中学几何计算题的有效教学研究

1、 学科分类号 必须以110开头 本 科 毕 业 论 文 题 目 中学几何计算题的有效教学研究 姓 名 杨光胜 学 号 1106020540167 院 （系） 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 11级 指导教师 夏顺友 职 称 副教授 二一四年五月 中学几何计算题的有效教学研究目录摘要21.引言42.几何的概念43.中学平面几何计算题531构造方程（组）解平面几何计算题53.11利用勾股定理构造方程组53.12利用三角形相似构造方程53.13利用面积关系构造方程632整体代换在几何计算题中的应用73.21整体代换应用于角度计算73.22整体代换应用于长度计算733整体思想在几

2、何计算题中的应用834平面几何计算题失根原因93.41忽视隐含条件93.42思维定势的影响103.43考虑不周104中学立体几何计算题1241空间向量在立体几何计算与证明的运用1242求解立体几何问题的算法化表述135中学解析几何计算题1651关于坐标系的几何题1652关于二次曲线的几何题1753关于“数形结合”思想的几何题18结束语：19参考文献：19摘要 中学几何计算题是中学数学教学的主要内容之一，它是用综合的几何知识去检验学生的能力的一种途径，尤其是在中考卷和高考卷体现极为突出。几何计算题在培养人们的空间观念起着举足轻重的作用，尤其是多解的几何计算题，得有很强的空间观念及细心谨慎才能完整

3、无误地完成。 本文是对“中学几何计算题”进行研究。首先从几何问题出发，进行一系列的分析、类比、归纳和深入的分析，最后总结。研究的同时适当地举例说明，让人们更容易地掌握几何计算题类型与解法及其应用。关键字 几何；几何计算题；分析;解析几何Abstract High school geometry calculation problems is one of the main high school mathematics teaching.It is a comprehensive knowledge of geometry with a way to test the ability of s

4、tudents.Especially reflected in the college entrance exam and the volume is extremely prominent.People's concept of space culture plays an important role in the geometric calculation problems.Especially multiple solutions geometric calculation problems. This article is on the "high school g

5、eometry calculations title" research.First, from the geometric problems.A series of analyzes, analogy, induction and in-depth analysis.Concluded.Also studied appropriately illustrated.Make it easier for people to grasp the geometry type of calculation problems Solution and Its Application.Keywo

6、rd Geometric calculation problems;Geometry;Analysis;Analytic Geometry1.引言 几何计算题是中学数学的一个亮点，每一年的中考卷和高考卷上的几何计算题所占的比例都不低于总分的50%。卷子上的这些几何题有难有益，往往难度大的题占的分值也大，不过掌握了知识点及方法，再难的几何题也都迎刃而解了。 几何计算题主要以以下三个方面为主：中学平面几何计算题；中学立体几何计算题；中学解析几何计算题。2.几何的概念 几何是一门研究空间结构及性质的学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何是一门

7、逻辑性十分严谨的学科，它的严谨性突出在语言表述之上。对理解几何概念，识别几何图形，学会推理论证有着重要的作用。几何入门教学，首先就遇到几何语言和几何符号，正确掌握几何语言是学好几何的必备条件，也是进行正确的数学思维的关键。比如梯形的概念，它是这样定义的：“一组对边平行且不相等的四边形是梯形。”3. 中学平面几何计算题3.1构造方程（组）解平面几何计算题3.1.1利用勾股定理构造方程组 例1 如图1，ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若AC、BC上的中线BD、AE垂直相交于O，则c可用a、b的代数式表示_. 解：设OD=, OE=, BD、AE是中线 BO=2，AO=2，由勾股定理，得 解

