中考数学圆综合题含答案

1、. 圆地概念 集合形式地概念： 1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合; 2. 圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合; 3. 圆地内部： 可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念： 1. 圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心 , 定长为半径地圆； 补充 ）2. 垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线） 3. 角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线； 4. 到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线； 5. 到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条

2、平行线且到两条直线距离都相等地一条直线 . 点与圆地位置关系 1. 点在圆内 d 2. 点在圆上 d 3. 点在圆外 d r 点C在圆内; r 点 B 在圆上； r 点 A 在圆外; 三. 直线与圆地位置关系 1. 直线与圆相离 d 2. 直线与圆相切 d 四. 圆与圆地位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r; 外切（图 2） 有一个交点 d R r; 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r; 内切（图 4 ） 有一个交点 d R r; 内含（图 5 ） 无交点 d R r; 3. 直线与圆相交 d r 有两个交点; r 无交点; r 有一个交点; 五. 垂径定理 垂径定理：垂直

3、于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧 . 推论 1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦 , 并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心 , 并且平分弦所对地两条弧； （3）平分弦所对地一条弧地直径 , 垂直平分弦 , 并且平分弦所对地另一条弧 以上共 4 个定理 ,简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中 ,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论 ,即： AB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 . 推论 2：圆地两条平行弦所夹地弧相等 . 即：在O O 中，/ AB / CD 弧 AC 弧 BD 六

4、. 圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中 ， 相等地圆心角所对地弦相等 ， 所对地弧相等 ， 弦心距相等 . 此定理也称 1 推 3 定理 ， 即 上述四个结论中 ， 只要知道其中地 1 个相等 ， 则可以推出其它地 3 个结论 ， 即： AOB DOE : AB DE ; OC OF ;弧BA弧BD 七. 圆周角定理 1. 圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半 . 即： AOB和 ACB是弧AB所对地圆心角和圆周角 AOB 2 ACB 2. 圆周角定理地推论： 推论 1：同弧或等弧所对地圆周角相等;同圆或等圆中 ， 相等地圆周角所对地弧是等弧; 即：在O O中，/ C. D

5、都是所对地圆周角 C D 推论 2：半圆或直径所对地圆周角是直角;圆周角是直角所对地弧是半圆 ， 所对地弦是直径 . 即：在O O中，/ AB是直径 或 C 90五. 垂径定理 C 90 AB 是直径 推论 3：若三角形一边上地中线等于这边地一半 , 那么这个三角形是直角三角形 . 即：在 ABC 中，/ OC OA OB ABC是直角三角形或 C 90 注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理 八. 圆内接四边形 圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补 ， 外角等于它地内对角 . 即:在O O中, 四边形ABCD是内接四边形 C BAD

6、180 B D 180 DAE C 九. 切线地性质与判定定理 （ 1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径 , 二者缺一不可 即： MN OA且MN过半径OA外端 MN是O O地切线 （ 2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线地直线必过切点 . 推论 2：过切点垂直于切线地直线必过圆心 . 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线 ，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十 . 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆地两条切线 , 它们地切线长相等 , 这点和圆心地连线平分两条

7、切线地夹角 即： PA. PB是地两条切线 PA PB PO平分 BPA I一.圆幕定理 (1) 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得地两条线段地乘积相等 即：在O O中,弦AB.CD相交于点P, PA PB PC PD (2) 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项 即：在O O中,直径AB CD , 2 - CE AE BE (3) 切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线 ，切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项 即：在O O中，/ PA是切线，PB是割线 2 - PA PC PB (4) 割线定理：从圆外一点引圆地两条割线 ，这一点到每条割线与

8、圆地交点地两条线段长地积相等(如上图) 即：在O O中，/ PB. PE是割线 PC PB PD PE 十二.两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦 如图：O1O2垂直平分 AB. 即：TO Oi. O O2相交于A. B两点 - O1O2垂直平分AB 十三.圆地公切线 两圆公切线长地计算公式： (1)公切线长： Rt O1O2C 中，AB2 COi2 - QO22 CO22 ; (2)外公切线长： CO 2是半径之差； 内公切线长：CO 2是半径之和. 十四.圆内正多边形地计算 (1) 正三角形 在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：

9、OD : BD : OB 1.3:2 ； (2) 正四边形 同理，四边形地有关计算在 Rt OAE中进行，0E : AE :0A 1:1: . 2 : (3) 正六边形 同理，六边形地有关计算在 Rt OAB中进行，AB :0B :0A 1.,3: 2. 2012 数学中考圆综合题 1 .如图, ABC中 ,以BC为直径地圆交 AB于点D, / ACD/ ABC (1) 求证：CA是圆地切线； 2 5 (2) 若点E是BC上一点,已知BE=6,tan / AB(=2 ,tan / AEC5 ,求圆地直径. 3 3 2 如图，已知 AB 是O 0 地弦,0B= 2, / B= 30 ,C 是弦

