灵敏度分析与实际问题

1、灵敏度分析与实际问题我们前面所讨论的线性规划问题都是静态问题。也就是说，该问题 中的数字都是不能变化的常数值。然而在现实生活中，技术系数aij,价 值系数cj和资源系数bi都是可以改变的。改变的原因可能是外部环境和 内部条件的改变，可能是一些必要的调整，也可能只是因为数据的来源 决定是数据不可能是一个确定的值，而是一个大概的范围。那么在这些数据改变之后，原来的最优解还是不是最优？该系数改变 多少以内最优解保持不变？数据的改变引起的最优值的改变为多少?于是，我们引入了灵敏度问题。灵敏度问题就是指某一个系数变化，比如资源系数b/介值系数c,技术 系数可或者某一个条件变化，比如增加一个变量，增加一个

2、约束条件，引起的最优解变化问题。或者说.这些变化对最优解和最优基的影响。灵敏度问题的讨论能够拓宽线性规划问题的应用领域，增加该模型的 实际意义。因为现金生活中，我们要进行抽象的系统，各种条件是随时间，地点 等因素变化，甚至会互相影响的复杂系统。显然，灵敏度分析能让线性 规划问题更具实用性，以适应现实中的各种变化。一、资源数量变化分析1.1影子价格先看这样一个简单的线性规划问题例1某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品 所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示。设备 128台时原材料A 4016kg原材料B 04 12kg最优解是（4, 2）这是一个已经求解的线性规

3、划问*21234567 H 9可见,y*l = 1. 5zy*2 = 0.125 ,y*3 = 0。这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加一台时，该厂按最优计划安 排生产可多获利15元;原材料A增加lkg ,可多获利0. 125元；原材料B增 加lkg,对获利无影响。从图可看到，设备增加一台时，代表该约束条件的直线由移至相应的 最优解由(4,2 )变为(4,2 .5 ),目标函数z =2x4 + 3x2. 5 = 15. 5，即比原来 的增大。目又暑原材料A增加lkg吋，代表该约束方舉的直线由移至：相 应的最优解从(4,2 )变为(4. 25,1. 875 ),目标函数z = 2 x4. 2

4、5 + 3x 1. 875 = 14.125o比原来的增加0. 125o原材料B增加lkg时，该约束方程的直线由移至：这时的最 优解不变。我们考虑对偶问题，对偶问题考虑的是，把拥有的资源出租，产生的估 价问题。这里我们把yi称为影子价格，即边际值。它表示最优目标值随 资源数量变化的变化率。影子价格有着很重要的现实意义。在对偶问题中，以影子价格出租资源，可以实现保本。所以，如果 市场价格高于影子价格，岀租资源就能够获利。也就是说，理性的来说，公司应该岀租这 些资源。相反，如果市场价格低于影子价格，购入这些资源就是获利 的。于是，我们想到了中国古代的吕不韦，他就是在某种东西便宜时将 其买入，比如晴

5、天时的雨伞，在雨天的时候，即资源紧缺的时候又高价 出售从而获利。古代吕不韦的从商之道就很好的说明了影子价格的这个 意义。更科学的来说，影子价格是资源最优配置下的理想价格，与资源紧缺度相关。在上面所说的吕不韦的故事中，晴天的雨伞是富余的资源, 雨天的雨伞是紧缺的资源。商人需要的是对资源紧缺程度的敏锐察觉。 影子价格就能够提供这种帮助。在市场的宏观意义上来说，影子价格因 为是理论上的资源最优配置下的理想价格，所以对市场具有调节作用。12资源bi变化资源数量变化的原因很多，包括人力,设备的调动。这些可能是决 策者做出的，为了最终优化目标的一些调整。比如，抽调A地的几台设 备到B地，或者调动A地的人力

6、到B地。计算这样的调整之后的最优化解其实十分简单。用来表示变化，最优解的基变量。那么只要保持，即基变量保持， 只有值得变化，否则需要利用对偶单纯形法继续计算。首先确定在什么范围内变化时，最优解会不变。是条件，如果不 符合这个条件，只要计算出，这是矩阵相乘。结果加到单纯形表上的b 列后，再继续用。二、价值系数变化一、价值萦数的变化可能是市场价格变化或者生产成本的变化引起的。 在市场经济中，市场价格的变化是非常普遍的。甚至几乎是时刻在变化 的。在政治经济中，我们学到，市场的价格围绕价值波动。价值系数变 化的灵敏度问题。可以很好的适应这一客观规律。分析价值系数变化对于最优解和最优值的影响，首先要弄清