8、此方程组，得 评注：研究三角形的边与边之间的关系，利用勾股定理构建方程组去解是常用的方法。3.1.2利用三角形相似构造方程 例2 如图2，正方形OPQR内接于ABC,已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是和，那么正方形OPQR的边长是（ ）.A. B.C.2 D.3解：设正方形边长为，作ADBC于D，由和，得QC=，BP=，BC=，AD=，而AORABC,有，解此方程得，故选C评注 把AD、BP、QC、BC用含的式子表示是解本题的关键，再利用三角形相似的性质得到线段成比例构造方程是常用的方法。3.1.3利用面积关系构造方程 例3 如图3，梯形ABCD中，ADBC,CE是BCD的平分线，且CEA

9、B于E,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为_. 解：分别延长BA、CD相交于F， CE是BCD的角平分线，CEAB, BCF为等腰三角形，BE=EF. 又BE=2AE, AE=AF,而ADBC,有,连接DE, 设，则,， 解得，故梯形ABCD的面积为.评注 本题利用高相等时，三角形的面积比等于底边的比构造方程，也可以用上面的方法，利用相似三角形对应边成比例构造方程。以上三个例子巧妙的运用等量关系列出方程，解出问题。在教学中，可以以这几个例子对学生进行讲解，在月末检测中适当的加一些类似的题目来加深学生对这一块知识的掌握。3.2整体代换在几何计算题中的应用 在中学，整

10、体代换是重要的数学代数思想。其特点是：求某一代数式的值时，由于式中各字母的取值不确定，故不能分别代值而求之；但这字母之间存在着联系，而又使它在整体上显示出值的确定性，故可将该代数式看作一个有机的整体，实施整体代换求解。这种解题思想在几何计算题中有着广泛的应用。3.2.1整体代换应用于角度计算 例1 如图4，在ABC中，O为内心，若A=，求BOC的度数? 解：O为ABC的内心 ABO=CBO,ACO=BCO BOC=-(OBC+OCB) =-(ABC+ACB) =-(-A) =+A =3.2.2整体代换应用于长度计算 例2 如图5，AD、AE、CB是O的切线，D、E、F分别是切点，已知AD=8，

11、求ABC的周长. 解： BD=BF,CE=CF, ABC的周长=AB+AC+BC =AB+AC+(BF+CF) =AB+AC+(BD+CE) =(AB+BD)+(AC+CE) =AD+AE=2AD=16 ABC的周长是16例3 如图6，在ABC中，AB=AC,DM是AB的中垂线，BCD的周长为14cm,BC=5cm,求AB的长. 解：BCD的周长=BC+BD+DC=14cm，而BC=5cm, BD+DC=9cm,即AD+DC=9cm, AB=AC=AD+DC=9cm.3.3整体思想在几何计算题中的应用 有一类几何计算题，我们往往难以各个突破，而用整体思想来做，却轻轻松松地就解出这类几何计算题。

12、 例1 如图7，矩形ABCD中，AB=6AD=8，点O是对角线的交点，点P是BC上一点，PEBD于E,PFAC于F，求PE+PF的长. 分析 由题目所给的已知难以分别求出PE、PF的长，但我们可以看成，由此，只要求出和OB即可求出PE+PF的长，这就是整体思想解题。 解：据题意得OB=OC,AC=BD,由勾股定理得AC=BD=10， OB=OC=5，, ,即 PE+PF=4.8 例2 如图8，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，一条对角线长是13cm，那么矩形的面积是多少？ 分析 这题看似简单，只要求得的值即可，怎么求呢？我们不防用“整体思想解题”的

13、方法来解。 解：由题意得，AB+BC+CD+DA =86-2(AC+BD) =86-4×13=34 AB+BC=17，两边平方得 ,又+=169,L两式相减得 2AB·BC=120. AB·BC=60(). 矩形的面积是60.3.4平面几何计算题失根原因 高考和中考的数学卷中，常常有这么一类题，大部分的学生都在这里丢分，丢分的主要原因是解题不全，也就是所谓的“失根”。本节就来例说这类题型，让学生考虑问题更全面、不在这一块上丢分。3.4.1忽视隐含条件 例1 已知半径为9的O内有一内接等腰三角行ABC，底边BC上的高AD与一腰的和是20，试求AD得长. 解：如图9，