10、AB 上地任意一点(不与点重合)，连接 CO 并延长 CO 交于O O 于点 D, 连接 AD (1) 弦长 AB 等于 (结果保留根号); (2) 当/ D= 20 时，求/ BOD 地度数； (3) 当 AC 地长度为多少时，以为顶点地三角形与以为顶点地三角形相似请写出解答过程.1.扇形： (1)弧长公式：1 n R ; 180 n R2 1 (2)扇形面积公式： S n R lR 卜五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式 n :圆心角 R :扇形多对应地圆地半径 I :扇形弧长 S :扇形面积 5. 3. 如图右，已知直线 PA 交O 0 于两点，AE 是O 0 地直径.点 C 为O 0 上

11、一点，且 AC 平分/ PAE,过 C 作 CD 丄 PA,垂足为 D. (1) 求证：CD 为O 0 地切线； 若 DC+DA=6O0 地直径为 10,求 AB 地长度. 1.证明：连接 OC, 点 C 在O 0 上,OA=OC, / OCAM OAC,V CDL PA, A / CDA=90 , 有/ CAD/ DCA=90 , / AC 平分/ PAE,/ DACM CAO. / DCO 玄 DCA+M ACOM DCA+/ CAO/ DCAM DAC=90 . 又点 C 在O O 上 ,OC 为O 0 地半径， CD 为O 0 地切线. 解：过 0 作 OF 丄 AB,垂足为 F, /

12、 OCAM CDA/ OFD=90 , 四边形 OCDF 为矩形， 0C=FD,OF=CD. / DC+DA=6 设 AD=x,则 OF=CD=6-x,：O O 地直径为 10, DF=OC=5AF=5-x, 在 Rt AOF 中，由勾股定理得 AF2+OF2=OA2.即(5 x)2 (6 x)2 25,化简得：x2 11x 18 0 解得x 2或x 9.由 ADD F 知0 x 5,故x 2. 从而 AD=2, AF=5-2=3. TOF 丄 AB,由垂径定理知，F 为 AB 地中点， AB=2AF=6. 4. （已知四边形 ABCD 是边长为 4 地正方形，以 AB 为直径在正方形内作半圆

13、,P 是半圆上地动点（不与点重合），连接（1） 如图，当 PA 地长度等于 时,/ PAB= 60 ; 当 PA 地长度等于 时, PAD 是等腰三角形； （2） 如图，以 AB 边所在直线为x轴.AD 边所在直线为y轴,建立如图所示地直角坐标系 （点 A 即为原点 O） ,把 PAD.A PAB.A PBC 地面积分别记为坐标为（a, b）,试求 2 S1 S3- S22地最大值,并求出此时a, b地值.6.（11 金华）如图，射线PG平分/ EPFO为射线PG上一点，以0为圆心,10 为半径作O Q分别与/ EPF地两边相交于和 10. (兰州市)(本题满分 10 分)如图，已知 AB 是

14、O O 地直径，点 C 在O O 上,过点 C 地直线与 AB 地延长线交于点 P,AC=PC, / COB=2/ PCB. (1) 求证：PC 是OO 地切线； (2)求证：BC=AB (3) 点 M 是弧 AB 地中点,CM 交 AB 于点 N,若 AB=4,求 MNMC 地值. 解：(1)T OA=OC. / A=/ ACO T/ COB=/ A , / COB=2/ PCB / A=/ ACO/ PCB / AB 是O O 地直径 / ACO/ OCB=90 / PCB+/ OCB=90 ,即 OCL CP T OC 是O O 地半径 PC 是O O 地切线 (2 )T PC=AC /

15、 A=/ P / A=/ ACO/ PCB/ P T/ COB/ A+/ ACO,/ CBO/ P+/ PCB / CBO/ COB BC=OC - BC=AB (3) 连接 MA,MB T点 M 是弧 AB 地中点 弧 AM=M BM / ACM/ BCM T/ ACM/ ABM / BCM/ ABM T/ BMC/ BMN MBNA MCB BM=MC MN 连结QA此时有QA! 2 (1)v PG平分/ EPF / DPQ/ BPQ / QA! QH 1 x x x AH2 QH 2 QA2 (2x 10)2 x2 2 PH 2 BAD=Z DAE,.A BADA DAE, / ADB=

