第三章3.1.1《空间向量及其加减运算》

1、3. 1.1空间向量及其加减运算【学习目标】1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向 虽、相反向疑、相等向量等的概念2会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差， 了解向量加法的交换律和结合律.问题导学知识点一空间向呈的概念思考类比平而向量的概念，给出空间向量的槪念.答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向屋.梳理(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量用有向线段表示，有向线段的鱼度表示向量的模，的起点是A,终点是B,则a也可记作鯨，貝模记为刨或丽I.(2)几类特姝的空间向量需称定义及表示零向量规泄长度为0的

2、向量叫零向量，记为0单位向疑模为1的向戢叫单位向量相反向虽：与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量，记为一“相等向疑方向相同H模蟹的向量称为相等向量,同向1筹长的冇向线段表示同比或相等向量知识点二空间向呈的加减运算及运算律思考1下而给出了两个空间向量b,作出b+a,b-a.空间向量与立体几何空间向量及其运算答案 如图，空间中的两个向量 C 相加时，我们可以先把向虽:6 平移到同一个平面Q内，以任意点0为起点作OA=a, OB=b.则OC=OA + OB=a+b. AB=OB-OA=b-a.思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下而两个图形中的运算分别运用了什

3、么运算法则？答案 先将两个向量平移到同一个平而，然后运用平而向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可：图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.梳理(1)类似于平而向量，可以左义空间向量的加法和减法运算.OB=OA-AB=a+bCA = OA-OC=abOB=OA+AB=OA + OC=aA-b(2)空间向量加法交换律a+b=b+a空间向量加法结合律(a+)+c=a+(b+c)题型探究类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同：若空间向量心 满足01=切，则a=b；在正方体ABCD-ABxCxDx中，AC=AC若空间向量加, ”，满足

4、m=n, it=p,则m=p；空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是 ()A 1 B 2 C 3 D 4答案C解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量 fl,b满足a=b,则不一定能判断出a=b,故不正确；在正方体ABCD-AiBCiDi中，必有花 =人左】B成立，故正确；显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量 不一定相等，故错误.故选C.反思与感悟在空间，平面向量、向董的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量 相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相 等，方向相反.跟踪训练1 (1)在平

5、行六而体ABCD-MBxCyDx中，o.C,下列四对向疑：Ak与c0i：衣I与丽|：Ab】与爲：石b与戯.其中互为相反向疑的 有”对，则”等于()答案B解析 对于AS与Gbi，ADQB长度相等，方向相反，互为相反向量；对于盘】与丽i长度相等，方向不相反；忌与威长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对.(2)判断下列命题的真假.1空间向量就是空间中的一条有向线段：2不相等的两个空间向量的模必不相等；3任一向量与它的相反向量不相等：4向量茲与向量乔的长度相等.解假命题，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来.2假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即

6、可.3假命题，篆向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.4真命题，丽与而仅是方向相反，它们的长度是相等的.类型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体ABCD-ACfD,化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)AArCB：(2) AAf+而+8厂C 解()AAf-CB=AAr-DA=AAfAD=ADr(2)AAf+AB+BfCf=(AAr+AB)+B,1：f=AW=ACf向量ADf. ACr如图所示.反思与感悟根扌居向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向董表达 式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用 相反向

7、量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结 果要在图中标注好.跟踪训练2如图所示，已知平行六而体ABCDAiBiCiDi, M为与的交点，化简下列向量表达式.(1厢l+忌.(2)AA1 + A1MMB .(3)芯i+丽+忌1(4)AB+BC+CCi + CAi+M.解(1)AA=AB.(2)芯i +A両一丽=雨 +顽+丽=亦(3)AAi + A”】+AID = A4I + AC =AC】(4厢+荒+走+币1+忒=0 当堂训练1.下列命题中，假命题是()DrCA.同平而向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向

8、疑的模等于0D.共线的单位向量都相等答案D解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.在平行六而体ABCD-ABCD中，与向虽久b相等的向量共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案C解析 与丽相等的向量有BC,fiTCi,共3个.3.向量 G 互为相反向量，已知1勿=3,则下列结论正确的是()A.a=bB a+b为实数0C. a与方向相同D Ini=3答案D解析 向互为相反向量，则a,模相等、方向相反.故D正确.4.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，已知下列各式：(AB+BC)+CCi；(AAi4-/U)i)4-D?CI：笳+丽J+3C：倚+才血)+岛乙.

