上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷（解析版）

1、2021-2021学年上海市复旦大学附中高一上期末数学试卷一、填空题每题4分，共48分1设集合M=1，0，1，N=a，a2，那么使NM成立的a的值是2不等式，当且仅当a=时，等号成立3函数gx=x，那么函数fx=gx+hx的解析式是fx=4求值：=5函数的定义域为6函数y=x2+1x1的反函数为7设函数fx=ax2+bx+1a、bR，假设f1=0，且对任意实数x均有fx0成立，那么a+b=8函数fx=ax2+bx+6满足条件f1=f3，那么f2的值为9假设函数y=的反函数的图象的对称中心是点1，3，那么实数a的值为10在同一平面直角坐标系中，函数y=gx的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称

2、而函数y=fx的图象与y=gx的图象关于y轴对称，假设fm=1，那么m的值是11设fx是连续的偶函数，且当x0时，fx是单调的函数，那么满足的所有的x的和为12定义两种运算：ab=，那么函数fx=的奇偶性为二、选择题每题4分，共16分13“a=0是“函数fx=x2+ax在区间0，+上是增函数的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件14假设函数fx在4，+上为减函数，且对任意的xR，有f4+x=f4x，那么A f2f3B f2f5C f3f5D f3f615函数fx=xlog2x，假设实数x0是方程fx=0的解，且0x1x0，那么fx1A 恒为负值B 等

3、于0C 恒为正值D 不大于016假设一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，那么称这些函数为“孪生函数那么函数解析式为y=2x2+1，值域为3，19的“孪生函数共有A 15个B 12个C 9个D 8个三、解答题17loga484=m，loga88=n，试用m、n表示log21118fx=1作出函数的大致图象；2求不等式fxf1的解集19如果函数y=x+的最小值为6，求b的值20通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验说明，用

4、fx表示学生掌握和接受概念的能力fx的值越大，表示接受能力越强，x表示提出和讲授概念的时间单位：分，可以有以下公式：fx=1开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？2开讲5分钟与开讲20分钟比拟，学生的接受能力何时强一些？3一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直到达所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21函数fx=为奇函数，1求a的值；2求fx的反函数f1x；3解关于x的不等式：f1xlog222函数，其中x01当0ab且fa=fb，求ab的取值范围；2是否存在实数a、bab，使得函数y=fx的定义域和值域都是a，b，假设存在，求出a、b的值，假

5、设不存在，说明理由；3假设存在a、bab，使得y=fx的定义域为a，b，值域为ma，mbm0，求m的取值范围2021-2021学年上海市复旦大学附中高一上期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题每题4分，共48分1设集合M=1，0，1，N=a，a2，那么使NM成立的a的值是1考点：集合的包含关系判断及应用专题：集合分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取1，0，1，看得到的集合N能否满足NM，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值解答：解：NM，N的元素都是M的元素；假设a=0，1时，显然不满足集合的互异性；假设a=1，那么N=1，1，满足NM；a的值是1故答案为

6、：1点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质2不等式，当且仅当a=±1时，等号成立考点：根本不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用根本不等式的性质即可得出解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立故答案为：±1点评：此题考查了根本不等式的性质，属于根底题3函数gx=x，那么函数fx=gx+hx的解析式是fx=x+，x，且x0考点：函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：根据，求出函数gx，hx的定义域，进而可得函数fx=gx+hx的解析式解答：解：函数gx=x，x，hx=，x，且x0函数fx=gx+hx=x+，x，

7、且x0故答案为：x+，x，且x0点评：此题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个根本函数定义域对复合函数定义域的影响4求值：=4考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算解答：解：=故答案为：4点评：此题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法那么的记忆与运用，是根底题5函数的定义域为0，7考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法专题：计算题分析：根据使函数的解析式有意义的原那么，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满

8、足：解得：0x7故函数的定义域为0，7故答案为：0，7点评：此题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答此题的关键6函数y=x2+1x1的反函数为x2考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数解答：解：由y=x2+1x1，得x2=y1，x=y2，x，y互换得：x2，函数y=x2+1x1的反函数为x2，故答案为：x2点评：此题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是根底题7设函数fx=ax2+bx+1a、bR，假设f1=0，且对任意实数x均有

9、fx0成立，那么a+b=3考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：由f1=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有fx0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：函数fx=ax2+bx+1a、bR，f1=0，ab+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有fx0成立恒成立，即a+124a0，可得a120恒成立a=1，b=2；a+b=3故答案为：3点评：此题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质8函数fx=ax2+bx+6满足条件f1=f3，那么f2的值为6考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法专题：计算题分析：由题意应对a进行分类：a=0时和

