第五章第5讲数列的综合应用

1、 第 5 讲 数列的综合应用 考点一_等差数列与等比数列的综合问题_ (2014 高考北京卷)已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列 (1)求数列an和bn的通项公式； (2)求数列bn的前 n 项和 解 (1)设等差数列an的公差为 d，由题意得 da4a1312333， 所以 ana1(n1)d3n(n1，2，) 设等比数列bnan的公比为 q，由题意得 q3b4a4b1a12012438，解得 q2. 所以 bnan(b1a1)qn12n1. 从而 bn3n2n1(n1，2，) (2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，) 数列3

2、n的前 n 项和为32n(n1)，数列2n1的前 n 项和为12n122n1. 所以，数列bn的前 n 项和为32n(n1)2n1. 规律方法 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列， 部分项成等比数列， 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解 1.(2013 高考课标全国卷)已知等差数列an的公差不为零， a125 ，且 a1，a11，a13成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)求 a1a4a7a3n2. 解：(1)设an的公差为

3、d，由题意得 a211a1a13， 即(a110d)2a1(a112d) 于是 d(2a125d)0. 又 a125，所以 d0(舍去)，d2. 故 an2n27. (2)令 Sna1a4a7a3n2. 由(1)知 a3n26n31， 故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列 从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n. 考点二_数列的实际应用问题_ 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)

4、求第 n 年初 M 的价值 an的表达式； (2)设 Sn表示数列an的前 n 项和，求 Sn(n7) 解 (1)当 n6 时，数列an是首项为 120，公差为10 的等差数列，an12010(n1)13010n； 当 n6 时，数列an是以 a6为首项，34为公比的等比数列 又 a670，所以 an7034n6. 因此，第 n 年初，M 的价值 an的表达式为 an13010n，n6，7034n6，n7. (2)由等差及等比数列的求和公式得 当 n7 时，由于 S6570， 故 SnS6(a7a8an) 57070344134n6 78021034n6. 规律方法 解答数列实际应用问题的步骤

5、： (1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型基本特征见下表： 数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推数列 指数增长的同时又均匀减少如年收入增长率为20%， 每年年底要拿出 a(常数)作为下年度的开销，即数列an满足 an11.2ana (2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确； (3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点 2.

6、现有流量均为 300 m3s 的两条河 A，B 汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为 2 kgm3和 0.2 kgm3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中， 其混合效果相当于两股水流在 1 s 内交换 100 m3的水量，即从 A 股流入 B 股 100 m3水，经混合后，又从 B 股流入 A 股 100 m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 0.01 kgm3(不考虑沙沉淀) 解：设第 n 个观测点处 A 股水流含沙量为 an kgm3，B 股水流含沙量为 bn kgm3，则 a12，b10.2， bn1400(300bn

7、1100an1)14(3bn1an1)， an1400(300an1100bn1)14(3an1bn1)， anbn12(an1bn1)， anbn是以(a1b1)为首项，12为公比的等比数列 anbn9512n1. 解不等式9512n1180， n9. 因此，从第 9 个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于 0.01 kgm3. 考点三_数列与不等式的综合问题(高频考点)_ 数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大 高考对数列与不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度： (1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题 等比数列a

8、n满足 an1an9 2n1，nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)设数列an的前 n 项和为 Sn，若不等式 Snkan2 对一切 nN*恒成立，求实数 k 的取值范围 解 (1)设等比数列an的公比为 q， an1an9 2n1，nN*， a2a19，a3a218， qa3a2a2a11892. 2a1a19，a13. an3 2n1，nN*. (2)由(1)知 Sna1（1qn）1q3（12n）123(2n1)， 3(2n1)k 3 2n12， k2132n1对一切 nN*恒成立 令 f(n)2132n1，则 f(n)随 n 的增大而增大， f(n)minf(1)21353，k5

