(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：6.3.5平面向量数量积的坐标表示Word版含答案

1、6. 3.5平面向量数量积的坐标表示考点学习目标核心素养平面向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示， 会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材 P34 P35 的内容，思考以下问题：1平面向量数量积的坐标表示是什么？2 .如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？L新知初更1 .平面向量数量积的坐标表示已知 a= (%, y“，b= (X2, y2)，贝 U a b=X1X2+ yiy2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.名师点拨公式 a b= |a|b|cosa, b与

2、 a b= X1X2+ yiy2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.2.两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若 a = (x, y)，则|a|=寸 x2+ y2.向量的夹角公式：设 a, b 都是非零向量，a= (x1, y1), b= (x2, y2),B是 a 与 b 的夹a b_X*+ y1y2,x1+y2；x|+y|(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量 a = X, y1), b= (x2, y2),贝 U a 丄 b? 乂年辻缈三 0.名师点拨若 Ag, y1), B(X2, y2)，则 AB =(X2 X1, y2 yj,|A

3、B|= (X2 X1)2+( y2 y1)2,即卩 A, B 两点间的距离为(X2 x02+( y2 y1)角， 贝 U cos(1)向量的模等于向量坐标的平方和.()y自我检测判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(2)|AB|的计算公式与 A, B 两点间的距离公式是一致的.()答案：XV0 已知 a = (- 3, 4), b= (5, 2)，贝Ua b 的值是()A . 23B . 7C.- 23D.- 7答案：D 已知向量 a = (1, - 2), b= (x, 2)，若 a 丄 b,贝Ux=()A . 1B . 2C. 4D . - 4答案：C0 已知 a=(丽,1),b=(-V

4、3,1)，则向量 a,b 的夹角0=_答案：120 探究点Ell数量积的坐标运算例 1已知向量 a= (1, - 1), b= (- 1, 2)，则(2a + b) a =()A . - 1B . 0C. 1D. 2【解析】 因为 a = (1，- 1), b= ( 1, 2),所以(2a+b)=(1,0)(1,-1)=1.【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式 展开，再依据已知计算.1.设向量 a= (1, - 2)，向量 b= (-3, 4)，向量 c= (3 , 2),则向量(a+ 2b)c=()A . (- 15

5、, 12) B. 0C.- 3D . - 11解析：选 C.依题意可知，a + 2b= (1, - 2) + 2( - 3, 4) = (- 5, 6),解惑探究突破 (1)向量的模等于向量坐标的平方和.()所以(a+ 2 b) = (- 5, 6) (3, 2) = - 5X3+ 6X2=- 3.2 .已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点，点 F 在 AD 上, AF = 2FD，则 BE CF解析：建立平面直角坐标系如图所示，则2)，B(0，0)，C(2, 0),T T4因为 AF = 2FD，所以 Fg, 2).T4所以 BE = (2, 1), CF = (3,

6、2) - (2, 0T T2所以 BE CF = (2, 1) (-3, 2)=2X(-令+ 1X2=3.2答案：33探究点平面向量的模例 2(1)设平面向量 a = (1, 2), b= (-2, y),若 a/ b 则|3a + b|等于()A. ,5B. .6C. ,17D. .26已知|a|= 2 13, b= (2, - 3),若 a 丄 b,求 a + b 的坐标及|a + b|.【解】选 A.因为 a / b,所以 1Xy- 2X( 2) = 0,解得 y= 4，从而 3a + b= (1, 2), |3a+ b|=5.设 a= (x, y),则由 |a|= 2 ,13 ,得 x

7、2+ y2= 52由 a 丄 b,解得 2x- 3y = 0 x= 6 ,x= 6 ,联立，解得或l.y= 4l.y=- 4.所以 a= (6 , 4)或 a = (-6, 4).所以 a+ b= (8 , 1)或 a+ b= ( 4, 7),所以 |a+ b|= ,65.(1)向量的模等于向量坐标的平方和.()求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2= a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算若 a = (x, y),贝 U a a= a2= |a|2= x2+ y2,于是有 ai= x2+ y2.已知点 A(0, 1), B(1, 2)

8、，向量 AC = (4, - 1)，则 |BC|=_解析：设 C(x, y)，因为点 A(0, 1)，向量 AC= (4, 1)，所以 AC= (x, y 1) = (4, 1),x=4,所以解得 x= 4, y= 0,所以 C(4, 0),ly1 = 1,所以BC= (3, 2), |BC|= 9 + 4 = . 13.答案：，13探究点jg平面向量的夹角(垂直)例已知 a= (4 , 3) , b= ( 1 , 2).(1) 求 a 与 b 夹角的余弦值；(2) 若(a入 b)丄(2a+ b),求实数 入的值.【解】(1)因为 a b= 4X( 1) + 3X2= 2 ,|a|=742+

