(完整版)数列通项公式的求法

1、数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对 数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法形如anan 1f(n)(n=2、3、4)且ff(2) . f(n 1)可求，则用累加法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。解：na2a11n 1anan 12足该式二、累乘法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例 3 .在数列an中，a1=1,an 1例 1. 在数列an中，a1=1,anan 1n 1(n=2、3、4)，求an的通项公式。a3a2a4a3n-1个等式累加得：ana1.(n-1)

2、=叫anan 1na1-且a11也满足该式an(nN).例 2.在数列an中，a1=1,a* 1(n N),求an。解: n=1 时,印=12时,a2a3a2a4a322223以上 n-1 个等式累加得ana12 222n1=21=21 22，故an22a12n1且a11也满(n N)。形如卫f (n)an 1(n=2、3、4)，且f(1) f(2)f(n1)可求，则用累乘法nan,求an。a解：由已知得 亠n，分别取 n=1、2、3（n-1）,代入该式得ann-1 个等式累乘，即a2a3a4a1a?a3出=1X2x3X-X(n-1)=( n-1)! 所以时,an 1引(na11)!故an(n

3、 1)!且ai0!=1 也适用该式an(n1)!(n N).2例 4 已知数列an满足a1=,an 1 an，求an。n 1解：由已知得旦,ann 1分别令n=1, 2, 3,.(n-1),代入上式得 n-1 个等式累乘，即an1所以一，又因为厲印n三、构造等比数列法原数列an既不等差，也不等比。若把 an列，使之等比，从而求出an。an 1=bancn其中 b、c 为不相等的常数,an ._ 12 3n 1an 123 4n所以an2。3nJ中每-一项添上一个数或一个式子构成新数形如an 1 :=banc或an 1=banf nn为次式。 )或2、 、 也满足该式，3a?a3a4a1a2a3

4、例 5、（06 福建理 22 ）已知数列an满足a1=1,an 1=2an1(n N），求数列an的通项公式。解：构造新数列anp，其中 p 为常数，使之成为公比是an的系数 2 的等比数列即an 1p=2(anp)整理得：an 1=2anp使之满足an1=2an1 p=1即an1是首项为a11=2, q=2 的等比数列an1=2 2n 1an=2n1例 6、（ 07 全国 理 21）设数列an的首项a1(0,1),an3 an1,n=2、3、4（）求an的通项公式。解：构造新数列anp，使之成为q1即anp=2(an 1p)整理得：an1-的等比数列2132 an 1- P满足an3 an

5、1233p=2例 7、(07 全国 理 22)已知数列an中，a1=2,an1=(.2()求an的通项公式。解：构造新数列anp，使之成为q . 21的等比数列an 1P=(、2 1) (anp)整理得：an 1=G. 2 1)an+ (、2 2)p使之满足已知条件an1= c、2 1) an+2G-2 1) G.2 2)p 2.2 1)解得P . 2 an.2是首项为2 .2 q、2 1的等比数列，由此得an.2= (2.2) ( J 1)n 1 an=、2(、2 1)n.2例 8、已知数列an中，a1=1,an1=2an3n，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n

6、是变量，而不是常量了。故应构造新数列an3n，其中 为常数，使之为公比是an的系数 2 的等比数列。解：构造数列an3n, 为不为 0 的常数，使之成为 q=2 的等比数列即an 13n1=2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1)满足an1=2an3n得23n3n13n1新数列3n是首项为a13=2, q=2 的等比数列 an3=2 2“1an=3 2n例 9、( 07 天津文 20)在数列an中，a1=2,an 1=4an解:构造新数列ann，使之成为 q=4 的等比数列，则an 1(n 1)=4(ann)整理得：an 1=4an3 n满足an 1=4an3n 1，即3 n3n

7、1得1新数列ann的首项为a111, q=4 的等比数列n 1n 1ann 4an4 n四、构造等差数列法n 1数列an既不等差，也不等比，递推关系式形如an 1banb f (n),那么把两边 p=-1 即新数列an1首项为ai1,q等比数列印0()n1故an=(a11)2)3n 1，求数列的通项an。同除以bn 1后，想法构造一个等差数列，从而间接求出an。例10. (07 石家庄一模)数列an满足an2an 121 (n 2)且a481。求(1)印、a2、a3(2)是否存在一个实数，使此数列笃为等差数列？若存在求出的值及an；若不存在，说明理由。解：(1)由a4=2a321=81 得a3

8、=33 ；又Ta3=2a222又Ta2=2a121=13 ,.a1=5(2)假设存在一个实数，使此数列2_为等差数列项公式。1=33 得a?=13 ；an 1_an2an 12* 1=2*2n12n12n该数为常数1即旦异为首项即2，d=1的等差数列an1亍=2+51) 1=n+1 an=(n 1) 2n1例 11、数列an满足an 1=2ann 1(2)(n N),首项为a12，求数列an的通解：an 1=2an(2)n1两边同除以(2)n1得芳=冷+1数列占是首项为 dr，d=1的等差数列舌=1+(n 1) 1 n故an=n( 2)n例 12数列an中，a1=5，且an3an 131(n=

9、2、3、 4)，试求数列an的通项公式。解：构造一个新数列备为常数，使之成为等差数列,即3nan 1亍d整理得an3an 13nd+3，让该式满足an3an 13n1取d 3n3n,an故12 3n1， d=12(n 1) 11，即亍是首项为亍a12，公差d=1的等差数列。11n1n- - an=(n )322 21两边同除以anan 1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出例 13、（07 天津理 21）在数列an中，a1=2,且an 1an(2 )2其中 0,（）求数列an的通项公式。解:n 1的底数与an的系数相同，则两边除以n 1得an 1得2* 1n 12nn五、列。an12

