2019高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及其运算练习理

1、3.1导数的概念及运算考纲解读考点内容解读要求咼考示例常考题型预测热度2017 课标全国I,14;1.导数的概念与几何意义1. 了解导数概念的实际背景2. 理解导数的几何意义n2017 天津,10;2016 山东,10;2015 课标I,14;2015 课标n,16选择题、填空题1.能根据导数定义求函数 y=C（C 为常2.导数的运算1 _厂数）,y=x,y= * ,y=x2,y=x3,y= 玄的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数出2016 天津,10;2015 天津,11选择题、解答题分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查，以导数的运算公式和运算法

2、则为基础，以导数的几何意义为重占八、-1. 导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标，或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等2. 导数的运算是每年必考的内容，一般不单独考查，而在考查导数的应用时与单调性、 极值与最值结合出题考查.3. 本节内容在高考中分值为5 分左右，属于容易题.五年高考考点一导数的概念与几何意义1. （2016 山东，10，5 分）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（）A.y=s in x B.y=l n x

3、C.y=exD.y=x32017 年高考“最后三十天”专题透析答案 2好教育云平台 教育因你我而变2答案 A2. （2014 陕西，10,5 分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲2017 年高考“最后三十天”专题透析答案 2好教育云平台 教育因你我而变3答案 A3. (2017 天津,10,5 分)已知 a R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1)处的切线为 I,则 I 在 y 轴上的截距为_.答案 114. (2017 课标全国I,14,5 分)曲线 y=x2+，在点(1,2)处的切线方程为 _.答案 x-y+1=05.

4、(2016 课标全国川,16,5 分)已知 f(x)为偶函数，当 xW0时，f(x)=e-x-1-x,贝U曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是_ .答案 y=2x_36. (2015 课标1,14,5 分)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则 a=_答案 127. (2015 课标n,16,5 分)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切，则 a=_答案 88. (2014 江西,11,5 分)若曲线 y=xIn x 上点 P 处的切线平行于直线2x-y+仁 0,则点 P 的坐标是

5、_ .答案(e,e)教师用书专用(9 15)9. (2014 广东,11,5 分)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为 _ .A.y=-x3- -x2-xC.y=x3-xB.y= _X3+_X2-3X路段为某三次函数图象的一部分D.y=2小x -2x2017 年高考“最后三十天”专题透析答案 2好教育云平台 教育因你我而变4答案 5x+y+2=010. (2013 江西,11,5 分)若曲线 y=x+1(a R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则a=_2511. (2013 广东，12,5 分)若曲线 y=ax-ln x 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则 a=_.1

6、答案-12. (2015 山东,20,1 3 分)设函数 f(x)=(x+a)ln x,g(x)=、：已知曲线 y=f(x)在点(1, f(1) 处的切线与直线2x-y=0 平行.(1)求 a 的值;是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根？如果存在，求出 k;如果不存在，请说明理由；设函数 m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示 p,q 中的较小值),求 m(x)的最大值.解析(1)由题意知，曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为 2,所以 f (1)=2,a又 f (x)=ln x+ +1,所以 a=1.k=1 时，方程 f

7、(x)=g(x) 在(1,2)内存在唯一的根.X设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-，当 x (0,1时,h(x)1-仁 0,所以存在 x (1,2),使得 h(xo)=0.1空2)因为 h(x)=ln x+ +1+ i ,1所以当 x (1,2)时,h(x)1-10,当 x (2,+)时,h(x)0,所以当 x (1,+g)时,h(x)单调递增.所以 k=1 时，方程 f(x)=g(x )在(k,k+1)内存在唯一的根.由 知方程 f(x)=g(x) 在(1,2)内存在唯一的根 xo,2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变6且 x (0 ,x0)

8、时，f(x)g(x),(咒 +l)lnx5X e(0,勺,2IXH 仝E(习)，+ )-所以 m(x)=当 x (0,x0)时,若 x (0,1,m(x) 0,可知 00,m(x)单调递增；x (2,+g)时，m(x)0,m(x)单调递减，42 可知 m(x)wm(2)= i ,且 m(x)0, 函数 f(x)在(0,+g)上单调递增，2当 a0 时,令 g(x)=ax +(2a+2)x+a,2 2 =(2a+2) -4a =4(2a+1).11当 a=-时，=0,I 22f (x)=，I 0,函数 f(x)在(0,+g)上单调递减.12当 a时, 0,g(x)0,f (x)0, 函数 f(x

