(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：6.3.1平面向量基本定理Word版含答案

1、6. 3 平面向量基本定理及坐标表示6. 3.1 平面向量基本定理导I学I聚憔考点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算预习教材 P25 P27 的内容，思考以下问题：1 .基底中两个向量可以共线吗？2 .平面向量基本定理的内容是什么？L新知初更平面向量基本定理条件e e1, e e2是冋一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a a，有且只有一对实数2, 22,使 a a= 2e e1+ 2e e2基底右e1,e2不共线，把e1,e2叫做表示这一干面

2、内所有向量的一个基底名师点拨(1)e ei, e e2是同一平面内的两个不共线的向量，e ei,代的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底.基底e ei, e e2确定后，实数 入,A2是唯一确定的.、.自我检测o判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 基底中的向量不能为零向量.()(2) 平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.()(3) 若 a a, b b 不共线，且2a a +pib b=2a a+ 垃 b b,贝U 2=2,卩1=血.()(4) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯预习累*问题导学表示.()答案：(1)V(2)X(3)V(4)

3、V対济 e-he2 池因弋回国-孑肚B孚可*FT前笠可*甘孑餵佥Rmm孚池 -2e13e2Bel+023+302Cei5Del+ 疏游 BWAD池ABC 孚甘涉口再瓠?淫左宀?b)Emm即丄AMI(ab) BMI(a+b)cMI(ba) DMIb+a D吝ADABHACAP洼耳ADHN)I(AB +AC)HS(a+b).T V-济+e2H歩 淫亠耳耳严_(呦圧S百辛孚刁4)52e2HMe225)m=(l+2A9(21+2A=0淫亠亘严吕F Q 2e2JITQ22el肚Bsel2e2JIT622ei餵Ettm-2+T 0-因92e2H3(4e22ei).淳FGi2e2M4622Q MB-s9I2

4、e2M4e229y餵EttmmI T 0 -5+ =A102)(1Ael+(1+Ae2HoS耳耳严吕5+ e2JIre1+To-e e2不共线，即 e ei+ e e2与 e ei ez能作为一组基底.【答案】 对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底,反之，则可作基底.(2) 一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示Xi X2出来.设向量 a a 与 b b 是平面内两个不共线的向量，若xia a + yib b X2a a+y2b b,贝 Uyi y2.提醒一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底

5、表示，表达式不一样.1.设点 0 是？ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()AD 与 AB;DA 与 BC :CA 与 DC :0D 与 0B.A .D .解析：选 B.寻找不共线的向量组即可，在 ?ABCD 中，AD 与 AB 不共线，CA 与 DC 不共线;而 DA /BC, OD /0B，故可作为基底.解析：选 B.由题图可知，0A 与 BC, AB 与 CF , AB 与 DE 共线，不能作为基底向量，0A 与 CD不共线，可作为基底向量.B .C.A.0A, BCC.AB,CFD.AB,DE2 .点 0 为正六边形 ABC

6、DEFB.0A,CD用基底表示平面向量例 如图所示，在？ABCD 中，点 E, F 分别为 BC, DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点G,若AB=a a, AD = b,b,试用基底a a, b b表示向量DE, BF.【解】DE=DA+AB+BE-BB1 -B=-AD+AB+2BC=-AD + AB+2AD= a a- 1b b.=AB + AD + qAB = b b 2 a a.耳动探究耳动探究1.变问法本例条件不变，试用基底 a a, b b表示 AG.2解：由平面几何知识知 BG=|BF,故 AG = AB+ BG = AB+ 3BF32(1、=a+2b1a2. 1 2 2,

7、=a a + 3b b 3a a = 3a a + 3b b.2.变条件若将本例中的向量“ AB,AD”换为“CE,CF”，即若CE= a a , CF = b b,试用基底a a, b b表示向量DE,BF.解：DE = DC + CE= 2FC + CE = 2CF + CE= 2b b+ a a.=2CE+ CF = 2 a a+ b.b.用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止.BF = BA+ AD + DFBF = BC+ CF = 2EC + CFDa律方法律方法(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解

