2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教案

1、1第四章第四章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形第一节第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养2结合方程结合方程、基本不等式基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养3将三角函数的定义将三角函数的定义、三角函数

2、符号的判断综合考查三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象凸显直观想象、数学运算的核心素数学运算的核心素养养理清主干知识理清主干知识1角的定义角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转旋转到另一个位置所形成的到另一个位置所形成的图形图形2角的分类角的分类角的分类角的分类按旋转方向按旋转方向不同分类不同分类正角：按正角：按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：射线没有旋转零角：射线没有旋转按终边位置按终边位置不同分类不同分类象限角：角的终边在第几象限，这象限角：角的终边在

3、第几象限，这个角就是第几象限角个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上轴线角：角的终边落在坐标轴上3终边相同的角终边相同的角所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角， 连同角连同角在内在内， 可构成一个集合可构成一个集合： s|k360， kz z或或|2k，kz z4弧度制弧度制定义定义把长度等于把长度等于半径长半径长的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作弧度的角，弧度记作 rad角角的弧度数公式的弧度数公式|lr(弧长用弧长用 l 表示表示)角度与弧度的换算角度与弧度的换算1180rad；1 rad180弧长公式弧长公式弧长弧长 l|r扇形面积公式扇形面积公

4、式s12lr12|r25.任意角的三角函数任意角的三角函数三角函数三角函数正弦正弦余弦余弦正切正切2定义定义设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p(x，y)，那么，那么y叫做叫做的正弦，记的正弦，记作作 sin x叫做叫做的余弦的余弦，记记作作cos yx叫做叫做的正切，记的正切，记作作 tan 各象限各象限符号符号三三角角函函数数线线有向线段有向线段 mp 为正为正弦线弦线有向线有向线段段om为余弦为余弦线线有向线段有向线段 at 为正为正切线切线澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(多选多选任意角的三角函数任意角的三角函数)下列说

5、法中正确的是下列说法中正确的是()a75是第四象限角是第四象限角b475是第二象限角是第二象限角c若若 sin 0，则，则是第一、二象限的角是第一、二象限的角d若若是第二象限的角，且是第二象限的角，且 p(x，y)是其终边上一点，则是其终边上一点，则 cos xx2y2解析：解析：选选 aba 选项，选项，90750，则角，则角的终边落在第一、二象限及的终边落在第一、二象限及 y 轴正半轴上，所以轴正半轴上，所以 c 错误错误d 选项，选项，cos xx2y2，所以，所以 d 错误故选错误故选 a、b.2(象限角象限角)已知已知是第二象限角，则是第二象限角，则 180是第是第_象限角象限角答案

6、：答案：一一3(弧长公式弧长公式)已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为6，面积为，面积为3，则扇形的弧长等于，则扇形的弧长等于_答案：答案：34(三角函数的定义三角函数的定义)已知角已知角的终边过点的终边过点 p(1,2)，则，则 sin _.答案：答案：2 553二、易错点练清二、易错点练清1(易忽视扇形公式中的易忽视扇形公式中的是弧度制是弧度制)已知已知 60的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为 2，则该弧所在圆的半，则该弧所在圆的半径为径为()a.130b.6c.160d3答案：答案：b2(忽视对参数的讨论忽视对参数的讨论)已知角已知角的终边过点的终边过点 p(8m,6m)(m0)，

7、则，则 sin _.解析：解析：由题意得由题意得 x8m，y6m，所以，所以 r10|m|.当当 m0 时，时，sin 6m10m35；当当 m0 时，时，sin 6m10m35.答案：答案：35或或353(忽视轴线角忽视轴线角)已知角已知角的终边经过点的终边经过点(3a9，a2)，且，且 cos 0，sin 0，则实数，则实数 a 的的取值范围是取值范围是_解析：解析：cos 0，sin 0，角角的终边落在第二象限或的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上轴的正半轴上3a90，a20，2a3.答案答案：(2,3考点一考点一象限角及终边相同的角的表示象限角及终边相同的角的表示典例典例(1)(20