9、3. 实数 k 的取值范围为，53. 规律方法 数列与不等式的综合问题的解题策略 (1)数列与不等式的恒成立问题此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题； (2)与数列有关的不等式证明问题解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等 3.(1)(2015 陕西商洛模拟)已知函数 f(x)满足 f(xy)f(x) f(y)且 f(1)12. 当 nN*时，求 f(n)的表达式； 设 ann f(n)，nN*，求证：a1a2a3an2； (2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn22n1 an(nN*) 求证：数列ann是等比数列； 设数列2nan

10、的前 n 项和为 Tn，An1T11T21T31Tn，试比较 An与2nan的大小 解：(1)令 xn，y1， 得 f(n1)f(n) f(1)12f(n)， f(n)是首项为12，公比为12的等比数列， f(n)12n. 证明：设 Tn为an的前 n 项和， ann f(n)n12n， Tn1221223123n12n， 12Tn12221233124(n1)12nn12n1， 两式相减得12Tn1212212nn12n1， Tn212n1n12n2. (2)证明：由 a1S123a1，得 a112， 当 n2 时，由 anSnSn1，得ann12an1n1， 所以ann是首项和公比均为12

11、的等比数列 由得ann12n， 于是 2nann，所以 Tn123nn（n1）2，则1Tn21n1n1，于是 An211n12nn1， 而2nan2n1n2，所以问题转化为比较2nn2与nn1的大小 设 f(n)2nn2，g(n)nn1， 当 n4 时，f(n)f(4)1，而 g(n)g(n) 经验证当 n1，2，3 时，仍有 f(n)g(n) 因此对任意的正整数 n，都有 f(n)g(n)即 An2nan. 交汇创新数列与函数的交汇 (2014 高考四川卷)设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图象上(nN*) (1)若 a12，点(a8，4b7)在函数 f(x)

12、的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn； (2)若 a11， 函数 f(x)的图象在点(a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为 21ln 2， 求数列anbn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由已知，b72a7，b82a84b7， 有 2a842a72a72. 解得 da8a72. 所以 Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n. (2)函数 f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)， 它在 x 轴上的截距为 a21ln 2. 由题意知，a21ln 221ln 2，解得 a22. 所以 da2a11，从而 ann，bn2n. 所以 Tn122

13、22323n12n1n2n， 2Tn1122322n2n1. 因此，2TnTn11212212n1n2n 212n1n2n2n1n22n. 所以 Tn2n1n22n. 名师点评 数列与函数的交汇创新主要有以下两类：(1)如本例，已知函数关系转化为数列问题，再利用数列的有关知识求解；(2)已知数列，在求解中利用函数的性质、思想方法解答 提醒 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，同时要注意 n 的范围 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11 且 3an12Sn3(n 为正整数) (1

14、)求an的通项公式； (2)若nN*，32kSn恒成立，求实数 k 的最大值 解：(1)当 n1 时，a11，3an12Sn3a213； 当 n2 时，3an12Sn33an2Sn13，得 3(an1an)2(SnSn1)0，因此 3an1an0，即an1an13， 因为a2a113， 所以数列an是首项 a11，公比 q13的等比数列， 所以 an13n1. (2)因为nN*，32kSn恒成立， Sn32113n， 即32k32113n， 所以 k113n. 令 f(n)113n，nN*，所以 f(n)单调递增，k 只需小于等于 f(n)的最小值即可，当 n1 时，f(n)取得最小值，所以

15、kf(1)11323，实数 k 的最大值为23. 1(2015 山西省四校联考)设等差数列an和等比数列bn首项都是 1，公差与公比都是2，则 ab1ab2ab3ab4ab5( ) A54 B56 C58 D57 解析：选 D.由题意，an12(n1)2n1，bn12n12n1，ab1ab5a1a2a4a8a16137153157. 2已知数列an满足：a1m(m 为正整数)，an1an2，当an为偶数时，3an1，当an为奇数时.若 a61，则 m 所有可能的取值为( ) A4，5 B4，32 C4，5，32 D5，32 解析：选 C.an1an2，当an为偶数时，3an1，当an为奇数时，

