2-2减少误差的计算原则(精)

1、二、数值计算中的一些基本原则避免绝对值小的数作除数避免两个相近的数据相减要防止大数吃掉”小数尽量减少计算工作量选用数值稳定性好的算法避免绝对值小的数作除数这一原则主要指尽量避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。设z = y/x（xHO）,如果x的绝对值远小于y的绝 对值，由于s（2_）“ lx l（y）+ly ls（x）XI X I21/21（丿）|lx I2/21避免两个相近的数据相减如果y 事现分析两个数的近似数作减法所得结 果的误差.设z=y- x,则利用误差估计s(z) = s(y)+ s(x)有相对误差估计当时，有ZO,计算结果的相对误差限可能很 大，导致数值计算结果的有效数字位

2、数减少。要防止大数“吃掉小数一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加 时，很可能发生所谓“大数吃小数杯的现象。例如，&=10b=.设想这两个数在具有12位浮点 数计算机系统(12位有效位数系)中相加a + b=IO + 4二10000000000000 X 1013+0. 0000000000004 X10】3实际加法操作如下1 .(MMMMMMMHM) Ox 10,3+ 0.(MMMM)00000 OxlO13=1.000000000() Ox 10,3尽量减少计算工作量在考虑算法时应注意简化计算步骤，减少运算次数。 计算工作量小的算法不仅节约运行时间，而且使误差 积累小。例2

3、设计算法用于计算多项式(x) =+ + a a x x + + a a2 2x x2 2+ + + + a an nx xH H算法一：S o=勺，srSk-iPO二Sn计算一个次多项值需要用In次乘法。n尽量减少计算工作量另一种典型算法是秦九韶算法计算一个n次多项值需要用n次乘法。+ 牛対，(k=1, 2, .n )5/21X X2a+Xna+oaX4a+J3a+4aX X+3aX+2aX+9 /7 (选用数值稳定性好的算法不同的算法在执行过程中对数据误差的影响是不一样的。舍入误差对计算结果影响不大的算法被称为数值稳定的算法.例3利用递推式计算定积分In- ex xneXdxJo2,，20)

4、的值。算法一：/ = el(xnex-nlxnlexdx) =1 -n/ ”vIo Jo”其中zo=exdx = el(e =得递推关系式利用递推式可得20个数据如下表:(n-0,7/2110/210. 36787944117144rz0. 077352229358780. 264241117657120. 071773247694640. 20727664702865EJ0. 066947779969720. 170893411885380. 06273108042387$50. 14553294057308S応0. 059033793641900. 126802356561520. 055

5、45930172957 j0. 112383504069360. 057191870597310. 10093196744509-0 02945367075154$90. 09161229299417SR1. 559619744279190. 08387707005829Sj30. 19239488558378对积分值有估计式：-e-lxHexdx Xj - x2- -xn.只须limxn=兀*/1-0015/21二、二分法定理2.1设函数f (x)在区间a, b上连续，且f (a) f (b) ar1=32, b2 z. z)an, bn有如下性质(1) bn- an= (b - a) /

6、2n；anH鼻，S+i W bn;(3) f (an) f (bn) 0当n充分大时，令定理2.2设才为方程f(x) = O在区间a,b内的唯 一根，f(力满足f (a)fdb)B-x*)|M *l 5 - x I +- x* I=扌(亠 5)+ (九)20/21故有由此可知，当n8时，Xnx即二分法产生的序 列收敛。第一步：输入误差限,Er计算Yi - f (a), y2e f (b)；第二步：计算x0-0.5 (a+b) , y0-f (“)，若ly0_yjl e0,则输出结束。否则转第三步；第三步： 若y0y!0,则置bXQ,y2- y0；否则a- x(), yj s o Q . 厂4b 1 zsScWHflBEouX sq u1.2500笑卜s ss Xpm二+丄HEq=J?i(【qnDd.ppuo