8、20全国卷全国卷)若若为第四象限角，则为第四象限角，则()acos 20bcos 20csin 20dsin 20(2)与与2 020终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是_解析解析(1)是第四象限角，是第四象限角，22k2k，kz z，4k24k，kz z.角角 2的终边在第三、四象限或的终边在第三、四象限或 y 轴非正半轴上，轴非正半轴上，sin 20，cos 2可正、可负、可为零可正、可负、可为零(2)因为因为2 020(6)360140，所以所以 140与与2 020终边相同终边相同，又终边相同的两个角又终边相同的两个角4相差相差 360的整数倍的整数倍，所以在所以在 0360中只有

9、中只有 140与与2 020终边相同终边相同，故与故与2 020终边相终边相同的最小正角是同的最小正角是 140.答案答案(1)d(2)140方法技巧方法技巧1利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需赋值来求得所需的角的角2确定确定 k，k(kn n*)的终边位置的方法的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出的范围，再写出 k或或k的范围，然后根据的范围，然后根据 k

10、 的可能取值讨的可能取值讨论确定论确定 k或或k的终边所在位置的终边所在位置针对训练针对训练1设集合设集合 mx|xk218045，kz z，nx|xk418045，kz z，那么，那么()amnbmncnmdmn 解析：解析：选选 b由于由于 mx|xk218045，kz z，45，45，135，225，nx|xk418045，kz z，45，0，45，90，135，180，225，显然显然有有mn.故选故选 b.2已知角已知角在第二象限，且在第二象限，且|sin2|sin2，则角，则角2在在()a第一象限或第三象限第一象限或第三象限b第二象限或第四象限第二象限或第四象限c第三象限第三象限d

11、第四象限第四象限解析：解析：选选 c角角是第二象限角，是第二象限角，2k2，2k，kz z，2k4，k2 ，kz z，角角2在第一或第三象限在第一或第三象限|sin2|sin2，sin20 且且 a1)的图象过定点的图象过定点 p，且角且角的终边过点的终边过点 p，则则 sincos 的值为的值为()a.75b.65c.55d.3 55(2)我国古代数学家僧一行应用我国古代数学家僧一行应用“九服晷九服晷(u)影算法影算法”在大衍历中建立了晷影长在大衍历中建立了晷影长 l 与太与太阳天顶距阳天顶距(080)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角的对应数表，这是世界数学史上较早的

12、一张正切函数表根据三角学知识可知学知识可知， 晷影长度晷影长度 l 等于表高等于表高 h 与太阳天顶距与太阳天顶距正切值的乘积正切值的乘积， 即即 lhtan .已知天顶距已知天顶距1时，晷影长时，晷影长 l0.14.现测得午中晷影长度现测得午中晷影长度 l0.42，则天顶距，则天顶距为为()(参考数据：参考数据：tan 10.017 5，tan 20.034 9，tan 30.052 4，tan 22.80.420 4)a2b3c11d22.8解析解析(1)因为函数因为函数 yloga(x3)2 的图象过定点的图象过定点 p(4,2)，且角且角的终边过点的终边过点 p，所以所以 x4，y2，

13、r2 5，所以，所以 sin 55，cos 2 55，所以，所以 sin cos 552 553 55.(2)由题意，可得晷影长由题意，可得晷影长 lhtan ，且顶距，且顶距1时，晷影长时，晷影长 l0.14.7所以所以 h1tan 0.140.01758，当晷影长度当晷影长度 l0.42，则，则 tan lh0.42g0.0524，所以所以3.答案答案(1)d(2)b方法技巧方法技巧三角函数定义应用策略三角函数定义应用策略(1)已知角已知角终边上一点终边上一点 p 的坐标的坐标，则可先求出点则可先求出点 p 到原点的距离到原点的距离 r，然后用三角函数的定义然后用三角函数的定义求解求解(2

14、)已知角已知角的终边所在的直线方程的终边所在的直线方程， 则可先设出终边上一点的坐标则可先设出终边上一点的坐标， 求出此点到原点的距离求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解然后用三角函数的定义求解(3)已知角已知角的某三角函数值，可求角的某三角函数值，可求角终边上一点终边上一点 p 的坐标中的参数值，可根据定义中的两的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值个量列方程求参数值(4)已知角已知角的终边所在的直线方程或角的终边所在的直线方程或角的大小的大小， 根据三角函数的定义可求角根据三角函数的定义可求角终边上某特定终边上某特定点的坐标点的坐标考法考法(二二)三角函数值符号的判

