初中一次函数分段函数典例题

1、识别分段函数，解决收费问题定义：一般地，如果有实数ai,a2,aski,k,2k3bi,b2,b3且ai<a2< a3函数 Y与自变量X之间存在k kix+bi x w aiy = k42x+b2 a iWxWm 的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。Ksx+bs a 2<x< as应该指出：（一），函数解析式这个整体只是一个函数，并非是Y=KX+b Y=KX+b2 等几个不同函数的简单组合，而kix+bi, k2x+b2 是函数丫的几种不同的表 达式.。这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说是同一函数中的自变量X在几种不同取值范围内的不同表达

2、式。（二），由于ki,k2,k3bi,b2,b3是实数，所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数，如 正比例函数和常数函数。（三），由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而 是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。（四），一次函数的分段函数是简单的分段函数。分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。收费问题与我们的生活息息相关 ，如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费 问题往

3、往根据不同的用量，采用不同的收费方式 .以收费为题材的数学问题多以分段 函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例 一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图 1所示：（1）月通话为100分钟时，应交话费 元；（2）当x>100时，求y与x之间的函数关系式；4020100（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？200 H分钟）图1二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法,某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图2.（1）分别

4、写出当0WxW 15和x> 15时,y与x的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？三、电费中分段函数例3 （广东）今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量 x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0wxw 100和x> 100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？B阮）0100 130 近度）谈谈

5、中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、 处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。爹苦。卜面我们归纳分析如下，供学习时1、二段型分段函数1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键 ，就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解 析式。例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图系，该家庭共支付工资 8000元.（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工

6、资，甲装修公司应得多少元？1所示的函数关!y（工作量）工（天）Hi解析：设正比例函数的解析式为：一,一，一 1，因为图象经过点（3, 1）,所以,4设一次函数的解析式（合作部分）是因为图象经过点（3, 1）, （5,4y=k1x,1-1-=k1X3,所以k1=,所以12y= -x, 0<x<312y=k2x+b, （k#0,kb 是常数）1,1）,所以,2由待定系数法得:k2 3 bk2 5 b14 ,解得:1211k2=8,8：一次函数的表达式为：完成此房屋装修共需 方法21y 二 一 x 一89天。1,.11一 ,所以，当y =1时，一x =1,解得x = 9888解：由正比例

7、函数解析式可知：甲的效率是工，乙工作的效率：-128 12 24甲、乙合作的天数：3+匚+1=6 （天）412 24甲先工作了 3天，：完成此房屋装修共需 9天（2）由正比例函数的解析式：y=x,可知：甲的工作效率是 -1 ,1212所以，甲9天完成的工作量是：9父2=3, 12 4二甲得到的工资是：3X8000 =6000 （元）4评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。一 ，一一1例2、一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的 1 ,估计步行不能准时到达，4于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为 1）,则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A

8、. 20分钟B , 22分钟 C , 24分钟 D . 26分钟解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系,设正比例函数的解析式为：y=k1x,因为图象经过点1 ,10,"所以,4<10由正比例函数解析式可知：甲的效率是所以，步行前往考场需要的时间是：路程=k 1 x 10,所以 k1=-, 所以 y=-x, 0<x440401,401 - - =40 （分钟），40乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系,所以，设一次函数的解析式是y=k2x+b, (k=0,kb 是常数)，因为图象经过点(10, 1), (12, 1),所以，42:s 1k2 父10 +b = 由待定系数法

9、得：44 ,解得：解得：k2=1，b = _1,18k2 12 b = 21. 3一次函数的表达式为：y= x-1,所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x= 841 .-,解得：x=6分钟，8所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟，所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24 (分钟)，故选C评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的行使速度。例3、某公司专销产品 A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品(3)中的折线A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图 (4)中的折

10、线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.(1)试写出第一批产品 A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；(2)第一批产品 A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少售量y与上市是正比例函数，所以设市场的日销售量:得，时，市场日销时间t的关系y=kt,点（30, 60）在图象上, 60=30 k.k=2.即 y=2t,当30WtW40时，市场日销售量 y与上市时间t的关系是一次函数关系, 所以设市场的日销售量：y=kit+b ,因为点（30, 60）和（40, 0）在图象上，60-30ki b所以4,0 =40kl b解得 k i=-6, b=240.y=-6t+240.