8、.【解】 设 BM = e ei, CN= e e2,1 .在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 BD = DA，设 CB = a a, CA= b b,则 CD 为(1 2A.3 a a+ 3 b b2 1B 3a+ 3b43D 5a+ 5b-f1-fff-f-f1-f1解析：选 B.因为 BD = DA, CB = a a, CA= b b,所以 CD = a a+ BD = a a+3BA = a a+ 3(b b-a a)=-21a a+ 3b b.2 .如图,已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, E, F 分别是 AD, BC 边上的中点，且 BC =3AD, BA= a

9、 a,解：连接f 1 f 1 所以AD = BC= 3 b b,f1f因为 BF = 2BC，所以f1f f f1BF = b,b,所以 FA = BA- BF = a a ?b b.所以 EF = EA +AF=DF = DA + AF = - (AD + FA) = - b b+ ；a a-1平面向量基本定理的应用 0 0 如图，在厶 ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AC 上，且 AN= 2NC, AM 与 BN相交于点 P,求 AP : PM 与 BP : PN.则 AM = AC+ CM =- 3e e2- e ei, BN = BC+ CN = 2 e ei+ e

10、e2.因为 A, P, M 和 B, P, N 分别共线,所以存在实数 人使得 AP= ?AM = ?ei 3 沦2,BP=(BN = 2 妙 + 姥.故 BA = BP + PA = BP AP =(入+ 2p)e ei+ (3?d-p)e e2.而 BA = BC + CA = 2 e ei+ 3e e2,由平面向量基本定理,?d- 2 尸 2, 得13 入+尸 3,4入=7解得4 3 所以 AP = 5AM , BP = 5BN ,所以 AP : PM = 4 ： 1, BP : PN= 3 : 2.1.变问法在本例条件下，若 CM = a a, CN= b b,试用 a a, b b

11、表示 CP. 解：由本例解析知 BP : PN= 3： 2，则 NP =|NB,5- - - - 2 2 CP=CN+NP=CN+5NB=b b+5(CBCN)554234=b+5a a5b= 5b+5a a.2 .变条件若本例中的点 N 为 AC 的中点，其他条件不变，求 AP : PM 与 BP : PN.解：如图，设 BM = e ei, CN = e e2,因为 A, P, M 和 B, P, N 分别共线， 所以存在实数 人使得 AP= ?AM = ?ei 2 沦2,BP=(JBN = 2 Q + 畑5则 AM= AC+BN = BC + CN = 2 e ei+ e.BMC故 BA

12、 = BP + PA = BP AP =(入+ 2p)e ei+ (2?d-p)e e2.而 BA = BC + CA = 2 e ei+ 2e e2,由平面向量基本定理,入+ 2 尸 2,得12 入+尸 2,- 2 2 所以 AP = 3AM , BP = 3BN ,所以 AP : PM = 2, BP : PN= 2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.1.设e ei,e2是平面内的一个基

13、底，且a a = e ei+2e2,b b= e ei+ e e?,贝 Vei+e2=_ a a+b b.a a = e e1+ 2 e e2,解析：由，解得| |b b= e e+ e e212ei= 3a3b，1 1e e2=?a a+ 3 b b.故 e e1+ e e2=1 2 1 1 23a3b+ 3a+3b= 3a a+2 .在 ABC 中，D 为 AB 上一点，若 AD = 2IDB , CD = 3CA+ 疵，贝 V 入=_解析：因为AD= 2DB,- 2 2 -所以 AD = 3AB= 3(CB CA).- - - -2 -1 - 2 因为在 ACD 中，CD = CA +

14、AD = CA+ (CB CA) = CA + CB,答案：I翊甌匝标1 .如图在矩形 ABCD 中，若 BC =5ei, DC =3e2,则 OC =()A. 2(5 e ei+ 3e e2)C.2(3 e e25e e”- 1 - 1 - -解析：选 A.OC = 2AC = 2(BC+ AB)=2(BC + DC) = 2(5 e ei+ 3e e2).B.2(5 e ei3e e2)D.2(5 e e2 3 e ei)2.已知非零向量 OA, OB 不共线，且2OP = xOA + yOB，若 PA=AB(入 R R)，贝 V x, y 满足的关系是（B . 2x+ y 1 = 0C.