15、断三角函数值符号的判断例例 2(1)若若 sin tan 0，且，且cos tan 0，则角，则角是是()a第一象限角第一象限角b第二象限角第二象限角c第三象限角第三象限角d第四象限角第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4 的值的值()a小于小于 0b大于大于 0c等于等于 0d不存在不存在解析解析(1)由由 sin tan 0 可可知知 sin ， tan 异号异号， 则则为第二象限角或第三象限角为第二象限角或第三象限角 由由cos tan 0可知可知 cos ，tan 异号，则异号，则为第三象限角或第四象限角综上可知，为第三象限角或第四象限角综上可知，为第三象限角为第三象限角(2)

16、1 弧度约等于弧度约等于 57，220，3 弧度大于弧度大于2，小于，小于在第二象限，在第二象限，cos 30，sin 2cos 3tan 40.8答案答案(1)c(2)a方法技巧方法技巧1三角函数值符号及角的位置判断三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况2三角函数值的符号规律三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的

17、符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦针对训练针对训练1已知点已知点 p(tan ，cos )在第三象限，则角在第三象限，则角的终边在的终边在()a第一象限第一象限b第二象限第二象限c第三象限第三象限d第四象限第四象限解析：解析：选选 b由题意知由题意知 tan 0，cos 0，所以，所以 x45，p45，35 .由三角函数的定义可得：由三角函数的定义可得：sin 35.(2)由由 sin 35，是锐角，可得是锐角，可得 cos 45，因为锐角因为锐角的终边与单位圆相交于的终边与单位圆相交于 q 点，且纵坐标为点，且纵坐

18、标为45，将，将 y45代入代入 x2y21，因为因为是锐角，是锐角，x0，可得，可得 x35，q35，45 ，所以所以 sin 45，cos 35，所以所以 cos()cos cos sin sin 453535450.因为因为 02，02，所以，所以 0，所以所以2.创新考查方式创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向1 九章算术九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作是我国古代数学成就的杰出代表作，其中其中方田方田章给出章给出计算弧田面积所用的经验公式为计算弧田面积所用的经验公式为： 弧田面积弧田面积12(弦弦矢矢矢矢2)， 弧田弧田(如图如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中由圆弧和其所对

19、弦所围成，公式中“弦弦”指圆弧所对弦长，指圆弧所对弦长，“矢矢”等于半径长与圆心到弦等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为的距离之差现有圆心角为23，半径等于半径等于 4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是积约是()a6 m2b9 m2c12 m2d15 m2解析解析： 选选 b如图如图， 由题意可得由题意可得aob23， |oa|4， 在在 rtaod 中中，可得可得aod3，dao6，|od|12|ao|1242，于是矢，于是矢422.由由|ad|ao|sin34322 3，可得弦长可得弦长|ab|2|ad|22 34 3.10所以弧

20、田面积所以弧田面积12(弦弦矢矢矢矢2)12(4 3222)4 329(m2)故选故选 b.2中国折叠扇有着深厚的文化底蕴如图，在半圆中国折叠扇有着深厚的文化底蕴如图，在半圆 o 中作出两个扇中作出两个扇形形oab 和和 ocd，用扇环形，用扇环形 abdc(图中阴影部分图中阴影部分)制作折叠扇的扇面记扇制作折叠扇的扇面记扇环环形形abdc的面积的面积为为s1， 扇扇形形oab的面积的面积为为s2， 当当s1与与s2的比值为的比值为512时，扇面的形状较为美观，则此时扇形时，扇面的形状较为美观，则此时扇形 ocd 的半径与半圆的半径与半圆 o 的半径之比为的半径之比为()a.514b.512c