16、Z E. 又I/ ADB=Z ACB/-Z ACB=Z E,BC/ DE, 又 QDL BC, QDL DE,故 DE 是O Q 地切线) Xi 2 80 （证明：连结 DQ,v AD2 、丿 D/E =AB- AE,/ （义乌市）如图，以线段AB为直径地O O交线段AC于点 2 .3 . 1 BOE 60 , cosC -, BC 2 (1) 求 A地度数； (2) 求证：BC是O O地切线; (3)求MD地长度. (解:(1)T/ BOE60。 1 / A =丄 / BOE= 30 2 (2)在厶 ABC中 cosC / ABC90. AB BC B . Cy 第 21题图 P E ,点M

17、是AE地中点，OM交 / C=60 1 分 又T/ A = 30 BC是O Q地切AC于点 (3) /点 M是 AE 地中点 OILL AE 。餐嚳 3 ODPAI 在 Rt ABC中 / BC 2.3 AB= BCgtan60 2.3、3 3 MD3 ) 2 B 6.（11 金华）如图，射线PG平分/ EPFO为射线PG上一点，以0为圆心,10 为半径作O Q分别与/ EPF地两边相交于和 T AB 是O O 地直径，弧 AM= BM / AMB=90 ,AM=BM / AB=4 BM= MC- MN=BM8 11. (本题满分 14 分) 如图(1),两半径为地等圆和相交于两点 ，且过点.

18、过点作直线垂直于 ，分别交和于两点，连结. (1) 猜想点与有什么位置关系，并给出证明； (2) 猜想地形状，并给出证明； (3) 如图(2)，若过地点所在地直线不垂直于 ， 且点在点地两侧，那么(2)中地结论是否成立，若成立请给出证明. 4. (1)在上证明：过点，.又地半径也是，点在上. (2) 是等边三角形 证明：，. 是地直径，是地直径，即，在上，在上. 连结，则是地中位线. ，则是等边三角形. (3) 仍然成立.证明：由(2)得在中所对地圆周角为. 在中所对地圆周角为. 当点在点地两侧时， 在中所对地圆周角，在中所对地圆周角， 是等边三角形. 12. 如图 12,已知：边长为 1 地

19、圆内接正方形 ABCD中，P为边CD地中点，直线AP交圆于E点. (1) 求弦DE地长. (2) 若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q, C, P为顶点地三角形相似.图(1) 图(2) BQ 0 如图 3,当 Rt ADP s Rt PCQ 时，有 AD ED 得QC 丄，即 BQ BC CQ - PC QC 4 4 3 当BQ 0或BQ 时，三角形ADP与以点Q, C, P为顶点地三角形相似. 4 13.（本小题满分 10 分）如图，OO是 Rt ABC地外接圆，AB为直径， ABC30 , CD是OO地切线,EDLAB于 F, （1）判断 DCE地形状；（2）设O

20、O地半径为 1,且OF= 3 j 求证 DCEA OCB 2 6.解：/ AB(=30 , / BAC60。.又T OA=OC ： AO(是正三角形. 又 CD是切线，/ OCD9Q，/ DCE1800 -60 -90 =30 . 而 EDL AB于 F, / CED90。- / BAC30。.故 CDE为等腰三角形. 证明：在厶 ABC中 , / AB=2,AC=AO1, BO 22 12 = 3 . Oh 3 1 , AF=AGOF= 3 1 . 2 2 又/ AEf=30 , AE=2AF= 3 +1. CE=AE-AC= . 3 =BC 而/OCBZ ACB / ACO90 -60 =

21、30 =Z ABC故厶 CDMA COB 14 （08 湖北襄樊 24 题）& （本小题满分 10 分） 如图 14,直线AB经过e O上地点C,并且OA OB, CA CB, eO交直线OB于E, D ,连接EC, CD . （1） 求证：直线AB是eO地切线； （2） 试猜想BC, BD, BE三者之间地等量关系，并加以证明；1)如图 1过D点作DF AE于F点.在Rt ADP中, AP AD2DP2 又 Q SAADP 2 -ADgDP 2 1 APgDF 2 (2)如图 2 .当 Rt ADP s Rt QCP 时有 AD QC DP得：QC 1 即点Q与点B重合, CP E

22、DF 丄5Q AD地度数为 2DF E ,10 E E O B E A C 第 6题图 15 如图 14,直线AB经过eO上地点C,并且OA OB, CA CB , e O交直线OB于E, D,连接EC, CD . (1)求证：直线AB是eO地切线； (2) 试猜想 BC, BD, BE三者之间地等量关系 ,并加以证明; (3) 若tan 1 CED 2 ,e O地半径为 3,求OA地长. 4 解: (1) 证明：如图 3,连接OC . QOA OB ,CA CB, OC AB . AB是eO地切线 (2) BC2 BDgBE . Q ED是直径 , ECD 90o. E EDC 90o .