10、a0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值解答：解：当a=0时，f1=f3，函数fx是常函数，即a=b=0，fx=6，那么f2=6，当a0时，那么函数fx是二次函数，f1=f3，fx的对称轴是：x=1，f2=f0=6，综上得，f0=6故答案为：6点评：此题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f2=f0求解，易错点易忘对a进行讨论9假设函数y=的反函数的图象的对称中心是点1，3，那么实数a的值为3考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：由题意可得函数fx=的对称中心是3，1，再由函数的解析式可得对称中心是a，1 ，比拟可

11、得a的值解答：解：由题意可得函数fx=的对称中心是3，1，又函数fx=1+的对称中心是a，1 ，a=3，故答案为：3点评：此题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为a，1是解题的关键，是根底题10在同一平面直角坐标系中，函数y=gx的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称而函数y=fx的图象与y=gx的图象关于y轴对称，假设fm=1，那么m的值是考点：反函数专题：计算题分析：由函数y=gx的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，那么y=gx的图象与y=ex互为反函数，易得y=gx的解析式，再由函数y=fx的图象与y=gx的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y

12、=fx的解析式，由函数y=fx的解析式构造方程fm=1，解方程即可求也m的值解答：解：函数y=gx的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称函数y=gx与y=ex互为反函数那么gx=lnx，又由y=fx的图象与y=gx的图象关于y轴对称fx=lnx，又fm=1lnm=1，故答案为点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有fx的图象上有a，b点，那么b，a点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于 X轴对称，有fx的图象上有a，b点，那么a，b点一定在函数gx的图象上；如果两个函数图象关于 Y轴对称，有fx的图象上有a，b点，那么a，b点一定在函数gx的图象上；如果两个函数图象关于原点

13、对称，有fx的图象上有a，b点，那么a，b点一定在函数gx的图象上11设fx是连续的偶函数，且当x0时，fx是单调的函数，那么满足的所有的x的和为8考点：奇偶性与单调性的综合专题：计算题分析：fx为偶函数fx=fx，x0时fx是单调函数fx不是周期函数所以假设fa=fba=b或a=b，再结合条件可得正确答案解答：解：fx为偶函数，且当x0时fx是单调函数假设 时，即 或 ，得x2+3x3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=3或x3+x4=5满足 的所有x之和为3+5=8，故答案为8点评：此题属于函数性质的综合应用，属于中档题解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数

14、形结合的思想方法的应用12定义两种运算：ab=，那么函数fx=的奇偶性为奇函数考点：函数奇偶性的判断专题：函数的性质及应用分析：利用新定义把fx的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可解答：解：由定义知fx=，由4x20且|x2|20，得2x0或0x2，即函数fx的定义域为x|2x0或0x2，关于原点对称；此时fx=，那么fx=fx，故fx是奇函数故答案为：奇函数点评：此题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决此题的关键二、选择题每题4分，共16分13“a=0是“函数fx=x2+ax在区间0，+上是增函数的A 充分而不必要条件B 必要而不

15、充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间分析：函数fx=x2+ax在区间0，+上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件解答：解：函数fx=x2+ax在区间0，+上是增函数，0，a0，“a=0“a0，反之不成立应选A点评：此题考查充要条件的判断，属基此题14假设函数fx在4，+上为减函数，且对任意的xR，有f4+x=f4x，那么A f2f3B f2f5C f3f5D f3f6考点：抽象函数及其应用分析：因为所给选项为比拟函数值的大小，所以要根据条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此

16、分析f4+x=f4x的含义也就成了解答此题的关键解答：解：f4+x=f4x，fx的图象关于直线x=4对称，f2=f6，f3=f5，又fx在4，+上为减函数，f5f6，f5=f3f2=f6应选D点评：1fa+x=fax函数fx的图象关于直线x=a对称；2fa+x=fax函数fx的图象关于点a，0对称；3fa+x=fbx函数fx的图象关于直线x=对称；4fa+x=fbx函数fx的图象关于点对称特别地，当a=b=0时，有fx=fx及fx=fx，fx分别表示偶函数与奇函数15函数fx=xlog2x，假设实数x0是方程fx=0的解，且0x1x0，那么fx1A 恒为负值B 等于0C 恒为正值D 不大于0考

17、点：函数单调性的性质专题：计算题；函数的性质及应用分析：由于y=x在x0上递减，log2x在x0上递增，那么fx在x0上递减，再由条件即可得到答案解答：解：由于实数x0是方程fx=0的解，那么fx0=0，由于y=x在x0上递减，log2x在x0上递增，那么fx在x0上递减，由于0x1x0，那么fx1fx0，即有fx10，应选C点评：此题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于根底题16假设一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，那么称这些函数为“孪生函数那么函数解析式为y=2x2+1，值域为3，19的“孪生函数共有A 15个B 12个C 9个D 8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值