21、3 5d. 52解析解析：选选 b设设aob，半圆的半径为半圆的半径为 r，扇形扇形 ocd 的半径为的半径为 r1，依题意依题意，有有12r212r2112r2512，即，即r2r21r2512，所以，所以r21r23 5262 545122，从而得，从而得r1r512.3.如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xoy 中中，一单位圆的圆心的初始位置在一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点此时圆上一点 p 的位置在的位置在(0,0)，圆在圆在 x 轴上沿正向滚动轴上沿正向滚动当圆滚动到圆当圆滚动到圆心位于心位于(2,1)时，时， op的坐标为的坐标为_解析解析：如图所示如图

22、所示，设滚动后的圆的圆心为设滚动后的圆的圆心为 c，过点过点 c 作作 x 轴的垂线轴的垂线，垂垂足为足为 a，过点，过点 p 作作 x 轴的垂线与过点轴的垂线与过点 c 所作所作 y 轴的垂线交于点轴的垂线交于点 b.因为圆心移动的距离为因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧所以劣弧pa2，即圆心角即圆心角pca2，则则pcb22，所以所以|pb|sin22 cos 2，|cb|cos22 sin 2，所以所以 xp2|cb|2sin 2，yp1|pb|1cos 2，所以所以 op(2sin 2,1cos 2)答案：答案：(2sin 2,1cos 2)4.如图所示，在平面直角坐标系如图所示，在平

23、面直角坐标系 xoy 中，动点中，动点 p，q 从点从点 a(1,0)出发在出发在单位圆上运动单位圆上运动，点点 p 按逆时针方向每秒钟转按逆时针方向每秒钟转6弧度弧度，点点 q 按顺时针方向按顺时针方向每秒钟转每秒钟转116弧度，则弧度，则 p，q 两点在第两点在第 2 019 次相遇时，点次相遇时，点 p 的坐标为的坐标为11_解析：解析：因为点因为点 p 按逆时针方向每秒钟转按逆时针方向每秒钟转6弧度，点弧度，点 q 按顺时针方向每秒钟转按顺时针方向每秒钟转116弧度，所以弧度，所以两点相遇两点相遇 1 次的路程是单位圆的周长，即次的路程是单位圆的周长，即 2，所以两点相遇一次用了，所以

24、两点相遇一次用了 1 秒，因此当两点相秒，因此当两点相遇遇 2 019 次时，共用了次时，共用了 2 019 秒，所以此时点秒，所以此时点 p 所转过的弧度为所转过的弧度为2 019667322336.由由终边相同的角的概念可知，终边相同的角的概念可知，2 0196与与2的终边相同，所以此时点的终边相同，所以此时点 p 位于位于 y 轴正半轴上，故轴正半轴上，故点点p 的坐标为的坐标为(0,1)答案：答案：(0,1)课时跟踪检测课时跟踪检测1将表的分针拨快将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()a.3b.6c3d6解析解析：选选

25、 c将表的分针拨快应按顺时针方向旋转将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角为负角故故 a、b 不正确不正确，又因为拨又因为拨快快10 分钟，故应转过的角为圆周的分钟，故应转过的角为圆周的16，即为，即为1623.2已知点已知点 p(sin(30)，cos(30)在角在角的终边上的终边上，且且2，0)，则角则角的大小为的大小为()a3b.23c23d43解析解析：选选 d因为因为 p(sin(30)，cos(30)，所以所以 p12，32 ，所以所以是第二象限角是第二象限角，又又2，0)，所以，所以43.3已知角已知角的终边经过点的终边经过点(3，4)，则，则 sin 1cos ()a15b.

26、3715c.3720d.1315解析解析：选选 d角角的终边经过点的终边经过点(3，4)，sin 45，cos 35，sin 1cos 45531315.故选故选 d.4已知角已知角的始边与的始边与 x 轴的正半轴重合轴的正半轴重合，顶点在坐标原点顶点在坐标原点，角角终边上的一点终边上的一点 p 到原点的距到原点的距12离为离为 2，若，若4，则点，则点 p 的坐标为的坐标为()a(1， 2)b( 2，1)c( 2， 2)d(1,1)解析：解析：选选 d设设 p(x，y)，则，则 sin y2sin4，y1.又又 cos x2cos4，x1，p(1,1)5已知角已知角2k5(kz z)，若角，

