2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7节 抛物线 教案

1、1第七节第七节抛物线抛物线最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点 f 的距离与到定直线 l 的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 f 到准线 l 的距离图形顶点o(0，0)对称轴y0 x0焦点fp2，0fp2，0f0，p2f0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp

2、2范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr焦半径(其中p(x0，y0)|pf|x0p2|pf|x0p2|pf|y0p2|pf|y0p22常用结论设 ab 是过抛物线 y22px(p0)焦点 f 的弦，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)弦长|ab|x1x2p2psin2(为弦 ab 的倾斜角)(3)以弦 ab 为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于 2p，通径是过焦点最短的弦一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点 f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线

3、只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|pq|等于()a9b8c7d6b抛物线 y24x 的焦点为 f(1， 0)， 准线方程为 x1.根据题意可得， |pq|pf|qf|x11x21x1x228.2 若抛物线 y4x2上的一点 m 到焦点的距离为 1， 则点 m 的纵坐标是()a.

4、1716b.1516c.78d0bm 到准线的距离等于 m 到焦点的距离， 又准线方程为 y116， 设 m(x，3y)，则 y1161，y1516.3设抛物线 y28x 上一点 p 到 y 轴的距离是 4，则点 p 到该抛物线焦点的距离是()a4b6c8d12b如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x2，f 是抛物线的焦点，过点 p 作 pay 轴，垂足是 a，延长 pa 交直线 l 于点 b，则|ab|2.由于点 p 到 y 轴的距离为 4，则点 p 到准线 l 的距离|pb|426，所以点 p 到焦点的距离|pf|pb|6.故选 b.4顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 p(4，2)的抛

5、物线的标准方程是_y2x 或 x28y若焦点在 y 轴上，设抛物线方程为 x2my，由题意可知 162m， m8， 即 x28y.若焦点在 x 轴上， 设抛物线方程为 y2nx，由题意，得 44n，n1，y2x.综上知，y2x 或 x28y.考点 1抛物线的定义及应用(1)应用抛物线定义的两个关键点由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化注意灵活运用抛物线上一点 p(x0，y0)到焦点 f 的距离|pf|x0|p2或|pf|y0|p2.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”(1)已知 f 是抛物线 y2x 的焦点，a，b 是该抛物线

6、上的两点|af|bf|3，则线段 ab 的中点到准线的距离为()a.52b.32c1d34(2)设 p 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 b(3，2)，则|pb|pf|的最小值为_(1)b(2)4(1)f 是抛物线 y2x 的焦点，f(14，0)，准线方程 x14，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，根据抛物线的定义可得|af|x114，|bf|x214，|af|bf|x114x2143.解得 x1x252，线段 ab 的中点横坐标为54，线段 ab 的中点到准线的距离为541432.故选 b.(2)如图，过点 b 作 bq 垂直准线于点 q，交抛物线于点p1，则|p1q|p1f|.则

7、有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4，即|pb|pf|的最小值为 4.母题探究1若将例(2)中的 b 点坐标改为(3，4)，试求|pb|pf|的最小值解由题意可知点 b(3，4)在抛物线的外部|pb|pf|的最小值即为 b，f 两点间的距离，f(1，0)，|pb|pf|bf| 42222 5，即|pb|pf|的最小值为 2 5.2若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 xy50，在抛物线上有一动点 p 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1d2的最小值解由题意知，抛物线的焦点为 f(1，0)点 p 到 y 轴的距离 d1|pf|1，

8、所以 d1d2d2|pf|1.易知 d2|pf|的最小值为点 f 到直线 l 的距离，5故 d2|pf|的最小值为|15|12（1）23 2，所以 d1d2的最小值为 3 21.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决(2017 全国卷)已知 f 是抛物线 c：y28x 的焦点，m 是 c 上一点，fm 的延长线交 y 轴于点 n.若 m 为 fn 的中点，则|fn|_6如图，不妨设点 m 位于第一象限内， 抛

9、物线 c 的准线交 x 轴于点 a，过点 m 作准线的垂线，垂足为点 b，交 y轴于点 p，pmof.由题意知，f(2，0)，|fo|ao|2.点 m 为 fn 的中点，pmof，|mp|12|fo|1.又|bp|ao|2，|mb|mp|bp|3.由抛物线的定义知|mf|mb|3，故|fn|2|mf|6.考点 2抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、 开口方向， 在方程的类型已经确定的前提下， 由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)(2019潍坊模拟)抛物线 y22px(p0)的焦点为 f，o 为坐标原点，m

10、 为抛物线上一点，且|mf|4|of|，mfo 的面积为 4 3，则抛物线的方程为()ay26xby28xcy216xdy215x2(2)一题多解在平面直角坐标系 xoy 中，设抛物线 y24x 的焦点为 f， 准线6为 l，p 为抛物线上一点，pal，a 为垂足如果直线 af 的倾斜角为 120，那么|pf|_(1)b(2)4(1)设 m(x，y)，因为|of|p2，|mf|4|of|，所以|mf|2p，由抛物线定义知 xp22p，所以 x32p，所以 y 3p. 又mfo 的面积为 4 3，所以12p2 3p4 3，解得 p4(p4 舍去)所以抛物线的方程为 y28x.(2)法一：抛物线