11、综上可知，当0wtw30时，市场的日销售量：y=2t,当30WtW40时，市场的日销售量： y=-6t+240 。（2）由图4可得，当0WtW20时，市场销售利润 w与上市时间t的关系是正比例函数, 所以设市场的日销售量：w=kt,点（20, 60）在图象上，60=20 k.k=3.即 w=3t ,当20wtw40时，市场销售利润 w与上市时间t的关系是常数函数,所以，w=60,当0wtw20时，产品的日销售利润：m=3t X2t=6t 2 ;. k=6>0,所以，m随t的增大而增大，当t =20时，产品的日销售利润 m最大值为：2400万元。当207 W30时，产品的日销售利润：m=6

12、0X 2t =120t,k=120 >0,所以，m随t的增大而增大，当t =30时，产品的日销售利润 m最大值为：3600万元；当 30WtW40 时，产品的日销售利润：m= 60X （-6t+240）=-360t+14400 ;k=-360 <0,所以，m随t的增大而减小，当t =30时，产品的日销售利润 mm最大值为：3600万元，综上可知，当t=30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元.评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对一次函数性质的理解和应用。1.2 一次函数与一次函数构成的分段函数例4、为了鼓励小强做

13、家务，小强每月的费用都是根据上月他的家 务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的.若设 小强每月的家务劳动时间为 x小时，该月可得（即下月他可获 得）的总费用为y元，则y （元）和x （小时）之间的函数图像 如图5所示.(1)根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？(2)若小强5月份希望有250元费用，则小强 4月份需做家务多少时间？解：(1)从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元；当0WxW20时，y (元)是x (小时)的一次函数，不妨设 y=kix+150, 同时，图象过点(20, 200),所以，200=k1x20+150,解得：

14、k1=2.5 ,所以，y=2.5x+150 ,当20Vx时，y (元)是x (小时)的一次函数，不妨设y=k2x+b,同时，图象过点(20, 200), (30, 240),20k2 + b = 200所以，,2 ,30k2 + b = 240解得：k2=4, b=120,所以，y=4x+120, 所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小日获奖励 2.5元；如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励(2)从图象上可知道，小强工作20小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超

15、过20小时，所以应选择分段函数中当20Vx时的一段，所以，由题意得，4x+120 = 250,解得：x=32.5答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为 250元.评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。1.3 常数函数与一次函数构成的分段函数例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示.以后，每分钟的通话费为(1)观察司用户月不超过100付话费金额是元；月租费通话费2 5元0 15元/分钟表1元；甲公司用户通话图6,甲公通话时间分钟时应100分钟(2)

16、李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？解析：1)从图6,可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数,当0w t w 100时，话费金额 y=20；当t >100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设 y=kt+b , 且函数经过点（100, 20）和（ 200, 40）,100k+b =20 . 口所以，解得：k=0.2, b=0,所以，y=0.2t,200k + b = 40所以，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费

17、为0.2元；2）仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,当 0 w t w 100时，甲公司的话费金额 y=20 ;乙公司通话收费 y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以，李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t,所以，t=500 ,所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.5 >0.2t ,所以，tv 500,所以，当通话时间100Vt v 500分钟时，选择甲公司；因为，0.15t+2.5 V0.2t ,所以，t>500,所以，当通话时间t

18、>500分钟时，选择乙公司；2、三段型分段函数例6如图7,矩形ABCM, AB= 1, AD- 2, M是CD的中点，点 P在矩形的边上沿 A一B一8 M运动，则4 APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）AyAy解析：1）、当 0WxW1, y=XxX2=x;如图 8 所示;22)、当 1vxW3, y=1x 2-1x1x2- 1 x( x-1 ) x 1- 1x 1x ( 3-x)222225 1=x ;如图9所本;4 43)当 3 v xw 3.5 , y= 1 X ( 7 -x ) X 2 22= -x ;如图10所示；2，_一，一一 5 11所

19、以C、D两个选项是错误的，又因为函数y=5 - 1X中的k=- 1 <0,所以直线整体4 44应该是分布在二、一、四象限，所以选项B也是错误的，所以选 Ao评析：对于运动型问题，关键是根据题意借助分类的思想用变量x分别出图形的面积。在表示面积时，要注意整体思想的运用。3、四段型分段函数例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2小时到达目的地， 游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小日40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图 11,是他们离家的路程 y（千米）与时间x（时）的函数图像。已知小强骑车的速度为 15千米/时，妈妈驾车的速度为 60千米/时。（1）小强家与游玩地的距离是多少？千米）（2）妈妈出发多长时间与小强相遇？夕葭解析:1）当0WxW2,路程y（千米）是时间x（时）的正比例函数，且 k=15 ,所以 y=15x;30千米。所以，当x=2时，y=2X 15=30,所以，小强家与游玩地的距离是2）当2vxW5,路程y（千米）是时间x（时）的常数函数，所以y=30;当5<x,路程y(千米)是时间x(时)的一次函数，且 k=-15 ,所以，设y=-15x+b ,又图象过点(5,30),所以 30=-75+b,所以b=105,所以直线BD的解析式为