27、若角与角与角的终边相同，则的终边相同，则 ysin |sin |cos |cos |tan |tan |的值为的值为()a1b1c3d3解析：解析：选选 b由由2k5(kz z)及终边相同的角的概念知，角及终边相同的角的概念知，角的终边在第四象限，又角的终边在第四象限，又角与角与角的终边相同的终边相同，所以角所以角是第四象限角是第四象限角，所以所以 sin 0，cos 0，tan 0.所以所以 y1111.6(多选多选)下列结论中正确的是下列结论中正确的是()a若角若角的终边过点的终边过点 p(3k,4k)(k0)，则，则 sin 45b若若是第一象限角，则是第一象限角，则2为第一或第三象限角

28、为第一或第三象限角c若扇形的周长为若扇形的周长为 6，半径为，半径为 2，则其中心角的大小为，则其中心角的大小为 1 弧度弧度d若若 02，则，则 sin tan 解析解析：选选 bcd当当 k1 时时，p(3，4)，则则 sin 45，故故 a 错误错误；2k2k2，kz z，k2k4，kz z，2为第一或第三象限角，故为第一或第三象限角，故 b 正确；正确；|lr6421，故故c 正确；正确；02，sin tan sin sin cos cos sin ，则，则()13abcos dtan tan 解析解析： 选选d因为因为， 是第一象限角是第一象限角， 所所以以sin 0， sin 0，

29、 又又sin sin ， 所所以以sin2sin20，所以所以 1cos21cos2， 所以所以 cos21cos20， 所以所以 tan2tan2，因为因为 tan0，tan 0，所以，所以 tan tan .故选故选 d.9若若1 560，角，角与与终边相同，且终边相同，且360360，则，则_.解析：解析：因为因为1 5604360120，所以与所以与终边相同的角为终边相同的角为 360k120，kz z，令令 k1 或或 k0 可得可得240或或120.答案：答案：120或或24010 若角若角的终边与直线的终边与直线 y3x 重合重合， 且且 sin 0， 又又 p(m， n)是角是

30、角终边上一点终边上一点， 且且|op| 10，则则 mn_.解析：解析：由已知由已知 tan 3，n3m，又，又 m2n210，m21，又，又 sin 0，m1，n3.mn2.答案：答案：211 已知扇形的周长为已知扇形的周长为 4， 当它的半径为当它的半径为_和圆心角为和圆心角为_弧度时弧度时， 扇形面积最大扇形面积最大，这个最大面积是这个最大面积是_解析：解析：设扇形圆心角为设扇形圆心角为，半径为，半径为 r，则，则2r|r4，|4r2.s扇形扇形12|r22rr2(r1)21，当当 r1 时，时，(s扇形扇形)max1，此时，此时|2.答案：答案：12112.已知圆已知圆 o 与直线与直

31、线 l 相切于点相切于点 a，点点 p，q 同时从同时从 a 点出发点出发，p 沿着直线沿着直线 l向右，向右，q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 q 运动到点运动到点 a 时，点时，点 p也停止运动，连接也停止运动，连接 oq，op(如图如图)，则阴影部分面积，则阴影部分面积 s1，s2的大小关系是的大小关系是_解析：解析：设运动速度为设运动速度为 m，运动时间为，运动时间为 t，圆，圆 o 的半径为的半径为 r，则则aqaptm，根据切线的性质知，根据切线的性质知 oaap，s1s扇形扇形aoqs扇形扇形aob12tmrs扇形扇形aob，14s2s

32、aops扇形扇形aob12tmrs扇形扇形aob，s1s2恒成立恒成立答案：答案：s1s213已知角已知角的终边过点的终边过点 p(4a,3a)(a0)(1)求求 sin cos 的值；的值；(2)试判断试判断 cos(sin )sin(cos )的符号的符号解：解：(1)因为角因为角的终边过点的终边过点 p(4a,3a)(a0)，所以所以 x4a，y3a，r5|a|，当当 a0 时，时，r5a，sin cos 354515.当当 a0 时，时，r5a，sin cos 354515.(2)当当 a0 时，时，sin 350，2 ，cos 452，0，则则 cos(sin )sin(cos )cos35sin45 0；当当 a0 时，时，sin 3