9、3 = 5 , |b|=p ( 1)2+ 22= V5 ,设 a 与 b 的夹角为所以 cos0=岸需=552 *5=25 .(2)因为 a ?b= (4 + 入 3 2 为，2a+ b= (7 , 8),又(a ?b) _L (2 a + b),所以 7(4+为+ 8(3 2 为=0,所以 L 牛.现律方法现律方法利用数量积求两向量夹角的步骤跟踪训练跟踪训练1.已知向量 a= (1,n.3) , b= (3 , m).若向量 a , b 的夹角为,则实数m=()C. 0B. 3D. .3解析：选 B.因为 a= (1,3) , b= (3 , m).所以 |a|= 2 , |b|= 9 +

10、m2, a b= 3+ ,3m ,na bn3+/3 mJ3厂J2又 a , b 的夹角为 -,所以 后= cos -,即 一/2=,所以 心 + m=f 9+ m ,解得| | | |列9+ m2m= .3.2 .已知 A( 2, 1), B(6, 3), C(0 , 5)，则 ABC 的形状是(A 直角三角形B 锐角三角形C.钝角三角形D .等边三角形解析：选 A.由题设知AB=(8, - 4),AC= (2, 4), BC= (-6, 8)，所以 AB AC= 2X8+ (4)X4= 0,即 AB 丄 AC.所以/ BAC= 90,故公 ABC 是直角三角形.1.已知向量 a= (2 ,

11、 0) , a b= (3 , 1),则下列结论正确的是(A . a b= 2B. a/ bC. b(a + b)D. a = |b|解析：选 C.因为向量 a= (2, 0), a b= (3, 1),设 b= (x, y),则1.0 y= 1,2 x= 3 ,解得y= 1 ,x= 1 ,所以 b= ( 1, 1), a+ b= (1, 1), b (a+ b) = 1X1 + ( 1)X( 1) = 0，所以 b 丄(a+ b).2 .在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB = (1, 2), AD = (2,1)，则 AD - AC =解析：由四边形 AB

12、CD 为平行四边形，知AC=AB +AD= (3, 1)，故 AD AC= (2, 1) (3,利用平面向捲数Jt积的坐标废汞按式求出这 两个向童的数量觀利用w计界出这两牛向凰怖撲載It积j-jXi+yiy：命強値卜Hi石厂仅半在0C O C TT由COS0 的值求角0-1) = 5.答案：53.已知 a= (1 ,3), b= (2, m).当 3a- 2 b 与 a 垂直时，求 m 的值；当 a 与 b 的夹角为 120时，求 m 的值.解：(1)由题意得 3a 2b= ( 1,3；3 2m),由 3a 2b 与 a 垂直，得一 1 + 9 2-.-3m = 0, 所以 m=4J3.(2)

13、由题意得 |a|= 2, |b|= m2+ 4, a b= 2+ 3m,整理得 2+ . 3m+ m2+ 4= 0,化简得 m2+ 2 3m= 0,解得 m= 2 , 3 或 m= 0(舍去).所以 m= 2 ,3.A基础达标解析：选 D.2a b= (4, 2) ( 1, k) = (5, 2 k)，由 a (2a b)= 0，得(2, 1) (5, 2 k)=0,所以 10+ 2 k= 0,解得 k= 12.2 .已知向量 a= (1, n), b= ( 1, n),若 2a b 与 b 垂直，则|a 等于()A . 0B . 1C. 2D . 2解析：选 D.2a b= (3, n),由

14、 2a b 与 b 垂直可得(3, n) (- 1, n)= 3+ n2= 0,所以n= 3,所以 |a|= 2.3 .已知平面向量a = (2 , 4), b=( 1, 2),若 c= a (a b)b,则 |c|等于()A. 4 2B .2 5C. 8D . 8.2解析：选 D.易得 ab= 2X(- 1) + 4X2 = 6,所以 c= (2, 4) - 6( 1, 2)= (8, - 8)，所以 |c|=-82+(-8)2= 8 ,2.4. (2019 河北衡水中学检测)设向量 a = ( .3, 1), b= (x,- 3), c= (1, - .3)，若 b/ c, 则 a-b所以

15、 cos120=a b = 2+3m丽=2 0+ 41.已知向量 a= (2, 1), b= ( 1,A. 12C. 6k), a (2a b)= 0，贝 U k=()B. 6D. 12与 b 的夹角为()A . 30B. 60C. 120D . 150解析：选 D.因为 b / c,所以一 3x= ( 3)X1,所以 x= 3，所以 b= ( 3,- 3), a- bb - (a- b)- 12 百=(0, 4).所以 a- b 与 b 的夹角的余弦值为=-為，所以 a - b 与 b 的夹a - b|b|4X2心2角为 150.5 .已知 O 为坐标原点，向量 OA = (2, 2), O