11、y24x 的焦点为 f(1，0)，准线方程为 x1.因为直线 af的倾斜角为 120，所以afo60.又 tan 60ya1（1），所以 ya2 3.因为 pal， 所以 ypya2 3.将其代入 y24x， 得 xp3， 所以|pf|pa|3(1)4.法二：抛物线 y24x 的焦点为 f(1，0)，准线方程为 x1.因为 pal，所以|pa|pf|.又因为直线 af 的倾斜角为 120，所以afo60，所以paf60，所以paf 为等边三角形，所以|pf|af|1（1）cosafo4.在解决与抛物线的性质有关的问题时， 要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的

12、问题更是如此1.(2016全国卷)以抛物线 c 的顶点为圆心的圆交 c 于 a，b 两点，交 c 的准线于 d，e 两点已知|ab|4 2，|de|2 5，则 c 的焦点到准线的距离为()a2b4c6d8b设抛物线的方程为 y22px(p0)，圆的方程为 x2y2r2.|ab|4 2，|de|2 5，抛物线的准线方程为 xp2，不妨设 a4p，2 2，dp2， 5.点 a4p，2 2，dp2， 5在圆 x2y2r2上，716p28r2，p245r2，16p28p245，p4(负值舍去)c 的焦点到准线的距离为 4.2.如图所示， 过抛物线 y22px(p0)的焦点 f 的直线依次交抛物线及准线

13、于点 a， b， c， 若|bc|2|bf|， 且|af|4，则抛物线的方程为()ay28xby24xcy22xdy2xb如图，分别过点 a，b 作准线的垂线，交准线于点e，d，设准线与 x 轴交于点 g，设|bf|a，则由已知得|bc|2a，由定义得|bd|a，故bcd30，则在 rtace 中，2|ae|ac|，又|af|4，|ac|43a，|ae|4，43a8，从而得 a43，aefg，fgaecfac，即p448，p2.抛物线的方程为 y24x.故选 b.考点 3直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，

14、一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p(焦点在 x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解(1)过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有_条8(2)(2019全国卷)已知抛物线 c： y23x 的焦点为 f， 斜率为32的直线 l 与 c的交点为 a，b，与 x 轴的交点为 p.若|af|bf|4，求 l 的方程；

15、若ap3pb，求|ab|.(1)3(1)结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有 3 条：直线 x0，过点(0，1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)(2)解设直线 l：y32xt，a(x1，y1)，b(x2，y2).由题设得 f34，0，故|af|bf|x1x232，由题设可得 x1x252.由y32xty23x，可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212（t1）9.从而由12（t1）952，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.由ap3 pb得 y13y2.由y32xty23x，得 y22y2t0.所以 y1y22.从而3y2

16、y22，故 y21，y13.代入 c 的方程得 x13，x213.故|ab|4 133.9解答本例(2)第问的关键是从条件“ap3pb”中发现变量间的关系“y13y2” ，从而为方程组的消元提供明确的方向教师备选例题1(2018全国卷)设抛物线 c：y24x 的焦点为 f，过 f 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 c 交于 a，b 两点，|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 a，b 且与 c 的准线相切的圆的方程解(1)由题意得 f(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)由yk（x1） ，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2

17、160，故 x1x22k24k2.所以|ab|af|bf|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)或 k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 ab 的中点坐标为(3，2)，所以 ab 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.2(2019金华模拟)已知抛物线 c：y22px(p0)在第一象限内的点 p(2，t)到焦点 f 的距离为52.10(

18、1)若 n(12，0)，过点 n，p 的直线 l1与抛物线相交于另一点 q，求|qf|pf|的值；(2)若直线 l2与抛物线 c 相交于 a，b 两点，与圆 m：(xa)2y21 相交于d，e 两点，o 为坐标原点，oaob，试问：是否存在实数 a，使得|de|为定值？若存在，求出 a 的值；若不存存，请说明由解(1)点 p(2，t)到焦点 f 的距离为52，2p252，解得 p1，故抛物线 c 的方程为 y22x，p(2，2)，l1的方程为 y45x25，联立得y45x25，y22x，解得 xq18，又|qf|xq1258，|pf|52，|qf|pf|585214.(2)设直线 l2的方程为

19、 xnym(m0)，代入抛物线方程可得 y22ny2m0，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 y1y22n，y1y22m，由 oaob 得，(ny1m)(ny2m)y1y20，整理得(n21)y1y2nm(y1y2)m20，将代入解得 m2 或 m0(舍去)，满足4n28m0，直线 l2：xny2，圆心 m(a，0)到直线 l2的距离 d|a2|1n2，|de|212（a2）21n2，显然当 a2 时，|de|2，存在实数 a2，使得|de|为定值1.一题多解过抛物线 y24x 的焦点 f 的直线 l 与抛物线交于 a，b两点，若|af|2|bf|，则|ab|等于()11a4b.92c5d6b法一： (直接法)易知直线 l 的斜率存在， 设为 k， 则其方程为 yk(x1)由yk（x1） ，y24x得 k2x2(2k24)xk20，得 xaxb1，因为|af|2|bf|，由抛物线的定义得 xa12(xb1)，即 xa2xb1，由解得 xa2，xb12，所以|ab|af|bf|xaxbp92.法二：(应用性质)由对称性不妨设点 a 在 x 轴的上方，如图设 a，b 在准线上的射影分别为 d，c，作 bead 于 e，设|bf|m，直线 l 的倾斜角为，则|ab|3m，由抛物线的定义知|ad|af|2m，|bc|