2008IMO中国国家集训队平面几何练习题解析

1、欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网几何讲义1 1. 一圆o切于两条平行线i1,i2,第二个圆LO1切i1于A,外切LIO于C,第三个圆LO2切12于B，外切LIO于D，外切LOi于E，AD交BC于Q，求证Q是CDE的外心。（3535 届 IMOIMO 预选题）证明 由AO1/BO2，知.AO1 BO2E，从而有AEO1- BEO2，即A, E,B三点共线。冋理由OF/BO2,可得B,D,F三点共线。又因为11EDB =180 - EO2B =180 - AOE二EAF,所以 代E,D,F四点 共圆

2、，22BELBA=BD_BF，即点B在L O1与LO的根轴上。又因为C在L。1与LO的根轴上，所以BC是LQ与LO的根轴。同理AD是L O2与LIO的根轴，因此Q为根心，且有QC=QD=QE,即Q是CDE的外心。2 2.非等腰ABC的内切圆圆心为I,其与BC,CA,AB分别相切于点A B1Q,AA1, BB1分 别交圆于A2,B2,AABQ中.GAB C1B1A的角平分线分别交B1G,AC1于点A3, B3,证明（1 1）A2A3是B1A2C1的角平分线；（2 2）如果P,Q是AAA和B1B2B3的两个外接圆的交点， 则点I在直线PQ上。（0101 年保加利亚）证明（1 1 ） 因为 厶AGA

3、2s. AA1C1,AB1A2S.AA1B1，所 以有GA2AAAA2B1A2C1A2GAC1A322，从而有上2g伫，即A2A是.3A2G的角平分线。GAiACiABiBiAiBiA2BiAiBiA3A欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网（2 2）设.AA2A3的外心为O，连OI , IA2,OA2,OAi，则01 _ AiA2。由于.AiA3A2=iACiACiA2A3. GAA=AiCiACiA,Bi. CiAiBi=90ACiA2，所以1A2OIA2OA =i80 - AA3A2=90 -

4、ACA =90 - AJO，于是有 她0 = 90，2即IA2与LIO相切于A?。同理IB2与-BiB2B3的外接圆相切于B2，从而I在LIO与-BiB2B3的外接圆的根轴上，即I ,P,Q三点共线。3 3已知圆O外一点X，由X向圆O引两条切线，切点分别为 代B，过点X作直线，与圆O交于两点C,D，且满足CA_ BD，若CA,BD交于点F,CD, AB交于点G,BD与GX的中垂线交于点H，证明X,F,G, H四点共圆。（0505 年日本）欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网。设UGC的外接圆与BF交

5、于点H，则有= XH,即H在GX的中垂线上，从而有H丄H，因此X,F,G, H四点共圆。4 4若P,Q到ABC的三个顶点A,B,C的距离的比都是l:m:n，且l,m, n互不相等，则直线PQ过ABC的外接圆的一条直径DE。若设ABC的外接圆圆心为O圆上。连FG, FX，有.GD二DCL G上, 其中证明证明法欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网AG与LI G的交点为K, L,且代K,C, L为调和点列。设L O与LI G交于点FGALGc =GK2=GF2，因此GF与LI O相切于点F，于是OF也与

6、L G相切于点F。同理,欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网由于P,Q到B,C的距离之比为m: n，贝UPQ在阿波罗尼斯圆M上，设LIO与LM交于点H，于是OH与LM相切于点H。因为OH =OF，所以O在LG与LM的根轴上，从而有O,P,Q三点共线。设PQ与L O交于点D, E，则OD2=OF2=OPLOQ，即D,P,E,Q为调 和点列。APBP CP法二 由于，则ABC的外接圆就是关于点P,Q的阿波罗尼斯圆，从而AQ BQ CQO在直线PQ上，且有OPLOQ=OD2。5 5已知圆心分别为Q ,。2

7、的圆1,2外切于点D，并内切于圆，切点分别为E, F，过点D作1,匕的公切线I。设圆的直径AB垂直于I，使得A,E,O1在I的同侧，证明AO1,BO2, EF三线交于一点。（第 4747 届 IMOIMO 预选题）证明 设AB的中点为O,E为圆与圆的位似中心， 由于半径OBOjD分别垂直于I, 所以OB/OQ，且有E, D, B三点共线。同理F, D,A三点共线。设AE, BF交于点C,由于AF _ BC, BE _ AC，所以D是ABC的垂心，于是CD _ AB, 这表明C在直线l上。设EF与直线I交于点P,下面证明点P在直线AO1上。设AC与圆 r 的第二个交点为N, 则ND是圆的直径，由

