08数值分析(研)答案(精)

1、班级 o学号姓名密o东北大学研究生院考试试卷20082008 20092009 学年第 1 1 学期课程名称：数值分析总分一(1 1-8 8)一(9-109-10)二三四五o线一、解答下列各题：(每题 5 分，共 50 分)1.111 的近似值 x 具有 5 位有效数字，求 x 的绝对误差限。由于.帀=10.5. =0.105.102，所以10(1 2、2设 A=，求P(A)和 Cond(A)1。I3 4丿r(A) =533，Cond(Ah =21。5.已知满足条件f(0)= 0, f(1) = 1, f(2) = 7 f(3)= 2, f (0)= 0, f (3)= 1的三次样1条插值函数

2、S(x)在区间1,2的表达式为S(x)=；(31x3-130 x2 159x- 53),试 求S(x)在区间0,1的表达式。由已知可得S(0) = 0S(0) = 0,S(1) = 1,S (1 -8，所以在0,1上有：12S(x)八 了X2(22X_ 29)6.求区间0，1上权函数为(X)二1的二次正交多项式 F2(x)。P0(x) =1，R(x) = X_P0= x_(P0,P0)29 x3. x 为何值时，矩阵A= x 8G为下三角矩阵。由A正定可得，0：x：8，x=6时有:9 6 3 勺3 2 rA = 6 842 22 11，2九2人 扎所以，Gauss-Seidel 迭代法不收敛。

3、三、(12 分)已知方程x = I nx 2，1. 证明此方程在区间(1,七)内有唯一根：；2. 建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值e,2e都收敛，说明收敛理由和收敛阶。3. 若取初值 X。二 e，用此迭代法求精度为；二10,的近似根，需要迭代多少步？11.记f (x) = x - In x - 2，贝U f (x) = 1 - ：0, (x 1)x又由于f (e) =e_3：0, f (2e) = 2e- In 2_ 3 0所以，方程在区间(1,七)内有唯一根，而且卅三(e,2e)。2 建立迭代格式：xk./I n xk 2, k = 0,1,2,.，迭代函数为:(x) = I n x 2

4、1 1由于对任何xe,2e有：e：3乞(x)乞In 2 3：2e，而且|：(x) |：1x e所以，对任意初值 x0 e,2e都收敛。1又由于r )= .0，所以收敛阶等于 1。Ct13.由于X1=3, L=，所以e(1 一 L)呂k_lnIn L10.704X1- X0即,需要迭代 11 步。13四、(16 分)1.确定参数AO,A,A2,XI,使求积公式x2f(x)dx：Aof(-1)Af (xjA2f (1)具有1.由于fn :fnh2-fnfn2-fn23、k2 = fnh(- fn)(-2_2fn -2 fnV O(h )excy2exdxcydyo密o尽可能咼的代数精度，并冋代数精

5、度是多少？12 .利用复化 Simpson 公式 Sn计算计算定积分 Iexdx，若使 11 - Sn卜：；=10-4,问应取 n 为多少？并求此近似值。, 2221由AOA1 A2，-AO A1X1 A2= 0, AO A1X1 A2,35-A + Ax；+ A2= 0,可得：A。= A?=丄,A1 =Xj= 0 ,具有 3 次代数精度。5151 +丸yn+1 =yn +hfn3.3- 2h-(:62.n42880 10*1.75，所以取n = 2I：S21(ee 2e0.5- 4e0.25- 4e0.751.718318812五、(12 分)已知求解常微分方程初值问题：= f(x,y),a

6、,b(a)的差分公式：khyn十yn+(k1 k1= f(Xn, yn)k2= f (Xn+ah,yn+PhkJJO=A1.确定参数，使差分公式的阶尽可能高，并指出差分公式的阶。y=_5y0EX22. 用此差分公式求解初值问题 丿 八时，取步长 h=0.1,所得数值,(0)=0解是否稳定，为什么?；:f2,丸h /云花亠甘Cfn-(芒-3；:x. .22二Tnf22；x：xyfn O(h4)y(Xn 1)= y(Xn) y (Xn)hh；y (xn)62 6h2cfncfnTn +hf= +3 2 2h3: fn:営一2n2:Xh3-2d+ a ana 2:xy:yy (Xn) O(h4)2:fn:fn: fn 24n2一* (2fhO(h4)excycy于是，当 =2， =3J =3时，差分公式的阶最高，是 2