16、注意递推的条件是 an(而不是 n)为偶数或奇数由 a61 一直往前面推导可得 a14 或 5 或 32. 3(2014 高考辽宁卷)设等差数列an的公差为 d.若数列2a1an为递减数列，则( ) Ad0 Ca1d0 解析： 选C.设 bn2a1an， 则bn12a1an1， 由于2a1an是递减数列， 则bnbn1， 即2a1an2a1an1.y2x是单调增函数，a1ana1an1， a1ana1(and)0，a1(anand)0，即 a1(d)0，a1d0. 4在数列an中，若 a12，an1ann 2n，则 an( ) A(n2) 2n B112n C.23114n D.23112n

17、解析：选 A.因为 an1ann 2n，所以 an1ann 2n，所以 ana1(anan1)(an1an2)(a2a1)(n1)2n1(n2)2n2222121(n2) 设 Tn(n1)2n1(n2)2n2222121(n2)，则 2Tn(n1)2n(n2)2n1(n3)2n2223122，两式相减得 Tn(n2) 2n2(n2)，所以 an(n2) 2n2a1(n2) 2n(n2)又 n1 时，上式成立，所以选 A. 5(2015 湖南澧县一中等三校联考)在等比数列an中，0a1a41，则能使不等式a11a1a21a2an1an0 成立的最大正整数 n 是( ) A5 B6 C7 D8 解

18、析：选 C.设等比数列an的公比为 q，则1an为等比数列，其公比为1q，因为 0a11 且 a11q3.又因为a11a1a21a2an1an0，所以 a1a2an1a11a21an，即 a1（1qn）1q1a111qn11q，把 a11q3代入，整理得 qnq7，因为 q1，所以 n7，故选C. 6(2013 高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_ 解析：每天植树的棵数构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，其前 n 项和 Sna1（1qn）1q2（12n）122n12.由 2n121

19、00，得 2n1102.由于 2664，27128.则 n17，即 n6. 答案：6 7 在等比数列an中， 若 an0， 且 a1 a2 a7 a816， 则 a4a5的最小值为_ 解析：由等比数列性质得，a1a2a7a8(a4a5)416，又 an0，a4a52.再由基本不等式，得 a4a52 a4a52 2.a4a5的最小值为 2 2. 答案：2 2 8设 Sn是数列an的前 n 项和，若S2nSn(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列” 若数列2bn是首项为 2， 公比为 4 的等比数列， 则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列” 解析：数列2bn是首项为 2，公比为

20、 4 的等比数列，所以 2bn2 4n122n1，bn2n1.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnn2，T2n4n2，所以T2nTn4，因此数列bn是“和等比数列” 答案：是 9在等比数列an(nN*)中，a11，公比 q0，设 bnlog2an，且 b1b3b56，b1b3b50. (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求bn的前 n 项和 Sn及an的通项公式 an. 解：(1)证明：bnlog2an， bn1bnlog2an1anlog2q 为常数， 数列bn为等差数列且公差 dlog2q. (2)设数列bn的公差为 d，b1b3b56，b32. a11，b1log2a10. b

21、1b3b50，b50. b12d2，b14d0，解得b14，d1. Sn4nn（n1）2(1)9nn22. log2q1，log2a14，q12，a116. an25n(nN*) 10(2014 高考浙江卷)已知数列an和bn满足 a1a2a3an( 2)bn(nN*)若an为等比数列，且 a12，b36b2. (1)求 an与 bn； (2)设 cn1an1bn(nN*)记数列cn的前 n 项和为 Sn. 求 Sn； 求正整数 k，使得对任意 nN*，均有 SkSn. 解：(1)由题意知 a1a2a3an( 2)bn，b3b26， 知 a3( 2)b3b28. 又由 a12，得公比 q2(q2 舍去)， 所以数列an的通项公式为 an2n(nN*)， 所以，a1a2a3an2n（n1）2( 2)n(n1) 故数列bn的通项公式为 bnn(n1)(nN*) (2)由(1)知 cn1an1bn12n1n1n1(