8、梅涅劳斯定理的逆定理，要证A,O1,P三点共线，只要证CALNO1_DP =1。因为NOj=OjD，所以只要证_CA = _CP。设I与AB交于点K，则AN O1D PCAN PD欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网-CK，从而只要证-CK，即证C,P,D,K是调和点列。连AN KDPD KDC, X, F, B是调和点列，因此有C,P,D,K是调和点列。AB/CD,在其两腰AD, BC上分别存在点P,Q,使得 APB =. CPD,. AQB = CQD,证明点P,Q到梯形两对角线的交点的距离相等

9、。（2020 届全俄）证明设.APB与CPD的外接圆交于点Q1,贝U有CQfBQf = 180 -/CDP 180 -/BAP = 180，所以点Q1在BC上。又因为CQrD - CPD - APB = AQ1B，所以Qr=Q。设二APB与二CPD的外接圆半径分别为AB 2Rsin a R.R1, R2，乙APB =，贝V-,因此AC与BD的交点O是CD 2R2sin a R2APB的外接圆与CPD的外接圆的位似中心，设APB与厶CPD的外接圆的圆心分别为01,。2，贝y O在。1。2上，且。1。2是PQ的中垂线，于是有OP =OQ。7 7圆S,S2,S3均与圆S外切，切点分别为A,B1,C1

10、，并且它们还分别与ABC的两条边相切，证明AA1,BB1,CC1三线共点。（2020 届全俄）AP交BC于点X，则6 6 .设ABCD是梯形，欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网证明 设:ABC的内切圆的圆心为I，半径为R,L S,_ S1J S2S3的半径分别为LI* - S，从而有A, Ai, P在一条直线上。同理B, Bi, P与C,Ci, P均三点共线，即AA, BBi,CCi三线共点。& &给定一个半圆周，其直径为AB，圆心为0，直线与半圆周相交于点C, D，且与AB的延长

11、线交于点M，其中MB cMA,MD cMC。设AAOC,ABOD的外接圆O1,O2的第二个且K在PQ上，所以只要证P,Q,M三点共线。由于0P是L O1的直径，因此PA与LO相切。同理PC,QB,QD也均与L0相切。过P作QD的平行线，与DC的延长线交于点E,则-CEP二-MDQ二-ECP,所以PE二PC二PA，即PAE与QBD均是等腰三角形，且对r, ri,PSrS。设P为SI上的一点，且满足亍R，则H2,3，则L I-交点为K，证明欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网应边平行，因此对应顶点的连线

12、交于一点，即P,Q,M三点共线。法二 设AC, BD交于点N,AD, BC交于点H，则H为NAB的垂心。连MH，分别 交AC,BD于点X,Y，则NC,XA及N,D,Y,B为调和点列，所以MH是N关于L O的极线， 于是ON _ MH。同理0M _ NH，且0是.HMN的垂心。由蒙日定理得0K过点N，于是 有MH _OK。设NH与AB交于点T,则NH NT二NC NA NK NO，所以K,O,T,H四 点共圆，.HKO =/HTO=9O，于是有M,K,H三点共线。法三 延长OK至S,则.MKO = 90二.SKD . DKM二90二.DBO . DKM =90二.DKM二.DAM二K, A, M

13、 , D四点共圆 二.KAB二.CDK。因 为C, A关 于PO对 称， 所 以 有CDK =/CDB- KDB h180 - CAB - 180 - KOB j=/KOB- CAB设：AOB, .：BOC,：COD,：AOD的 垂 心 分 另U为K丄,M,N则代k ,N ; C, M：L ; B,均三点共线L且四边形MKLM N是平行四边形，并满 足K L , K N分别垂直于AC,BD。设.AOB二,不妨假设：90，则.OEL = 90 -:,行四边形，并满足KL, KN分别平行于AC, BD,KL =M,KN二BD，从而有33KLKN BD= /KCA- CABOCA OCK - CAB

14、 OAC KAO-. CAB KAB。9 9设点O是凸四边形ABCD的对角线的交点，过厶AOB的重心与COD的重心引一条直 线，过BOC的垂心与.AOD的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。（6 6 届全苏）欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网所以有K L cos 90-巒1= AC cos，即K L = AC cot:。同理K N = BD cot:，于是有欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网旋转9

15、0，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有K M _ LN丄N _ KM。1010.已知四边形ABCD是等腰梯形，ADAD / BCBC,把厶ABC绕点C旋转某一角度得到A B C, 证明线段AD,BC,BC的中点在同一条直线上。（2323 届全苏）证明 将.BCB平移DC得；EFG，则A D,BC,BC的中点经位似变换H D,2变为AEG =90一FEG=90180一.EFG=12 2角梯形ADFE的腰DF的中点到两个直角顶点的距离相等,1以C为圆心，以CA为半径的圆上，从而有2ACAEA，于是可得A,E,G三点共线。1111已知M为ABC内一点，由M分别向BC,CA,