9、)在(0,+g)上单调递减.13当二 a0,设 X1,X2(X10,所以 x (0,xi)时,g(x)0,f (x)0,f (x)0, 函数 f(x)单调递增，x (x2,+g)时,g(x)0,f (x)0时，函数 f(x)在(0,+g)上单调递增；I7当 a -一时，函数 f(x)在(0,+g)上单调递减；1当- a0 时，2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变8-(ti + 1) + 2 +1-(a+l). ：2位十 GLCL/上单调递增14.(2014 北京,20,13 分)已知函数 f(x)=2x3-3x.(1)求 f(x)在区间-2,1上的最大值若过点 P

10、(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)32解析(1)由 f(x)=2x-3x 得 f (x)=6x-3.令 f (x)=0, 得 x=_ 一 或 x= 一 .设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(xo,yo),32xx则 yo=2-3xo,且切线斜率为 k=6-3,所以切线方程为 y-yo=(6-3)(x-xo),272因此 t-yo=(6 -3)(1-xo).整理得 J -6 +t+3=0.32设 g(x)=4x -6x +t+3,则“

11、过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价于“ g(x)有 3 个不同零点”2g(x)=12x-12x=12x(x-1).g(x)与 g(x)的变化情况如下表x(-8,0)0(0,1)1(1,+8)1 (a + 1) + 10- -af(x)在-+1)-问+了-上单调递减因为 f(-2)=-10, f所以 f(x)在区间-2,129g(x)+0-0+g(x)/t+3t+1/所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值，g(1)=t+1 是 g(x)的极小值.当 g(0)=t+3 0,即 t 0,即 t -1 时，此时 g(x)在区间(-,0)和0,+)上分别至多有 1 个

12、零点，所以 g(x)至多有 2 个零点当 g(0)0 且 g(1)0,即-3t-1 时,因为 g(-1)=t-70, 所以 g(x)分别在区间卜 1,0),0,1)和1,2)上恰有 1 个零点由于 g(x)在区间(-g,0)和(1,+g)上单调，所以 g(x)分别在区间(-g,0)和1,+g)上恰有 1 个零点综上可知，当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1).过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切；过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切；过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切

13、_ _ 215.(2013 北京,18,13 分)已知函数 f(x)=x +xsin x+cos x.(1)若曲线 y=f(x)在点(a, f(a) 处与直线 y=b 相切，求 a 与 b 的值；若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点，求 b 的取值范围.2解析 由 f(x)=x +xsin x+cos x, 得 f (x)=x(2+cos x).(1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a)处与直线 y=b 相切，所以 f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得 a=0,b=f(0)=1.令 f (x)=0, 得 x=0.f(x)与 f (x) 的情况如下：x(-g

14、,0)0(0,+g)f (x)-0+f(x)1/所以函数 f(x)在区间(-g,0)上单调递减，在区间(0,+g)上单调递增，所以 f(0)=1 是 f(x)的最小值.当 bwi时，曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点；2当 b1 时,f(- 2b)=f(2b) 4b -2b-14b-2b-1b,f(0)=11 时曲线 y=f(x)与直线 y=b 有且仅有两个不同交11占八、-综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+m).考点二导数的运算1. (2016 天津,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex, f (x)

15、为 f(x)的导函数,则 f (0) 的值为_ .答案 32. (2015 天津,11,5 分)已知函数 f(x)=axInx,x (0,+g),其中 a 为实数,f (x)为 f(x)的导函数.若 f (1)=3,贝 U a 的值为_ .答案 3三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点一导数的概念与几何意义,11)已知 f(x)=(x+a)ex的图象在 x=-1 与 x=1 处的切线互相垂直,则 a=(A.-1B.0 C.1 D.2答案 AA.0f (2)f (3)f(3)-f(2)B.0f (3)f (2)f(3)-f(2)C.0f (3)f(3)-f(2)f (2)D.0f(

16、3)-f(2)f (2)0的解集为_答案 (-8,0)U(0,1U(3,+8)6. (2017 湖南衡阳八中期中,14)曲线 f(x)=xex在点(1,f(1) 处的切线的斜率是 _ .答案 2e17. (2017 广东韶关六校联考,14)已知函数 f(x)=ln x-ax2,且曲线 f(x)在点(2,f(2)处的切线的斜率是-，则a=_.1答案丨8. (2016 北京东城期中,16)若过曲线 f(x)=xln x 上的点 P 的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为 _.答案(e,e)9.(人教 A 选 1 1,三,2,B1,变式)已知函数 f(x)=g(x)=aln x,a在交点处有相同的切线

17、，贝 U a=_ ,切线方程为 _e答案 -;x-2ey+e2=0考点二导数的运算10. (2018 福建福安一中测试，6)已知 f(x)=e-x+ex 的导函数为 f (x), 贝 U f (1)=()I I IA.e-B.e+C.1+D.0答案 A111. (2018 福建福州八县联考,11)已知函数 f(x)的导函数是 f(x),且满足 f(x)=2xf (1)+lnV,则 f(1)=()A.-e B.2 C.-2 D.e答案 B12. (2017 山西名校联考,3)若函数 f(x)的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式可能为()32 R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g