15、 x+ 2y 2= 0D . 2x+ y 2= 0解析：选 A.由 PA=AB，得 OA OP = X-1 -1 -1 -1 -1解析：因为 BE= BO + OE = 2BD +EA= qBD + EB + BA，所以 BE = -BA + -BD，所以入=空,答案：349 .设 e e1, e e2是不共线的非零向量，且a a = &一 2 包 b b= e e1+ 3 包（1）证明：a a, b b可以作为一个基底；以a a, b b为基底表示向量 c c= 3e e1 e e2.解：（1）证明：假设 a a=血（入 R R）,则 e e1一 2e e2=?（e e1+ 3e e

16、2）.入=1,由 e e1, e e2不共线，得 3 入=- 2,所以入不存在.故 a a 与 b b 不共线，可以作为一个基底.(2)设 c c= ma a + nb b(m, n R R),则 3e e1-e e2= m(e e1 2e e2)+ n(e e1+ 3e e2)= (m+ n)e + (-2m+ 3n)e e2.m+ n = 3,m = 2,所以解得2m+ 3n = 1,n= 1.所以 c c= 2a a+ b b. - 1 10.如图所示，设 M , N, P 是厶 ABC 三边上的点，且 BM = -BC, CN =1CA, AP= 1AB,若 AB= a a, AC=

17、b b,试用 a a, b b 将 MN,NP, PM 表示出来. 1 2 1 2 解: NP = AP AN = 3AB AC= 3a a b b,MP = (MN + NP)= *a*a + b b).B 能力提升11.若e e1, e e2是平面内所有向量的一个基底，且 a a= 3e e1 4e e2, b b= 6 印+ ke e?不能构成一个AO 的中点，若 BE =?BA + pBD(人1尸 4,3 尸4.MN = CN CM =AC |CB= 3 b b |(a a b b)= 3 a a + b b,PM =基底，则 k 的值为_ .解析：当 a a / b b 时，a a,

18、 b b 不能构成一个基底，故存在 入使得 a a = ?b，即 3e ei 4e e2= ?(6e ei+ke e2),所以 6X=3,且 k 后4解得 冶1,k=8.答案：812.已知平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，AP = yAD , AQ=xAB,其中 x, y R R, 且均不为 0 若 PQ/E3E，则X= .y解析：因为 PQ= AQ AP=xAB yAD ,由 PQ/EBE,可设 PQ= 2BE,即 xAB yAD = (Cl 13 (1 m)= n,31因为 a a 与 b b 不共线，所以，？n =-.152( 1 n)= m.所以1人.y=入答案：213.

19、如图所示，在 OAB 中，0A = a a,b b, M , N 分别是边 OA, OB 上的点，且 OM = 1 a a, ON = 2b b,设AN与 BM 交于点 P,用向量 a a, b b 表示 OP，则 OP =解析：因为 OP = OM +MP, OP = ON + NP ,设 MP = mMB, NP= nNA,则 OP = OM + mMB = 3 a a + m(b b a a)1=3(1 m)a a + mb b,ON + nNA = (I n)b b+ na a.CB)=入B12所以 OP = 5 a a+ 5且 DM =1DB = !（a a b b）= 6 a a 6 b b,C=1+2Lx（a+b）,由平面向量基本定理，得入=3,解得1尸夕(1)试用向量 a a, b b 来表示 DN ,(2)AM 交 DN 于 O 点，