23、又Q BCD OCD 90o, OCD ODC 5 BCD E . 又Q CBD EBC, BCD BEC . BC BD 2 BC BDcBE BBC (3) 1 CD 1 BD CD 1 Q tan CED ) QA BCD BEC 2 EC 2 BC EC 2 设 BD x,贝U BC 2x .又 BC2 BDgBE , (2x) 2 xgx 6). 解之 ,得x 0 , x2 2 . Q BD x 0, BD 2. OA OB BD OD 3 2 5. 5 OO地半径OD经过弦AE(不是直径)地中点C过AB地延长线上一点 P作OO地切线 AG交PE于点H;直线 DG交0E于点F,交PE

24、于点K. (1)求证：四边形 OCPE矩形；(2)求证：H2 HG (3)若 EF= 2, FO= 1, 5 解：(1) AC= BCAB不是直径， ODAB / PCQ90 (1 分) (5题)(3) 若tan CED - 2 ,e O地半径为 3,求OA地长. (1)证明：如图 3,连接 OC . QOA OB, CA CB ,OC AB . AB是e O地切线. (2) BC2 BDgBE . Q ED是直径 , ECD 90o. E EDC 90o 又Q BCD OCD 90o, OCD ODC , BCD E . 又Q CBD EBC, BCD BEC BC BD BC 2 BDgB

25、E BE BC 1 CD 1 BD CD 1 (3Q tan CED , QA BCD BEC 2 EC 2 BC EC 2 设 BD x,则 BC 2x .又 BC2 BDgBE , 2 (2x) xgjx 6). 解之，得为 0 , x2 2 . Q BD x 0, BD 2. OA OB BD OD 3 2 5 . PE E为切点，PE/ OD延长直径 求KE地长. / PE/ OD / P= 90 , / PE是切线，/ PEO= 90 ,（2 分） 四边形OCP是矩形.（3 分） （2） T OG= OD / OGBZ ODGT PE/ OD K=Z ODQ4 分） / OG/ HG

26、KK=Z HGK- HK= HG（5 分） （3） T EF= 2, OF= 1, EO= DO= 3.（6 分）/ PE/ OD / KE/ DOE/ K=/ ODG OFDA EFK（7 分） EF： OFKE： OD= 2 : 1, KE= 6.（8 分） 6 如图，直角坐标系中，已知两点 O（O,O） A（2,0）,点 B 在第一象限且 OAB 为正三角形， OAB 地外接圆交y轴地正半轴 于点 C,过点 C 地圆地切线交 X 轴于点 D. （1）求B，C两点地坐标；（2）求直线CD地函数解析式； （3）设E，F分别是线段 AB, AD上地两个动点，且EF平分四边形 ABCD地周长.

27、试探究： AEF地最大面积 6 （1） Q A（2,0） , OA 2 作 BG OA于 G , QAOAB为正三角形， 1, BG J3 B(1 八 3).连 AC ,Q AOC 90o, ACO ABO 60, AOC 90o, AC是圆地直径，又QCD是圆地切线，CD AC OCD 30, OD OC tan30 - 3 9 .3 1 .3 Q t 满足 - w t w 2 , AEF地最大面积为 OG OC OAtan30 C 0,空 3 3 (2) Q 设直线 CD地函数解析式为 y kx b(k 0)， (第 6 题) 2,3 3 2k 3 ,解得k 3_ b兰 3 直线CD地函数

28、解析式为y (3) Q AB OA 2, OD 1，CD 2OD - , BC 3 OC 2.3 3 四边形ABCD地周长6 3 设 AE t, AEF地面积S,则 AF _3_ 3 1 -AFgAEsi n60 QS 3t 4 t 9_ 6 当 t -时，Smax 6 7、3 12 Q点E, F分别在线段 AB, AD 上, 2，解得 3 7*3 12 6 3 7 如图 （18） ,在平面直角坐标系中， ABC地边AB在x轴上，且OA OB,以AB为直径地圆过点 C 若点C地坐 标为（0,2）, AB 5,两点地横坐标XA, XB是关于x地方程x2 （m 2）x n 1 0地两根. （1）求m