两个极限的简单证明

1、两个重要的极限的证明引言:两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，第一个重要极限sin xlim1的证明，现行教材中x >0 xsin x通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式cosx1，再用夹逼原理证明得到结论。用极限理xsin xsin x论计算圆或扇形面积都涉及到lim1的结论运用，或者运洛比达法则证明极限lim1，要利X ：o xx >0 xsin x用导数公式 si nx二cosx，而这个公式恰是利用lim1，因此，这些方法都有循环证明的嫌疑;第二个主要极限lim x -X-0-=e的证明，通常作法是，先考虑x取正整数n而趋于：的情形，设x极限存在, 的证明。，用牛

2、顿二项式证明 ；单调有界，再用单调有界数列必有极限的准则，证明数列n方法比较复杂，特别是有界性的证明需要一定的技巧，所以本文只对两个重要极限作一个简单lim sinx =1x 0 x证明:TT如图(a)作单位圆。当 0<x<_时，显然有 0A面积 <扇形OAD面积< OAB面积。2111即一 sin x x tanx, sinx<x< tanx。除以 sinx，得至U 1 : :222si nx cosx2 2sin x或1cosx。(1)由偶函数性质，上式对x：0时也成立。x2故(1)式对一切满足不等式 0 ：:|x|的x都成立。2Asin x由ym co

3、sx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得叽=曰。函数f(x)= 沁 的图象如图(b)所示。x2.证明：lim(1 存在。n匚n证明：先建立一个不等式，设 b>a>0,于是对任一自然数 n有b ：(n 1)bn 或 bn1an1 ：(n 1)bn(a)，整理后得不等式 b -axan 1bn( n 1)a - nb。(1)令 a=1 + - , b=1 + 丄，将它们代入(1 )。由于(n +1)a nb = (n+1)(1+)n(1 + 丄)=1, n 1nn 1n1 )n1 (1，这就是说(1)n为递增数列。nn故有(1 n，i再令a=1,b=1 +丄代入（1）。由于2n111 n

4、 11 n(n 1)a nb=( n 1) n(1)，故有 1(1),2.(1)。2n 22n 22n11不等式两端平方后有 4.（1一）2n，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列（1 -）n2nn是有界的。于是由单调有界定理知道极限iim（1 -）n是存在的。3.证明：xm（1）% =e。证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：1 x1 xlim （1 亍=e （1）lim （1/ =e（2）XM：xx现在先应用2中数列极限lim（11）" =e，证明（1）式成立。设 n <x<n+1，则有 11 1 <1 1 及（1 -）n :（1 1）

5、x :：: （1）n 1,（3）n +1x nn+1xn作定义在1 , +：）上的阶梯函数。f（x）=（1）n, n < x< n+1, g（x）=（1_）1, n < x< n+1。n+1n1由(3)有 f(x)< (1 )x : g (x) , x 1 ,x:=）。由于)n =l imn 11n*(1+ = )1 小1 =1 -n 1丄）1 =”m（1）n（1）=e，根据迫敛性定理便得（1）式。现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1 i)xxw pF ±7 亡产。士）因为当xt-时，有y-1 t +8,故上式右端以e为极限，这就证得以后还常常用到e的另一种极限形式1叫(1 +a)a =e , (4)因为,lim (1 亠)x = e。x . x1令a二一,则x和aT0是等价的,x1结语：两个重要极限是极限理论中的重要内容，两个重要极限的证明是学习的重点，极限不及时基本的数学 基础，而且是数学分析的基石，所以对于我们学习数学专业的学生尤其重要。我们不仅要记住两个重要极 限及其推广形式，还要能熟