10、n1an2nn 1na仁.-n2nn公差 d=1 的等差数取倒数法0 (n1) n an(n 1)n2n。有些关于通项的递推关系式变形后含有anan1项，直接求相邻两项的关系很困难,例 14、已知数列an,a1=1,a* 1ann1 anN，求an=?解：把原式变形得an 1an 1anan两边同anan 1得anan 1 4 是首项为1, d=1的等差数列故anan(n 1)( 1)3例 15、（ 06 江西理 22）已知数列an满足a12且an3nan 12an 1n 1求数列an的通项公式。解：把原式变形成2anan 1(n 1总3n a. 1两边同除以anan 1得即an构造新数列an

11、， 使其成为公比1q=的等比数列3即an3(3 an 1）整理得:an-满足式使3an 1331数n11是首项为1ana11丄的等比数列列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1)an 1)11移项得：an 12(an)an 1an38q=2 的等比数列。31n 12n 2an(2、29) o3有些数列给出an的前 n 项和Sn与an的关系式Sn=f(an),利用该式写出Sn 1f (an 1)，两式做差，再利用an 1Sn 1Sn导出an 1与an的递推式，从而求出ano例 17.(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为Sn满足S1 1 且 6Sn=(an1)(

12、an2)nN求an的通项公式。1a1S1= 11)12)解得a1=1 或a1=2,由已知a1S1 1,因此a1=2 又由611Sn 1Sn=何11)12)1) 2)得66an)(an 1an3)=0-an0- -an 1an3从而an是首项为 2,公差为 3 的等差数列，故an的通项为an=2+3(n-1)=3n-1.1例 18.(07 陕西理 22)已知各项全不为 0 的数列ak的前 k 项和为Sk，且Sk= akak1(k N)2其中印=1，求数列ak的通项公式。an1(1)3 3(3)n ann 3n例16. (06江西文22)已知各项均为正数的数列n N求数列an的通项公式。a.满足：

13、ai3，且空口 幻anan 12anan 1解：把原式变形为2an 1ananan 1(2an两边同除以anan1得212anan 1anan 1所以新数列 丄an是首项为11a1ana13故an12n2解关于an的方程得an3解：由an 1(an 1六利用公式anSnSn 1(n 2)求通项1解：当 k=1 时，a1S1=a1a2及a1=1 得a2=2 ；当 k2 时，2列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1), 11/由ak=SkSk1= akak 1ak1ak得ak(ak1ak 1)=2ak从而a2m 1=1+(m-1)2=2m-1a2m=2+(m-1)2=2m ( mN)例 1

14、9.（07 福建文 21）数列an的前 n 项和为Sn,a1=1,an 1项公式。an的通项公式。故ak=k (k N).2Sn( nN),解：由a1=l,a22S1=2，当 n 2 时an=Sn盼弓时2an）得一口 =3，因此an是an首项为a2=2,q=3 的等比数列。故an=2 3n 2（n 2）,而a1=1 不满足该式1所以an=2(n=1)3n 2(n 2)例 20.（06 全国i理422）该数列an的前 n 项和Sna.2* 1(n=1、2、3)求41解：由Sn3 an3(n=1、2、3)得ai5=茁所以a1=2 再Sn1=an 1将和相减得:an=Sn122“(n=2、3)33S

15、n 1=4(anan 1)g (2332n)整理得an2n4(an 1n 12)2是首项为ai24,q=4的等比数列。即an2n=4 4n 1=4n，因而an4n2n。七重新构造新方程组求通项法有时数列 anan与bn必须得重新构造关于an和bn的方程组，然后解新方程组求得an和bn。an例 21. （07 辽宁第 21 题）：已知数列an, bn满足a1=2, D=1 且bn3an 141匚an 141bn 114_3bn 114（n2），求数列an, bn的通项公式。解析：两式相bi3, d=2 的等差数列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1)解：构造新数列anbn，则(anbn)

16、(an 1bn 1)2新数列anbn是首项为玄1数列anbn=3 2(n 1)=2n 11当2=1时，新数列anbn是首项为a b1=1, q= 的等比数列21 1 1而两式相减得anbn=an 1 1=(an 11bn=(2)的等比数列，故anan联立(1)、得anbn2n 1b，(釘由此得an分析该题条件新颖bn 1)则anbn是首项为印 0=1 ,q=gn i (J，bnn g 中。,给出的数据比较特殊， 两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出an 、bn的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。an例 22.在数列an、bn中

17、a1=2,b1=1，且bn12an6bn(n N1an7bn)求数列an和bn的通项公式。解析：显然再把an 1与bn 1做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列anbn其中为an 1bn 1=2an6bn(an7bn)=(2) an+(76)bn=(2)(anbn)令76- 2-得1=2 或2=3 则 anbn为首项a1的等比数即1=2 时，an2bn是首项为 4,q=4 的等比数列，故ann 1 n2bn=4x4=4;2=3 时，an3bn是首项为 5,q=5 的等比数列，故ann 1 n3bn=5x5=5联立二式n n解得an3nan3bn54n2 5n,bn54n。注：该法也可适用于例21,下面给出例21 的该种解法anbn=(3 1)an1+(丄4443gw)=蔦anbn 1(11 3令得1=1 或2=1即31=1 时，新数列anbn中,anbn=an 1bn 1d=2 的等差(1)n 1二anbn=联立(1)、(2)anbn2nanbn得ann，tn例 23.在