16、B = (4, 1), 在 x 轴上有一点P使得 AP - BP 有 最小值，则点P的坐标是()A . (- 3, 0)B . (2, 0)C. (3, 0)D . (4, 0)解析：选 C.设点 P 的坐标为(x, 0)，则AP= (x- 2, - 2), BP= (x- 4,- 1).APE3P=(x-2)(x-4)+(-2)X(-1)2 2=x2-6x+ 10 = (x- 3)2+ 1 ,所以当 x= 3 时，AP BP 有最小值 1.此时点 P 的坐标为(3, 0).6 .设 a = (m+ 1, - 3), b= (1, m- 1)，若(a+ b)丄(a- b)，贝 U m=_解析：

17、a + b= (m+ 1, - 3)+ (1, m- 1) = (m + 2, m- 4),a b= (m+1， 3) (1, m- 1) = (m,- 2 m), 因为(a+ b)丄(a b)，所以(a + b) ( b)= 0, 即(m+ 2, m 4) (m, m 2) = 0,22所以 m + 2m- m + 2m+ 8 = 0,解得 m=- 2.答案：27 .(2019 陕西咸阳检测)已知向量 a= ( 2,1), b=(入 g),且內+ b|=Up,则入=_答案：i 或一 38.已知向量 a= (cos0, sin0)，向量 b=(寸 3, 0)，则|2a b|的最大值为 _解析：

18、2a b= (2cos0-, 2sin0),|2ab|= (2cos03)2+(2sin0)2=4cos20 4 3cos0+3+4sin20= 74.3cos0,当且仅当 cos0=1 时，|2a b|取最大值 2 + 3.答案：2+ 39.已知 a= (1 , 2), b= ( 3, 2).(1)求 a b 及 |a b|;若 ka + b 与 a b 垂直，求实数 k 的值.解：a b= (4, 0), |a b|= 42+ 02= 4.(2)ka+ b= (k 3, 2k+ 2), a b= (4, 0),因为 ka+ b 与 a b 垂直，所以(ka+ b) ( b)= 4(k 3)

19、 + (2k+ 2) 0= 0,解得 k= 3.10. (2019 重庆第一中学第一次月考)已知向量 a, b, c 是同一平面内的三个向量，其中a=(1, 1).(1) 若|c|= 3.2，且 c/ a,求向量 c 的坐标；(2) 若 b 是单位向量，且 a 丄(a 2b),求 a 与 b 的夹角0解：(1)设 c= (x, y)，由 |c|= 3 2, c / a 可得y+ x= 0,x= 3,x = 3,所以或x2+ y2= 18,y= 3,y = 3,故 c= ( 3, 3)或 c= (3 , 3).因为 |a|= . 2,且 a 丄(a 2b),所以 a (a 2b) = 0，即 a

20、2 2a b= 0,所以 a b= 1,故 cos解析：由已知易得/a+ b= f入入+ 2 ,3冶 1 或冶一2 -则(?)2+解得5“ a b 羽才、n0=丽厂2，所以0=4.B 能力提升11.已知向量 a= (1, 2), b= (-2, - 4),5，若(a+ b) c= 2，贝卩 a 与 c 的夹角大小为()A . 30B. 60C. 120D . 150解析：选 C.设 a 与 c 的夹角为 0,依题意，得a + b= ( 1, - 2), |a|=5.5设 c= (x, y),因为(a+ b) c= 2，5所以 x+ 2y=5又 a c= x+ 2y,5_cx+ 2y-21所以

21、cos0=邳厂 5X,5=E=2，所以 a 与 c 的夹角为 12012.在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点， 点 E 在线段 AB 上运动， 则 EM - EC的取值范围是()1 cA. 2，2解析：选 C.以 A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设 E(x,0), 0Wx 1因为M,), C(1, 1)，所以 EM = (1 x , 2 ), EC = (1- x , i,Z1 i2 111)，所以 EM EC = 1 x, 2 (1 x, 1) = (1 x) + 2.因为 0Wx 1,所以- C.13122JD.0, 1513._ 已知点 A, B,

22、C 满足 |AB|= 3, |BC|= 4, |CA|= 5,则 AB - BC + BC - CA + CA - AB的 值为_ .C解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得 ABC 为直角三角形，且 B =n,所以 a b= (1 , .3) ( 2, 0) = (3, 3),cos A=3, cos C = 5,55所以 AB BC+ BC CA + CAAB=BCCA+CAAB=4X5cos(n C)+5X3cos(n A)=20cos C15cos A43=20X 15X55=25.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，则 A(3, 0), B(0, 0), C(0, 4).所以 AB = ( 3, 0), BC = (0, 4), CA = (3, 4).所以 ABBC=3X0+ 0X4 = 0,BC CA=0X3+4X(4)= 16,CA AB=3X(3)+(4)X0= 9.所以 AB BC+ BC CA + CA AB= 0 16 9 = 25.法三：(转化法)因为 |AB|= 3, |BC|= 4, |AC|= 5,所以 AB 丄 BC,所以ABBC= 0,所以 AB BC+ BC CA + CA AB= CA (AB + BC)=CA AC = |AC|