18、(x)相交，且13A.f(x)=3cos xB.f(x)=x+x2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变14答案 C13.(2016 河北衡水中学二调,10)若点 P 是曲线 y=x2-In x 上任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为()答案 BB 组 20162018 年模拟提升题组(满分：55 分 时间:50 分钟)、选择题(每小题 5 分,共 15 分)1. (2018 福建福州八县联考，9)函数 f(x)=4x3-6x2+a 的极大值为 6,那么 f(a-5)的值是()A.6 B.5 C.4 D.3答案 C2. (2017 河南郑州、平顶山、濮

19、阳二模 ,10)设函数 f(0)(x)=si n x, 定义 f(x)=f f(0)(x), f(x)=ff(x),f(n)(x)=f f(n-1)(x),则 f(15 )+f(15 )+f(15 )+f(2 017)(15 )的值是()& + E “ QA. B.C.0 D.1答案 A3. (2016 江西赣中南五校 2 月第一次联考,11)已知函数 fn(x)=xn+1,nN的图象与直线 x=1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 Xn,贝Ulog2 013X 计 log2 013X2+lOg2 013X2 012的值为()A.-1B.1-log2 013

20、2 012C.-log2 0132 012D.1答案 A二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)j (x+a)lrvc.x 0,2ax + 2 + a7x 0 时,f(x)的导函数 f (x)的极小值为_.答案 2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=ex+xA.1 B.C. D.15,16)若曲线 f(x)=ax5+ln x存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 的取值范围5.(2017 天津红桥期中联考2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变16是_.答案(-8,0)三、解答题(每小题 10 分,共 30 分)6.(2018 广东惠州一调,21)设函数 f(x

21、)=求曲线 y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程1如)当 x1时，不等式 f(x)-：X恒成立，求 a 的取值范围.-lnx2解析(1)根据题意可得,f(e)=1,f (x)=2工5-In e122所以 f (e)=L，52丄所以曲线在点(e,f(e)处的切线方程为 y-K=_L(x-e),即 x+e y-3e=0.1a(x2-1) 111X - d(X2-1)根据题意可得，f(x)-x_X=X10在 x1时恒成立2令 g(x)=ln x-a(x- 1)(x 1),所以g(x)=：-2ax,当 aW0时,g(x)0,所以函数 y=g(x)在1,+)上单调递增，所以 g(x) g(1)=0

22、,1a(x2-1)所以不等式 f(x)-、成立,故 a0 时，令兀-2ax=0,解得 x=(舍负)，令=1,解得 a=111X +11当 0a1,所以在+ oo|上,g(x)0),贝 U g(x)=ex-2a(x0).gL=1 n-a=-ln a-I1丄一一一 2II+a,令 h(a)=-ln a-u+a,贝 U h(a)=-+讥 +仁a,易知 h(a)0 恒成1立,又 0a-,/I所以 h(a)h 一 =-ln 亠 2+Vn 2-0,所以存在 g50,1所以 0a不符合题意；i r口w1,g(x)01在(1,+g)上恒成立,所以函数 y=g(x)在1,+g)上单调递减，所以g(x)wg(1)

23、=0,显然 a-1不符合题意.综上所述,a 的取值范围为a|a 0 时,f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围.解析(1)当 a=1 时,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=所以切点坐标处的切线方程为 y=x-(-1).即 y= x+ .2017 年高考“最后三十天”专题透析1好教育云平台 教育因你我而变18当 2aw1,即 aw时,g(x)=ex-2a1- 2a0, 所以 g(x)=f (x)=ex-2ax-2a 在(0,+g)上为增函数所以 g(x)g(0)=1- 2a0,则 f(x)在(0,+)上为增函数19所以 f(x)f(0)=1-0-0-仁 0,故 aw-时符合题意.1当

24、2a1,即 a：时,令 g(x)=ex-2a=0,得 x=ln 2a0,当 x 变化时,g(x),g(x)x(0,ln2a)ln 2a(ln2a,+a)g(x)-0+g(x)减函数极小值增函数当 x (0,ln 2a) 时,g(x)g(0)=1-2a0, 即 f (x)0.所以 f(x)在(0,ln 2a)上为减函数，所以 f(x)0在 R 上恒成立，ex ax -在 R 上恒成立.令 g(x)=x-,ex7则 g(x)=1-,令 g(x)=0,得 x=ln 2,在(-a,ln 2)上,g(x)0, 在(In 2,+)上,g(x)ln 2 -1,的变化情况如下表2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变20实数