类比化归思想

1、化归与类比的数学思想解题举例（ 一 ）把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。一、新授（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例 1：某射手射击1 次击中目标的概率是0.9 他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1 次的概率为分析：至少击

2、中目标一次的情况包括1 次、 2 次、 3 次、 4 次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解4（略解：）他四次射击未中1 次的概率P1=C4 0.1 4=0.1 4?他至少射击击中目标1 次的概率为 1 Pi=1 - 0.1 4=0.9999例 3: 求常数 m 的范围，使曲线y=x 2 的所有弦都不能被直线y=n（x 3）垂直平分 .（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x 1 2 存在关于直线 y=m （x 3）对称的两点，求m 的范围2 2（略解）：抛物线y=x2 上存在两点（ Xi, x 1 ）和（乂 2 , x 2 ）关于直线y=m(x

3、3)对称，则广乞上m( x 2 3)2 222AX!x21 X!x2mx； x；x26)即 Q1消去X2得% x2Lm2x i2 21x16m 1 0mm?存在 ( X1，X12),( X2, x j) ?上述方程有解12m 3 2m 212> 0m? (2m 1)(6m 2 2m 1) V 01从而 m<-21因此，原问题的解为m| m> - 2（二）一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然,这种方法在选择题，填空题中非常适用。欢迎下载2例 1 设等比数列an的公比为 q, 前 n 项和为 S,若 S+i 、S、 S+2 成等差数列

4、，贝U q= _.【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值 ?如： S、 S、S3 成等差，求 q 的值 .这样就避免了一般性的复杂运算略解：2S? a aq，S3aq qV S2 S3 2S12a 1 2a1q a 1q2a1 (a1 0)-q= 2 或 q=0 ( 舍去 )/43、例 2: 已知平面上的直线I 的方向向量 e （ 厂），点 （0， 0） 和 A（1,5'52）在 I 上的射影分别为0 和 A，若 OA e 则入为（）1111A.11B11C.2D255【分析】 : 直线 I 的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看,必为定值。可见直线I 的变化不会影

5、响的值。因此我们可取I 为 y -x 来求解的4值。略解：设A(x.y) 则 (3可得 A(8, 6)55y x欢迎下载34欢迎下载4OA e即( 8, -)5( -J3)53 3例 3: 设三棱柱 ABC-ABC 的体积为 V, P、Q 分别是侧棱 AA、 CG 上的点 ,且 PA=QC 则四棱锥 B- PAQG 勺体积为：1111A.、B. -VC. 1VD.36432【分析】 P、Q 运动四棱锥 B- PAQC 是变化的，但从选项来看其体积是不变 的，所以可以转化为特殊情况来解决【略解】取 P 与 A 重合， Q 与 C 重合的特殊情况V B PAQCV B AC 1CVC1 ABC1

6、-V 3( 三 ) 主与次的转化利用主元与参变量的关系,视参变量为主元( 即变量与主元的角色换位) 常常可以简化问题的解决，先看下面两题。例 1: x2 ax 20对 x 1,1 上恒成立，求实数a的取值范围?<例 2: 对任何 a 1,1 函数 f(x) x 2 (a 4)x 4 2a 的值总大于 0, 则实数 x 的取值范围是： _对于例 1：令 f(x) x 2 ax 2 则从图像知f( 1) <0f(1) <0 K a< 1欢迎下载5对于例 2: 我们也可以转化为例1 的形式只需视 f(x) 为关于 a 的函数，问题就可以转化为例1 的情况：令 g(x) (x

7、2)a (x 2) 2(x 2) 为关于 a 的一次函数，由图像知 g( 1) >0 或 xv 1 或 x>3Y勺> 0例 3: 设 y 的实数， 4y 2 4xy x 5 0 则 x 的取值范围是：_【分析】把4y 2 4xy x 5 0 看作是关于y 的二次方程，则利用0 求 解 x 的范围。【略解】：把4y 2 4xy x 5 0 看作是关于y 的二次方程，因为y 的实数，所以方程有解。? = (4x) 242(x 6) >0/?x | x < -2 或 x > 3例 4: 关于 x 的二次方程 x2 2x 3 m 0 在(0,) 上有两个不等的实根，

8、求 m 的范围。【分析】：将方程写成mx2 2x3 ，并且用函数的观点认识，则m 就成了 x 的二次函数， m 的取值范围就是在定义域( 0,) 上，函数值的范围。【略解】将方程转化为m x 2 2x 3 作出图像如图m 3,4) 上和每一个m 都有不同的两个不同的 X1， X2 与之对应。欢迎下载6/. m3,4)（四）数学各分支之间的转化数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。例 1 在四面体 ABCD 内部有一点 0,使得直线 AQ BQ CQ DC 与四面体的

9、面 BCD, CDA DAB, ABC 分别交于 A、Bi、 C、 D 四点，且满足AQ BQCQ DQ K , 求 K 可能的取值。AQB1QC1Q D 1Q【分析】立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“ABC 内部有一点 Q,使得直线 A0BQ C0 与三角形的三边BC CA AB 交于点 A、 Bi、 Ci,且满足 竺 -B °-C °KA1Q B1Q C1Q求 K 的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中AA 1S BCABB 1SACC1BCA1QS QBC1,S QCA1,QB1C1QS QBC

10、S QCA S QAB1,于是 K=2S ABCS ABCK 1,S QAB据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理【解析】在四面体中，有広VQBCD1AA 1VABCDKB1QVQCDA1BB1V ABCD欢迎下载7V OABD1D1OV OABCCC i V CABD K 1 DD 1 V DABC KVOBCD V OCDA V OABD VOABC4“V ABCDK 1（五）陌生与熟悉的转化例 1：学校将召开学生代表大会，高三有7 个名额分配给5 个班，每班至少有一个名额，问名额分配方法有多少种？4解：（插板法）：C 6 =15例 2: 方程的正整数解的组数为多少4解：

11、 7 个“ 1”之间插四个板C 6 =15二、练习：1 ?已知下列三个方程：x2 4ax 4a 3 0, x 2 （a 1 ）x a 2 0,x 2 2ax 2a 0 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。3 a | a >-1 或 a< - 2o 1 *2. 过抛物线 y=4x 的焦点的直线交抛物线A、B 两点， 0 为坐标原点，则OA OB 的值为： _A.12B .-12C . 3D .-3欢迎下载83 . 对于满足 | P | < 2 的所有实数 P,求使不等式欢迎下载9x2 px 1 >2x+p 恒成立的 x 的取值范围 x | x v 1 或 x &l

12、t; 34?在平面中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题_（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）三、小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有管种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。类比与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比。将问题由难转易,由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决，类比与转化的