7、楚变化的系数Cj是非基变量的系数还是基变量的系数。cj是非基变量的系数, 变化量为。若cj变化后最优基不变，检验数，即，Cj只在增加上受到限制。Cj 增加时，对应的变量对目标函数的贡献增加。增加到足够大 时，检验数0.该变量入基，最优解和最优基变化。如果cj减少，对目标函数的贡献减小，不会对最优基产生变化。所 以要使最优解和最优基不改变，cj的范围是，若cj是基变量系数，Cj变 化，使变化，使变化，所有检验数都变化举例如下：某工厂使用五种生产方法，生产AB和C三种产品，有关数据如表1, 2 所示每生产 批方法产品产量单位售价12345（元）A3244dioB612145C265184资生产 源

8、方法资源消耗12345可取得数*工时（h） 机器小时 每批成本（元）04612801121150481930447-1有一个合同x要求至少生产110单位的A。设为使用第种生产方法的批数，为A的产量超过110单位的数字，为松弛公式为松弛机器小时，则求最大利润的模型是：满足48最优解如表2030405450002026100.410-0.2-0.20.43016011.40.50-0.20.3-0.6458000.2-0.510.4-0.11.220305912.54580.54400-19-7.50-8-0.5-44我们考虑如下几种互相独立的情况，应用灵敏度分析的结论。(1)如果第2种生产方法的

9、每批成本提高到21元，是否会改变最 优解？因为基变量，成本增加2元就是利润减少2元，即要变动，的上下 限为：也就是-1.67因为减少2元超出下线，所以最优解要改变。由上式可以 看出的下限是对应的列达到的，因此第2种生产方法的利润下降5028.33元以下时，检验数第一个取得正数的非基变量为，即进入最优解。有由表可以看岀，当=1,将分别增加0.2和0.1,将减 少0.3,是换岀变量，新最优解为:=53=8+0.1=13三、技术系数变化技术系数的变化一般是由工艺变化，或者所用原材料的数量和配比 变化引起的A中元素发生变化(只讨论N中某一列变化情况)。具体过程如下：设新的技术系数矩阵是。把改进工艺结构

10、的产品看作；为产量。在表中 计算对应的列向量，以代替xl,计算和检验数然而，在这个问题中有这样一些考虑: 有对应非基变量的情况。要分开讨论。最后应该也会得出一个和第二个 问题中的范围相似的范围。在这个范围内，最优解不会变化，只有最优 值会变化。对于对应基变量的有资源已用完和资源未用完两种情况；另外还然而经过查阅资料，发现价值系数和资源系数的灵敏度分析早已得 到广泛的应用，而后者由于缺乏算法理论上的深入探讨一直被搁浅。其 实，忽略技术消耗系数灵敏度分析的线性规划经济模型，其实用价值将 大打折扣。例如，在以“纯收益最佳为目标的模型中，价值系数和约束 敞亮的灵敏度分析只能说明注入产品价格，资源约束量

11、等经济因素的变 动对模型的影响程度，而设计某项生产的单位产品对原料、能源、资 金、劳动力等资源消耗量的变动对模型的影响程度则必须由技术消耗细 数的灵敏度分析的角度来解决。针对这一问题，有许多专家学者提出了 很多算法，使计算更具有效性。任这里就不在深入探讨了。在现实生活生产中，完全有可能加入一个新的约束条件。比如，公 司的老板提出一个新的要求。注意，这里的要求，可能在线性规划模型 中被抽象成一个约束而不是目标。约束指的是，达到就可以了。比如一 个新的质量标准，每10万个产品中只能岀现多少个次品。超出没有用 处，但是不达到就不行。而目标是要求优化的，就像，每10万个产品 中，次品越少越好。增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不 变，否则填入最优单纯形表作为新的一行，引入一个新的非负变量（原 约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引入非负人工变 量），并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0,进一步用单纯形 法或对偶单纯形法求解。四、总结在析和管理决策领域中，线性规划模型是一种实用价值很高的数 学模