初三数学相似三角形典型例题(含答案)

1、初三数学相似三角形一相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1.理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或 两线段的比，了解黄金分割。2.会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成比。3.能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值

2、的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。二重要知识点介绍:2.比例性质:合比性质:3.平行线分线段成比例定理:1. 比例线段的有关概念：ac宀a:b - c:d 中,b d在比例式a、d叫外项，b、c叫内项a、c叫前项,b、d 叫后项，d 叫第四比例项，把线段 AB 分成两条线段 段 AB 的黄金分割点。如果AC 和b=c,BC,使那么 b 叫做 a、d 的比例中项。AG=ABBC，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线根本性质:adbc等比性质:m(b dn丸)定理：三条平行线截两条直线， 所得的对应线

3、段成比例，如图:l1/I2H l3。那么ABBCDEEF，ABAC11例。3定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边。4.相似三角形的判定：1两角对应相等，两个三角形相似2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似3三边对应成比例，两三角形相似4如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例，那么这两个直角形相似5平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性质1相似三角形的对应角相

4、等2相似三角形的对应边成比例3相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比4相似三角形周长的比等于相似比5相似三角形面积的比等于相似比的平方2推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截【典型例题】例 1.(1)在比例尺是 1 : 8000000 的?中国行政区?地图上，量得是 7.5 厘米，那么 A、B 两城市的实际距离是 _千米。(2)小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m,此刻测得某建筑物的影长是18 米，那么此建筑物的高是 _ 米。解：这是两道与比

5、例有关的题目，都比较简单。 (1)应填600(2)应填 14.4。例 2.如图，DE/ BC, EF/ AB,那么以下比例式错误的选项是ADAECEEAA. AB-ACB.-CFFBDEADEFCFC. BCBDD. :AB CB分析：由DE/BC,EF/AB可知，A、BA、B 两城市的距离、D都正确。而不能得到DE _ ADBC=_BD线，C中DE很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比BC二 /又v /PDC=/1 +/APD=/1+60二 / PDC=/ APBPD3AAPBPC AB二 AB=1+x=3 。二 ABC 的边长为+例 4.如图：四边形求证：AEF CEA(

6、2)分析：故要证明AEFCEA -只需证明两个三角形中，夹 / AEF、 证明：(1)v四边形 ABEGGEFH二 AB=BE=EF=FC= , / ABE=90Jfi共X例这一性质来写结论，即DEAD AEBCAB AC例 3.如图，BP 1,CD在等边ABC 中，P 为 BC 上一点， D 为 AC 上一点，且 / APD=60 ,上，求ABC的边长-3?解:ABC 是等边三角形CDPB设 PC=x , 贝 UAB=BC=1+x2C= / B=60ABEG GEFH HFCD 都是边长为a 的正方形，求证：/ AFB+ / ACB=45 因为 AEF、 CEA 有公:/ CEA 的两边对应

7、成比例即可。HFCD 是正方形 AE 2a, EC 2a二 CEA s AEF(2) vAEF sCEA /AFE=/EACv四边形 ABEG 是正方形 AD/ BC, AG=G E AG 丄 GE /ACB=ZCAD,/EAG=45 /AFB+ZACB=ZEAC+ZCAD=ZEAG ZAFB+ZACB=45 AEEF 2a2aAEEFECAE例 5.：如图，梯形 ABCD 中, AD / BC, AC、BD 交于点 交 AB于 E,交 CD 于 FO, EF 经过点 O 且和两底平行，B证明-AD / EF / BCOEAEOEEB BC二AB，AD_二AB OEOEAEEBAB1-BC A

8、D皿 AB _ AB_111 BC弋-OE同理：111BCAD_ OF11 OEOF OE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：AD/EF/1 11BCAD BCOEAD/EF/BC二- +-OE OF1EF求证:OE=OF2AD/EF/即1二 ABD ADEAB ADA DAEAD=AE AB-同理： ACDD可得:2AD=AFACAEAB=AFAC例 7.如图，D ABC 中 BC 边上的一点，/ CAD=/ B,假设 AD=6, AB=8, BD=7,求 DC 的长。分析：此题的图形是证明比例中项时经常使用的公边共角的根本图形，我们可以由根本图形中得到的相似三角形，从而

9、得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。g _ 亡解：在厶 ADC 和厶 BAC 中 rv /CAD=/ B, /C=/C二AD3ABAC换，通过ABDADE，可得：ABAD2，于是得到AD2AEAD_JAE可得到AD2AF AC，故可得：口仃AEAE AB AF AC，即AC二-AE_AB证明:在 ABD 和ADE 中，/ ADB=/ AED=90/BAD=ZDAEAB，同理AF AB分析：观察 AE、AF、AC、AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因 此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代这是梯形中的一个性质，由此

