(完整word版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案,推荐文档

1、一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道， 学习了一元二次方程的解法以后， 就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用 问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要 能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可 以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方 程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明 .一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售

2、额下降了 20% ，商厦从十一月份起加强管理， 改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率 .解 设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得 200(1 20%)(1+x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得xi= 0.1 ,X2= 2.1 (舍去).答 这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题, 对于正的增长率问题, 在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义, 即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mvn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1x)2=n即可求解，其中mn.二

3、、商品定价例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出( 350 1 0a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20% ,商店计划要盈利 400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a 21)(350 10a) = 400，整理，得a2 56a+775 = 0,解这个方程，得a1= 25 ,a2= 31.因为 21 *1+20%) = 25.2，所以a2=31 不合题意，舍去.所以 350 10a= 350 10 X25 = 100 (件).答 需要进货 100 件,每件商品应定价 25 元.说明 商品的定价问题

4、是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点三、 储蓄问题例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得1000(1+x) 500(1+0.9x)= 530.整理，得 90 x2+ 145x-3 = 0.解这个方程，得xi 0.0204 = 2.04% ,X2 1.63.由于存款利率不能为负数，所

5、以将X2 1.63 舍去. 答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、 趣味问题例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+x+1.4+0.1)x=1.8，整理，得x2+0.8x 1.8 = 0.解这个方程，得X

6、1= 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1= 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、 古诗问题例 5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x- 3.则根据题意，得x2= 10(x 3)+x，即 x2-iix+30 = 0,解这个方程，得x= 5 或x= 6

7、.当x= 5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x= 6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为 36 岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味六、 象棋比赛例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实， 有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加 .解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比

8、赛一局，共计n(n 1)局，但两个选手1的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为丄n(n 1)局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为n(n 1)分.显然(n 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字 只能是 0,2 , 6，故总分不可能是 1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是 1980，于是由n(n 1) = 1980 , 得n2n 1980 =0,解得门1= 45 ,n2= 44 (舍去).答参加比赛的选手共有 45 人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解七、 情景对话例 7 春秋

9、旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游 .因为 1000 疋 5 = 25000V27000，所以员工人数一定超过 25 人.则根据题意，得1000 20(x 25)x= 27000.整理，得x2 75X+1350 = 0,解这个方程，得xi= 45 ,X2= 30.当x= 45 时，1000 20(x 25) = 600V700，故舍去xi；当X2= 30 时，1000 20(x 25) = 9

10、00 700，符合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二(精确到 0.1m )(1 )设计方案 1 (如图 2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路(2)设计方案 2 (如图 3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.2解 都能.(1 )设小路宽为x，则 18X

11、+16xx2= X18 X15，即x2 34X+180 = 0 ,解这个方程，得x=，即x 6.6.例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例 9 如图 4 所示，在厶ABC中，/ C = 90?/SPAN ,AC= 6cm ,BC= 8cm ,点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s 的速度移动(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中

12、，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由，所以 AB =汙卜腋匸=用 I 尸=10( cm )(1 )设xs 后，可使PCQ的面积为 8cm2,所以AP=xcm ,PC= (6 x)cm ,CQ= 2xcm.则根据题意，得(6 x) 2x= 8.整理，得x2 6x+8 = 0,解这个方程，得X1= 2 ,X2= 4.所以P、Q同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ的面积为 8cm2.(2)设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.1 1 1则根据题意，得2(6 x) 2x=2X?X6X8.整理，得x2 6x+12 = 0.由

13、于此方程没有实数根，所以不存在使厶PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度 x 时间十、梯子问题(1)若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米?(2)设扇形半因为/C= 90?/SPANQ(2)若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？(3) 如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米?解 依题意，梯子的顶端距墙角=8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)2= 102，整理，得x2

14、+12X 15 = 0 ,解这个方程，得X1疋1.14,X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+1)2= 100.整理，得x2 16x+13 = 0.解这个方程，得X1 0.86 ,X2 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约 0.86m.(3) 设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)2+(6+x)2= 102，整理，得 2x2 4x= 0 ,解这个方程，得X1= 0 (舍去)，X2

15、= 2.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形 十一、航海问题例 11 如图 5 所示，我海军基地位于A处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向 200 海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小 岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时 从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰(1) 小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E

16、处，那么相遇时补给 船航行了多少海里？(精确到 0.1 海里)丄解(1)F位于D的正南方向，则DF丄BC因为AB丄BC,D为AC的中点，所以DF=2 AB= 100 海 里，所以，小岛D与小岛F相距 100 海里(2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE= 2x海里，EF=AB+BC (AB+BE)CF= (300 2x)海里在 Rt DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 1002+(300 2x)2，整理，得 3x2 1200 x+100000 = 0.lOOV100/6解这个方程，得X1= 200 疋118.4 ,X2= 200+孑(不合题意，舍去)所以，相遇时补给船大

17、约航行了118.4 海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例 12 如图 6 所示，正方形ABCD的边长为 12，划分成 12 X12 个小正方形格，将边长为n(n为整数， 且 2 n 0，方程有两个实数根，若b2 4ac 0,方程没有实数根，本题中的b2 4ac= 16v0 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14 如图 7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC= 5 ,AD= 4 ,BC= 10.点下底边BC上，点F在腰AB上.(1 )若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设B

18、E长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 1 : 2 的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由图7解(1 )由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12-工则可得，FG= 行X4,224所以SABEF=BEFG= x2+ 号x(7 x 10 ).224(2)存在由(1 )得x2+庁x= 14，解这个方程，得X1= 7 ,X2= 5 (不合题意，舍去)=12，整理，得y2 20y+104 = 0,移项并配方，得(y 10)2= 4V0,所以此方程无解，即+所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在假设存在，显然有SABEF:S多边形AFECD= 1 : 2 ,2 16 28即侣E+BF) : (AF+AD+DC)= 1 : 2.则有一5 x2+ 予x=3,整理，得 3x2 24X+70 = 0,此时的求根公式中的b2 4ac= 576 840V0 ,所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 1 : 2 的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确