9、其中运算的结果为花的有_ 个.答案4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：(AB+BC)+CCi=AC+CC AC；2倚i +/Q)i)+z57ci =Abj4-DTCI=ACI ；3(AB+BBI)+CI=ABI+CI=ACI ；4丽 +丽)+応=丽+趾=AC.所以4个式子的运算结果都是屁j.5.化简2AB+2BC3CD+3DA+AC=_答案0解析 尿+2荒+3筋+3厉+花=尿+2荒+2筋+2页+d)+负+盘=0 ,- 规律与方法-)(1)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向屋的加(减)法运算.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变.(2

10、)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即需2+/Q3+/GA4+- 1血=/(”22,且nGN1 2 3 4 5).(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即希2+佩3+总4+/4i=0(nGN*).(4)空间向量减法运算时，一立要抓住向量的起点与终点.40分钟课时作业A.(a+b)cB.(c+d)bC*(+c)-aD a+*(b+c)答案C一、选择题2下列说法正确的是()A.零向量是有方向的向量B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C.四点A,B, C,D构成平行四边形ABCD的充要条件是而=疋D.若乔与是相

11、反向虽:，则A,B, C,D四点必在一条直线上答案A解析 规定零向量的方向是任意的，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆， 故B错误；是必要条件，不是充分条件，因为前=疋时，有可能A,B,C, D四点共线， 故C错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上.3已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则AB+BC+CD为()AADB.BD C.ACD. 0答案A解析AB+BC+CD=AC+cb=Ab.4如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，OA=a, 0B=b, OC=c,则舫为()强化训练拓展提升解析Ab=Ab+db=页+*（丽+dt）=-a+b+c）4.已知空间

12、向曲kBC, CD, AD,则下列结论正确的是（）XAB=BC+CbBAB-DC+BC=ADCAD=AB+BC+DCDBC=BD-DC答案B解析AB-DC+BC=AC-DC=AD.5.判断下列各命题的真假：向量a与方平行，则a与的方向相冋或相反：两个有共同起点而且相等的向量，苴终 点必相同：零向量是没有方向的：有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题 的个数为（）A 2 B. 3 C. 4 D. 5答案B解析 假命题，当“与中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题, 零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；假命题，向量可用有向线段来表示，但 并不是有向线段.6.在正方体A

13、BCDBCD中，向量表达式DD-AB+BC简后的结果是（A.ibiCBD答案A解析 如图所示，因为DD=AA. DDi-AB=AAi-AB=BAi. BA+BC =BD. :.Dbx-AB+BCBDx.二、填空题7.如图，在平行六而体ABCDAiBCiD中，AB+AD + AAi =:DD-AB+BC=答案ACBD解析AB+AD+AA=AB+BC+CCi =AC.DD-AB+BC=Dbi-(AB-AD) =DDDB=BD.B.NBD.DB8对于空间中的非零向BC. AC,有下列各式：（l）AB-BC=AC；（）AB-AC=BC,（3）14BI + ICI = L4CI：L4 Bl-IA CI

14、= IBCI.其中一定不成立的是_答案解析 根据空间向量的加减法运算，对于:AB+BC=AC恒成立；对于：当AB. BC.人0方向相同时，有IABI+IBCI = IACI；对于：当BC. AB.共线且与AB. AC方向相反时.WL4BI-L4CI = IBCI.只有一定不成立.9.在直三棱柱ABC-ABCX中，若CA=a. C$=b,C&=c,则丽=答案a+bc解析如图.MB=M+AB= C?C+(CB-CA)= -CC + CB-CA= c+ba三、解答题10.如图所示，在平行六面体ABCD-AfBfCrD中，化简下列表达式.(2) AB+AD-AAr:(3) AB+CB+AAr:

15、(4) ACr+DB-DC解()AB-BC=AC.(2)AB+AD-AA,=AC+AAf=ACf.(AB+CB+AA9=而+页 + 雨=DBr(4)ACr-DB-DC=(AB+BC+CCf)+(DA + DC+CC)-DC=DC.11如图所示，在长、宽、髙分别为/W=3,AD=2,AA= 的长方体ABCD-A.BC的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 e 的所有向量：(3)试写出与而相等的所有向量.解(1)由于长方体的高为1,所以长方体4条髙所对应的AAl, /M,丽,丽，CC1 GC,5br恥这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为迈，故模为迈的向量有/f九 而，石DAi,BCx CB. BCyCBi共8个.(3)与向量而相等的所有向量(除它自身之外)共有丽“疋及”d共3个.12如图所示,在三棱柱ABC-AiBiCi中，M是BBi的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向虽:：(1 )CB+BAi ：(2)AC+CB4-AA1；(3)AAACCB.解(1)両+鬲】 =冯 . 因为M