14、作AD得延长线交O于E，连结BE,则AE=18. 设OD=，则AD=9+,DE=9-,AB=20-AD=11-. , ,解得=41（=-1舍去） AD=50.失根分析 因为AD=50直径（AE=18),所以上面的解题结果是错的。这错误的原因是忽视了题目的隐含条件，导致作图错误。题目所给的隐含条件是： 当AD+AB9(+1)时，ABC是钝角三角形； 当AD+AB9(+1)时，ABC是直角三角形； 当AD+AB9(+1)时，ABC是锐角三角形； AD+AB=209(+1)， 这题说的三角形应是钝角三角行，正确的图形应是图10，接下来就跟上面的步骤一样，求出AD=8.3.4.2思维定势的影响 例1

15、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角度数为_. 解：如图11，CD=AC,则A=. B= 失根分析 以上解法忽略了ABC可能为钝角三角形，高在ABC外部，这是思维定势的消极影响。平时画三角形的高，习惯上总是画锐角三角形的高，故其在三角形内部。 如图2， CD= AC， CAD=. BAC=， B= 正确答案应是或.3.4.3考虑不周 例1 在O中，弦AC是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则BAC_. 解：由题意可作出图13，连接OA、OC,再根据题意得 OAC=,OAB=. BAC=-=.失根分析 以上解法忽视了点C除在上外，还可能在上，如图14，此时，可求得BAC=，正

16、确答案应是或.4. 中学立体几何计算题4.1空间向量在立体几何计算与证明的运用 在立体几何的线面关系中，对垂直、平行的论证，距离和角的求解以及面积、体积的计算，其解决的关键是对垂直关系的识别、判断、论证、巧用与挖掘，它需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力，许多学生为此而感到困惑。新教材中空间向量的出现，为立体几何问题的解决提供了强有力的工具，尤其是法向量的引入，在很大程度上避开了思维的高强度转换和各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算与证明，使思路变得顺畅，充分显示出其独特的优势。本节结合自己的学习经验，谈谈空间向量在立体几何中的运用。 例1 已知棱长为1的正方形-,E,F分别是棱

17、和的中点. （1）求证：E、F、B、D共面； （2）求点到平面BDFE的距离； （3）求直线与平面BDFE所成的角. 分析 此题用一般方法解比较复杂，而且还不一定做对。因此以向量积为工具，解决立体几何中求角、距离等问题，可以减少辅助线的添加，还可避开一些较复杂的空间图形，降低了解题难度，且思路明确，易于下手，过程程序化，易于接受. 错误！未找到引用源。错误！未指定书签。 解：建立如图15所示的空间直角坐标系D-,则D（0,0,0），B（1,1,0），E（，1,1），F（0,，1）. （1）由=（1,1,0),=(,0)知=2，故E、F、B、D共面. (2)设=（）是平面BDFE的法向量.由，=

18、(1，1，0)，=（0，1）得 设点在平面BDFE上的射影为H，连结.因是平面BDFE的斜线段，令y=1,得=，则 ,于是所以，点到平面BDFE的距离为1.（3） 由（2）知,是直线与平面BDFE所成的角，且,所以.4.2求解立体几何问题的算法化表述在求解立体几何问题时，经常发生某些学生在求解表述中省略关键步骤、跳步、图形与书写相脱离或书写混乱、条理不清等问题.为了使学生在表述求解问题时更加有条理、规范，养成良好的思想品质。 我们将证明题的算法化表述可以归结为一系列的三段：大前提-小前提-结论的恰当组合；计算题的算法化表述可以归结为“寻-证-点-算。”“寻”，即由题意寻找或作出正确的图形，根据

