2017-2018学年高中数学第四章定积分章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2-2

1、第四章定积分一、定积分1. 定积分的概念：af(x)dx叫函数f(x)在区间a,b上的定积分.2. 定积分的几何意义：fb当f(x)0时，f(x)dx表示的是y=f(x)与直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯1a形的面积.3.定积分的性质:(1) /b1dx=b-a.，kf(x)dx=k f(x)dx.aa bI b，af(x) 士g(x)dx= .af(x)dxag(x)dx.af(x)dx=.af(x)dx+.cf(x)dx.定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易 求，且被积函数是熟知的图形.二、微积分基本定理1.如果连续函数f(x)是函数F(x)的导

2、函数，即f(x) =F(x)，则 Jf(x)dx=F(x) |S=F(b) -F(a).2.利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数.求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式.三、定积分的简单应用对应学生用P442定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为:3画出图形.确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标, 确定被积函数.写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式.计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积.（时间 90 分钟，满分 120 分）、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，

3、共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）B . e- 1D.e + 1答案:A.D.不确定k解析：/0(2x 3x2)dx= (x2x3)=k2k3= 0,0 k= 0(舍去)或k= 1,故选 B.答案：B定出积分上、下限.运用微积分基本定理对应阶段质量检测IL见 8 开试卷1 .已知 /f(x)dx=m则/bn f(x)dx=()C. mn解析：根据定积分的性质，答案：CB.m- nnD.m/bnf(x)dx=n/(x)dx=mn2./0(ex+ 2x)dx等于(A.C.解析:/0(ex+ 2x)dx= (e+x2)=(e1+ 1) e= e,故选 C.3./k(2x

4、 3x2)dx= 0,则k等于（C.44.(江西高考)若f(x) =x2+ 2f(x)dx， 匚f(x)dx=()A. 151c.3解析： f(x) =X2+ 20f(x)dx, 0f(x)dx= 3x3+2x0fxdx丄1+20f(x)dx.110f(x)dx 3.答案：B5.已知f(x)为偶函数且，f(x)dx= 8,则，gf(x)dx=(A. 0C. 86f(x)dx= 20f(x)dx= 16.答案：D6从如图所示的长方形区域内任取一个点Mx,y)，则点M取自阴影部分的概率为1B.1D51解析：根据题意得S阴影=/03x?dx=x= 1，则点M取自阴影部分的概率为01 13X1 =3.

5、答案：B7由y=x2与直线y= 2x- 3 围成的图形的面积是(32B.TD.16解析：Tf(x)为偶函数，.其图像关于y轴对称,S阴影S长方形5A316答案：Cv=gt,则落体运动从t= 0 到t=to所走的路程为（A. gt2gt2D 6解析：s=/tv(t)dt= 2gt2|t00=答案：C10.如图，两曲线y= 3x2与y=x22x 1 所围成的图形面积是（D.9- 2y= x,解析：解*得交点A3, 9),耳 1 , 1).y= 2x 3,则y= x2与直线y= 2x 3 围成的图形的面积S= /3(x2)dx /3(2x 3)dx1311/2 I132答案：B&由曲线y=

6、.x,x=4 和x轴所围成的平面图形绕( )A. 16nB.32nC. 8nD.4nx轴旋转生成的旋转体的体积为解析：由图知旋转体的体积为2.n2 Idx=x|2 I4o=8n9.已知自由落体运动的速率64冗7A. 6C. 12D.38y= 3 -x,解析：由*2y=x 2x 1,解得交点(1,2) , (2 , 1),所以S= /-1(3 x2) (X2 2x 1)dx=/1( 2x2+ 2x+ 4)dx=9.答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确的答案填在题中的横线上)11. 1Jn3 cosxdx=.0解析：3 cosxdx= sinx3= .J 0

7、20答案：212.设函数f(x) =ax2+c(a0),若 /if(x)dx=f(xo) , 0 xo 1,则xo的值为_3、解析:1a2o= -+c=axo+c,t2)dt=4 3t2t33=144(cm ).|x3+x2+ 4x3C. 12D.39答案：1441014.已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC其中A(0,0) , B* 5 ,C(1,0).函数y=xf(x)(0wx 1)的图像与x轴围成的图形的面积为 _ .110 x,0Wxw2，解析：由题意可得f(x)=10-10 x,2xw1,亠 2f2110 x,owxw2,所以y=xf(x)=2110 x10 x,-xw1.j2与

8、x轴围成的图形的面积为122(10 x 10 x)dx5答案：54三、解答题（本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分 12 分）求由曲线y=x2+ 2 与直线y= 3x,x= 0,x= 2 所围成的平面图 形的面积.r12r22解：S=, o（x+ 2 3x）dx+, i（3xx 2）dx1332113322=ix於 + 2x|0+ i + 歹2x11131313=一一+2+ -X8+_X44 一 + _232323252 5 5 2=一一 一+ = 一一一= 1.63 6 3 316.（本小题满分 12 分）如图，求由曲线y=x2,

9、4y=x2及直线y= 1 所围图形的面 积.103=5x12210 xdx+1+111-11ro1rl1-272 *-1解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的 2 倍.得C(1，- 1) 同理得D(2 , - 1).则所求图形的面积厂 一2厂II XS= 2o-42 2=2f o-dx f ?dx+ f2dx法二：同法一得C(1 , 1) ,D(2 , 1).则所求图形的面积为S= 2f-1(2p /)dyxt17.(本小题满分 12 分)已知函数f(x) = e 1,直线l1：x= 1,12：y= e 1(t为常数， 且 OWtW1),直线11,12与函数f(x)的图像围

10、成的封闭图形， 以及直线12,y轴与函数f(x) 的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示求当t变化时，阴影部分的面积的最小值.解：依题意知，阴影部分的面积S= fo(e1e+1)dx+ ft(e1e+1)dxi . t x1 . xt .=fo(ee )dx+ ft(ee )dx-| - 2dx+f2扌1x-x- 212412t1. tX、.xt .=(xe e )+ (e xe )0t=(21 -)e + e+1,令g(t) = (2t -)et+ e+1(0WtW1),13则g(t) = (2t 1)e(,1取g(t)= o,解得t=2/of(x)dx= /o(ax2+c)dx= ax3+

11、cx1xo=答案：刁313.有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后ts 末的流速为v(t)(t)0 ,g(t)是增函数.因此g(t)的最小值为g2 = e+ 1 2e1 = ( e 1)2,故阴影部分的面积的最小值为(e 1)2.131218.(本小题满分 14 分)已知函数f(x) = 3X+ 2ax+bx,f(x)是函数f(x)的导数.在32区间1,1内任取实数a,b,求方程f(x)= 0 有实数根的概率.2解：f(x) =x+ax+b.若方程f(x) = 0,即卩x2+ax+b= 0 有实数根，则0,即卩a24b,代aw1,因此方程f(x) = 0 有实数根的条件是 1wbw1,2a 4b,满足此不等式组的点Ra,b)形成的图形为图中阴影部分，其面积为S= /1仃1(234 +1如 121而坐标满足