18、域；函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：根据“孪生函数的定义确定函数定义域的不同即可解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=3，即定义域内1和1至少有一个，有3种结果，3和3至少有一个，有3种结果，共有3×3=9种，应选：C点评：此题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数的定义是解决此题的关键三、解答题17loga484=m，loga88=n，试用m、n表示log211考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用分析：把利用对数的运算性质变形求解loga2，loga11的值，然后利用对数的

19、换底公式得到log211解答：解：loga484=m，即，又loga88=n，loga8+loga11=n，即3loga2+loga11=n，联立得：，log211=点评：此题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是根底的计算题18fx=1作出函数的大致图象；2求不等式fxf1的解集考点：其他不等式的解法；函数的图象专题：不等式的解法及应用分析：1分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象2结合函数fx的图象可得f3=f1=f3=0，数形结合可得不等式fxf1的解集解答：解：1对于函数fx=，当x0时，fx=x3x1；当 x0时，fx=+=，故函数fx的图象如下图2结合函数fx的图象可得

20、f3=f1=f3=0，数形结合可得不等式fxf1的解集为x|3x1，或x3点评：此题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，表达了转化、数形结合的数学思想，属于中档题19如果函数y=x+的最小值为6，求b的值考点：根本不等式专题：不等式分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值解答：解：y=1=，令y0，解得：x，令y0，解得：x，函数在0，递减，在，+递增，函数在x=时取得最小值，+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，x4，不合题意，x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3点评：此题考查了函数的单调性、最值问题，考查不

21、等式取最小值时的条件，是一道中档题20通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验说明，用fx表示学生掌握和接受概念的能力fx的值越大，表示接受能力越强，x表示提出和讲授概念的时间单位：分，可以有以下公式：fx=1开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？2开讲5分钟与开讲20分钟比拟，学生的接受能力何时强一些？3一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直到达所需接受能力的状态下讲授完这个难题

22、？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用专题：函数的性质及应用分析：1通过分别求出当0x10、10x16、x16时各自fx的最大值即得结论；2通过计算f5与f20的大小即得结论；3通过令fx=55，计算出0x10、x16时各自的解并比拟两个解的差的绝对值与13的大小关系即可解答：2+2.6x+43=0.1x132+59.9，故fx在0x10时递增，最大值为f10=0.110132+59.9=59，当10x16时，fx59，当x16时，fx为减函数，且fx59，因此，开讲10分钟后，学生到达最强接受能力为59，能维持6分钟时间2f5=0.15132+59.9=53.5，f20=3×

23、20+107=4753.5，开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些3当0x10时，令fx=55，解得x=6或20舍，当x16时，令fx=55，解得x=17，因此学生到达含超过55的接受能力的时间为176=1113，老师来不及在学生一直到达所需接受能力的状态下讲授完这个难题点评：此题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题21函数fx=为奇函数，1求a的值；2求fx的反函数f1x；3解关于x的不等式：f1xlog2考点：反函数；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：1利用函数的奇偶性，得到fx=fx，解方程即可求a的值；2根据反函数

24、的定义即可fx的反函数f1x；3根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可解答：解：1函数的定义域为x|x0且fx是奇函数，fx=fx，即fx+fx=0，即+=0，那么+=0，即a2x+a2x+1=0，那么1a12x=0，x0，1a=0即a=1此时fx=2由y=得2x1y=2x+1即y2xy=1+2x，即y12x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，y1，那么2x=，由2x=0得y1或y1，即函数fx的值域为，11，+，由2x=，得x=log2，即fx的反函数f1x=log2，x，11，+；3f1xlog2log2log2假设k0，那么x+10，即x1，x，11，+；此时

25、x1，此时不等式等价为，即，那么0x1k，即1xk+1，假设k0，那么x+10，即x1，x，11，+；此时x1，此时不等式等价为，即，那么x1k，即1xk+1，综上假设k0，不等式的解集为1，1+k，假设k0，不等式的解集为1+k，1点评：此题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度22函数，其中x01当0ab且fa=fb，求ab的取值范围；2是否存在实数a、bab，使得函数y=fx的定义域和值域都是a，b，假设存在，求出a、b的值，假设不存在，说明理由；3假设存在a、bab，使得y=fx的定义域为a，b，值域为ma，mbm0，求m的取值范围考点：函数的值域；函数的定义域及其求法专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：1讨论a，b的范围，确定a0，1，b1，+，去绝对值，得到等式，再由根本不等式，