19、需要作出辅助直线或平面。有的题目中的辅助线面较多，还要写清成图过程、注明字母，或根据题意，在已给出的图中寻找所需要的图形。“证”，就是从题设条件出发，从已学公理、定理、定义出发论证清楚所求的“角”、“距离”等，这是解题的根据所在，重点所在，不能一笔带过。“点”就是在前面证明的基础上，点名所求的对象。“算”，就是根据题设条件及已论证清楚的结论，计算出所要求的最后结果。一般来说，计算过程不要写得太长，突出主要过程即可。例1 如图16，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a.(1) 求二面角B-PC-D的大小；(2) 求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.解：（1）（寻）在

20、平面PBC内，作BEPC于E，连结DE. (证）由PA平面ABCD，BDAC,根据三垂线定理知BDPC.于是PC面BED，从而EDPC. (点）故BED是二面角B-PC-D的平面角 （算）在RtPAB中，由PA=AB=a，得PB=a.由PA面ABCD，BCAB,知BCPB,故PC=. 在RtPBC中，BE=.同理DE=. 在RtBDE中，,即BED=，此即为二面角B-PC-D的大小. (2)(寻）过P作PQAB,则平面PAB，由ABCD，知PQCD,平面PCD.故面PAB面PCD=PQ. (证）由PAAB,ABPQ,知PAPQ.又PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理之逆知CDPD.由PQCD

21、,知PDPQ. (点）从而APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角. （算）由PA=AB=AD，知APD=.故所求的二面角为.例2 如图17（a)，在长方形ABCD中，AB=a,BC=b(ab),把这个长方形沿对角线AC折成等于的二面角，求这时顶点B、D间的距离.解：(寻）作BEAC于E，作DFAC于F. （证）由AEBABCBEC,得,从而.于是DF=BE=，EF=AC-2CE=. （点）在图17(b)中，EF是异面直线BE，DF的公垂线，BD是两异面直线BE与DF上点B，D间的距离. （算）设二面角D-AC-B等于，知当为锐角时，等于异面直线BE，DF所成的角，得 . 当为钝角时，的补角

22、等于异面直线BE,DF所成的角，得 当为直角时，故为所求.5. 中学解析几何计算题5.1关于坐标系的几何题 大家都知道，坐标系是解析几何借以展观的舞台。不过，用坐标确定位置，早在小学已经有所介绍，虽然那时只限于第一象限和整数坐标。初中引入函数概念时，全面地介绍了直角坐标系，并借以描绘函数图像。高中就开始进入解析几何的教学，虽然老早就学过坐标系，但是是否能运用坐标系解题仍然是个问题，我将自己学过的经验以以下例题讲解。 例1 如图18，在证三角形ABC中，D、E分别在AB和BC上，且AD=AB，BE=BC，AE和CD相交于P，试问直线BP和CP的位置关系怎样，为什么？ 解：猜想：BPCP. 以AB

23、所在直线为轴，AB中点为原点，建立直角坐标系.设A（-，0），B(,0)，则C(0，)，D(，0），E（，）. 所以.直线AE、CD的一个法向量分别为，由此得直线AE的方程为 ，即. 由，解得， 即得点P的坐标为. 于是得 ，且有 ，所以直线BP和CP互相垂直.点评 凭直觉猜测AECP，欲证这一结论的关键是求点P的坐标.为此，须建立直线AE和CD的方程.这样，就必须先建立平面直角坐标系.因此，运用解析法证明本题就是顺理成章的事了。这里的证明，应用了”，这是常用的方法，它使“形”与“数”结合，沟通了用代数研究几何的渠道。5.2关于二次曲线的几何题 二次曲线，是高考的一个重要考点，常出现在应用题，占的分值虽然不是很多，但也不少，现我就例题来研究二次曲线的几何题. 例1 设抛物线（0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC轴，证明直线AC经过原点.证明：如图19，设轴与准线交于E，直线AC交轴于N，作AM于M，由抛物线定义，得 . 由题意，知AMFEBC.在ABC中，由,得,在ACM中，由,得,又,故,所以,即N是EF的中点，但也是EF的中点，故N与抛物线的顶点重合，即直线AC经过原点.点评 本解法是从证明点N与点重合，即从证明EN=NF着手分析，逐步逆推，然后利用抛物线