16、AB作垂线，垂足分别为A , B ,C。由A, B,C分别向BC ,CA, AB作垂线，证明这三条垂线交于一点M 若ABC的外心为O, 则M ,O,M三点共线，且O是线段MM的中点。KL二KL。因此平行四边形K N BD KNKLMN与KLM N相似，若把其中的一个平行四边形A；E,G连EB交AD于K,由于BE = BK = BA,因此有EA_ AD,EA_ EF,从而11EFGBCACAI为直22欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网证明 法一 连M0，并延长至M，使得0是线段MM的中点。设AM的中

17、点为0,则0为由代C , M , B所确定的四边形的外接圆的圆心，因此001 BCI又因为AM II00，所以有AM _ BC。同理可得BM _ CA：CM _ A B。法二 分别延长MA；MB ,MC至D,E,F，使得BC,CA, AB分别是MD,ME,MF的中垂 线，所以AE二AM二AF,即A是.MEF的外心。同理，B,C分别是.MDF , AMDE的外心。 由于由 代B,C分别向BC,CA,AB作的垂线就是由A,B,C分别向EF,FD,DE作的垂线，因 此也就是EF,FD,DE的中垂线，而EF, FD ,DE的中垂线交于一点，且就是DEF的外心，即 点M仁又因为M是ABC与DEF的位似中

18、心，且位似比为2，所以M ,0,M三点共线，且0是线段MM的中点。1212.已知P,Q分别是ABC的边AC, AB上的点，BP,CQ相交于点D，证明ABD和ACD的内切圆外切的充分必要条件是四边形APDQ有内切圆。（9999 年保加利亚）欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网证明 充分性：由ABD和ACD的内切圆外切，可得DB_DC=AB_AC。作ACQ的内切圆，过B作该圆的切线BM，交CQ于D1。由于AB - AC = DjB - DjC，因此有DB - DC = D1B - D1C，即D = D1

19、。必要性：设ABD和ACD的内切圆与AD分别切于点NN，因为D B- D GA-B，所以有DN = DN1。1313.已知单位面积的凸四边形ABCD及其内一点P，证明这 5 5 个点构成的三角形中必有一 个的面积不超过2已，并证明这个上界是最小的。2证明 假设两条对角线交于点O,不妨假设P点在O B C中o假设P A C- PBD P, B C的面积分别为S,S2,S3,S4,PA, PB,PC,PD分别为a,b,c,d,APB=、，BPC= ?,CPD=耳APD，因为1sin：sin -sin : sincos： - cost；亠亠cos亠,！ cos : - 门21 .cos： -cos

20、- sin二亠心sin,2所以有S.PABLS.PCD二S1S2 S3S4。若3,S2,S3,S4均大于亍1，则1 = SABCD =SPABS.PCDS3S4 -2=S.PABUPCDS3S41,欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网矛盾。欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网L1C LC LC L1CABJAL-ABJALACLAKACLAL_a2. AN AN _ b2M1A MA c2;N1NB a2

21、由塞瓦定理，可得芝誥培，于是有爭箴鴛二1，由塞瓦定理的逆定理可得AL1,BM1, CN1交于一点。当等腰梯形ABCD满足AD平行于BC,AD-1,BC =1，高为、2,P在对称轴上,所以上乙是最小的。21414.已知LABC的重心为G,1证明AG, BG,CG分别关于.A,. B,. C的角平分线对称的三条直线交于一点P;2若P在三条边BC,CA, AB上的投影分别为D,E,F，证明P为|_DEF的重心。证明1设L ABC的三条中线分别为AL,BM,CN,AG,BG,CG关于.A,. B,. C的角平分线对称的三条直线分别与BC,CA, AB交于点L1,M1,N1，设BC =a,CA =b,A

22、B = c，则且到AD的距离为 1 1。此时S.pAD = SPBC-S.pAC-S PBDABCDSABL,SACL欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网戲LC=BL二Sin A，由于A,E,P,F;B,D,P,F;C,D, P,E均四点共圆，所以sin C AL ALsi n BFEP二PAF二：，EFP二PAE二A ：, FPK二B, EPK二C，由正弦定理得FK

23、=sin FPK=si nNEFPsi n(NA -asin/Bsin BPKPK = =_ _sin(NA a ) sin ZCsin-KE = KE，于是K是EF的注 用塞瓦定理的三角表示（角元塞瓦定理）更容易得到。2设DP与EF交于点K，. CAL二，由正弦定理可得欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网中点，进而可得P是L DEF的重心。1515已知ABC的边AB上有两个点P,Q，证明APC与BQC的内切圆半径相等的充分必要条件是AQC与BPC的内切圆半径相等。证明 先证明一个引理：设ABC的边