10、可知，在可以求出第三条线段的长度。AD、BC、EF 中，任何两条线段的长度，都ACAB例 6.：如图， ABC 中，AD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 FAD DC AC AB AC RC又VAD=6 , AD=8 ,DCACDCAC7 DC+3BD=734例 8.AC _ 4AC 3I7 DC 4如图，在矩形ABCD 中，解得：DC=9E 是 CD 的中点，BE 丄 AC 于 F，过 F 作 FG/ AB 交 AE 于 G,又VE 是 CD 的中点， Rt ADE Rt BCEDE=CE AE=BEVFG/AB AE AG BEBF AG=BF在 Rt A

11、BC 中，BF 丄 AC 于 F Rt BFC 旦 Rt AFB AF FB BFFC BF =AF FC2 AG=AF FC例 9.如图， 用梯形 ABCD中， AD/ BC,假设/ BCD的平分线 边形 AHCD的面积为 21，求 HBC 的面积。CH! AB 于点 H, BH=3AH,且四2求证：AG=AF FC证明：在矩形 ABCD 中,/ ADC=/ BCE=90分析：因为问题涉及四边形AHCD 所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长 BA、CD 交于点 PvCHXAB, CD 平分 / BCD二 CB=CP 且 BH=PHvBH=3AH PA: A

12、B=1 : 2 PA: PB=1 : 3vAD/BCPADPBCABC 的面积之比为:SPAD:SPBC- 1 : 9vSPCHSPAD1SPBC2S四边形AHCD2:7S四边形AHCD21SPAD54SHBCPBC27、填空题1.2.是_3.a2arb假设三角形三边之比为cm-如图，ABC 中，2bD、3: 5 : 7，与它相似的三角形的最长边是E 分别是 AB、AC 的中点， BC=6,那么DE=21cm，那么其余两边之和; ADE 与4.5.AE=6.线段 a=4cm,在厶 ABC 中，点b=9cm，那么线段D、E 分别在边a、，b 的比例中项AB、AC 上，DE/ BC,如果 AD=8

13、, DB=6,cm。EC=9，那么三个数1,2 ,3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，那么这个数是7. 如图，在梯形EF=ABCD 中，AD/ BC, EF / BC,假设 AD=12cm, BC=18cm, AE: EB=2: 3,那么8. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/ BC, / A=90, BD 丄 CD, AD=6, BC=10,那么梯形的面积为:1.如果两个相似三角形对应边的比是A. 9: 162. 在比例尺为的实际面积是 _410 mA.ab3. ，如图,AEEC、选择题3:4,B.3: 2 C. 31 : m 的某市地图上，规划出长米 14210 mB.abC.那么它

14、们的对应高的比是a 厘米，abm104DE/ BC, EF / AB,贝 U 以下结论:BC其中正确的比例式的个数是BEADABAFCBFr(BCCEEF DEkAABF人人C. 2 个D. 1 个A. 4 个 B. 34.如图，在ABC 中，AB=24,D E 三点为顶点组成的三角形与D. 3 : 7宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区2abmD.410AC=18，是 AC 上一点， AD=12，在 AB 上取一点 E，使 A、ABC 相似，那么 AE 的长是A.AEDsAACBC.BAEsAACE1B. ./AEBSACDD.AECsADAC _三、解答题：1. 如图， AD/ EG/ BC

15、, AD=6, BC=9, AE: AB=2: 3，求 GF的长。 ABC 中，D 是 AB 上一点，且一 B=3AD, / B=75 , / CDB=60 ,/7/FA. 16B. 145.如图，在 Rt ABC 中，/ BAC=90那么以下结论正确的选项是C. 16 或 14,D 是 BC 的中点，D. 16 或 9AE 丄 AD,交 CB 的延长线于点E,求证:如图，求证:ABCSACBDBEABC 的外接圆AC BC=BE CDO 的直径，CD ABC 的高，f亠如图，4 如图，Rt ABC 中，/ ACB=90 , AD 平分/ CAB 交 BC 于点 D,过点 C 作 CE 丄 A

16、D 于E, CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EG/ BC 交 AB 于点 G , AE AD=16, AB _4 5,vBC=9,AD=6 EG=6,EF=2 GF=EG- EF=42 解：过点 B 作 BE 丄 CD 于点 E,v /CDB=60, /CBD=75(1)求证：CE=EF(2)求 EG 的长一、填空题：1. 19: 132. 24参考答案3. 3 ； 1 : 44. 66.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如:5. 122 2、7. 14.4 8.16 6二、 选择题：1. C 2. D 3. C三、解答题：1 解:vAD/EG/ BCEG AE二在厶 ABC 中，有BC AB7EF BE在厶 ABD 中， 有AD ABvAE：AB=2:3 BE: AB=1 : 34. D 5. CEG2 12BC,EF AD二 / DBE=30 ,/CBE=ZCBD-/DBE=75-30=45CBE 是等腰直角三角形。vAB=3AD,设 AD=k,那么AB=3k,BD=2kDE=k,BE -3k二BC6k二V二BD2k2BC _ 6k _3 j-lVBC6k2AB1fI3k _3BDBCBCABABC CBD3连结 EC,vBC BC二 / E= / A又vBE 是OO 的直径 /BCE=90又vCD 丄 AB /