉开则有50 = , 0.1 =丄ln( 1 + 200心)1 + 200ix这是一个关于未知量z和人的方程组,解之得勺 0 001(s) 270007 5由双。)“ gpg可确定出rC2=-,从而可得方程= 10to 4« = 20004即子弹约经过0.001秒穿透木板【例4汽艇以27(kmh)的速度，在静止的;毎面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它裁 在静止的面上作直线渭行.设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正比，并已知在关闭其动力后20(s)汽粗的速度降为了 10.&kmh).试冋它最多能渭行多远？【解】设汽艇的禹量为力(kg),关闭动力后r(s),汽艇凋行了 x(m),根抿牛顿第二运动定=,即"+ 中'=0,dr dr其