24、BC上的高为h,内切圆半径为 r,r,则h_2r丄B Ctantan h22DE与圆I相切，且分别与AB,AC交于点D,E,则设ABC的内心为I,作BC的平行线h -2rhDEBCr cotanr cotrcotcotcotNB=t an欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网h2*h2r2厶AZAPCZB NBQCri=r2tan tantan tanhh2222丄ZA /AQC丄ZB NBPCh 2r3h 2r4二tan tantan tan-一 二r32222hh31616.已知圆内接五边形ABC

25、DE满足ABC的内切圆半径等于AED的内切圆半径,ABD的内切圆半径等于AEC的内切圆半径，证明ABC AED。（9898 年保加利亚）A则欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网证明 设也ABC,AAED,AABD,AAEC的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4，外接圆半径为为R,不含其它顶点的弧AB, BC,CD,DE, EA分另U为2a,2 b,2c,2d,2e,贝U有cosa cosbcos a b =1計Rsgcos e dcosa cos b c cos e d =1=cose cos d

26、 c cos a b。R欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网两式相减得cosb cos d c = cosd cos b c，从而有cosb-d= cosd_；_b，舍去一种情况后可得b二d。代入第一个式子得cosa - cos b e = cose - cos a b，类似地可得a =e。因此有:ABC也厶AED。ABCD,AB, DC交于点P,AD ,BC交于点Q,O为四边形ABCD二/DOQ，证明.AOB . COD =180。（0505 年保加利亚 BMOBMO 选拔）sin COD一二QL

27、OB_PD。设AC与PQ交于点L,由梅涅劳斯定理，sin BOC -：PC OD QBAQDP CL _1CQ BPAL于是有Sind七AODyCODxL。积化和差QD PC LA QB PA LCsin,AOB sin律BOC-：并化简后得cos AOD - COD 2：=cos AOB - BOC 2：，于是可得AODCODAOB（其中另一种情况不存在），从而有AOBCOD =180。1717.已知凸四边形内一点，且有.BOP证明设.BOPQD sAOD AQ ,从而有-DOQ =：，贝U竺sin ZOQD OD sin NOQDOAsjn:ZAOD AQ| OD si noOA QD类似

28、地，有sinAOB二竺日，因此有sinOA BPsinAOD斗旦耳理，由sin AOB APOB Q Dsin BOQ BQ sin COD：QC苛 ，可sin OQB OB sin OQBOC空：.ZCOD-:sin BOQQC | OBOC BQsin : Z BOC一：si n DOPOC PD欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网1818.D为AG的中点，在AG的同侧作全等的四边形ABCD,DEFG，使它们都有内切圆，圆心分别为0,1，证明AO,CE,GI三线共点。（3030 届加拿大训练题）

29、证明 作位似变化ABCD-A2AMNG，则有GFED-l GNMA，于是C是1AN的中点，E是MG的中点。设AO,GI交于点K,由OD GK，且OD/GK，可得K2是四边形AMNG的内切圆的圆心。由牛顿定理，可得C,K,E三点共线。1919已知圆O1,O2,O3,O4按顺时针的顺序内切于圆O,设圆Oj,Oj1G：j 4的外公切线长为lij,证明依次以112, 123,34,14为边长，以113,24为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。证明 设圆O,O1,O2,O3,O4的半径分别为R,r1,r2,r3,r4，圆O1,O2,O3,O4与圆O的切点分别为A, B,C, D,OOi= a,OO2二

30、b,OO3二c, OO4= d,乙O1OO : , O2OO3二-,O3OO4=巧O1OO4 =，因为a r b r2，所以有2222222I12=OQ2 -A - a i二a b -2abcos：- a - bi =2ab 1 - cos：二4absin, 即2l12=2jaSsin。同理可得123,134,1312的表达式。由托勒密定理的逆定理知，只要证2l12l34l23l14=l13l24。代入Iij的表达式，只要证欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网a V P d a + P P + Y,

31、-,sin sin sin sin sin sin，即ABLCD BC AD二AC BD。2 2 2 2 2 2 - -2020.设M是=ABC内一点，D,E,F分别是ABCMCAM JABM的外心，证明SDEF- SABC，并确定等号成立的条件。证明 设MA,MB,MC与EF, FD,DE分别交于点A1,B1,C1，DEF的外心为O,外接圆欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网半径为R，OM -d。因为M在圆O的内部，由欧拉关于垂足三角形的面积公式，有欢迎光临中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网系列资料WWW. Z X S X .COM版权所有中学数学信息网为DEF的外心。此