导数定义及公式

1、导数:1. 若 f (x) =c,则f ' (x)=2. 若 f (x)=xn (n e Q * ),贝lf ' (x)二3. 若 f (x)=sin x,则f ' (x)=4. 若 f(x)二cosx,则f(x)二5. 若 f (x)= ax,则f ' (x)=6. 若 f (x)= ex,则f ' (x)=7. 若 f (x)= logaX,则f * (x)=8. 若 f (x)= Inx,则f ' (x)二9. f (x)± g(x)】二10. f (x) . g(x) 1 =12. cf (x)=13. y 二 f (u) ,u

2、 二 g(x),则 y 二f (g (x)；yx =sin 2x二(e-x)#导数：-lim _-般地，函数yh (x)在x二xo处的瞬时变化率是"心。+3-"。)，称函数y-f (x)在x-xo处的导数，记xTOaxTOAx作：f 1 (x)或y二 X0o 即 f ' (xo)_ I im _ I im f(xg + Ax) - f (xo)Ax->0 * 4xT0Ax#函数y=f (x)在点xo处的导数的几何意义、就是曲线yh (x)在 点P (xo, f (xo)处的切线斜率，也就是说曲线y二f (x)在点P(xo, f (xo)处的切线斜率是f 

3、9; (xo) o相应地，过p点的切 线方程为：y-f (xo)二f ' (xo) (x-xo)#导函数：如果函数yh (x)在开区间(a, b)内每一点都可导， 就说函数f (x)在开区间(a, b)内可导。若函数f (x)在开区间(a, b)内可导，则f (x)在(a, b)内每一点的导数构成一个新 函数，把这一新函数叫做f (x)在开区间(a, b)内的导函数(简 称导数)记作f ' (x)或y '或y '乂。即f_ I im A y _' f(x + /x) _ f (x)xTOAx-*OAx一、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在

4、某个区间(a, b) 内，如果卡(x)> 0,那么函数y=f (x)在这个区间内单调递增；如果f ' (x)< 0那么函数y二f (x)在这个区间内单调递减。1 . 如果于(x)> 0,则f (x)严格增函数；如果f *(x)< 0,则f (x)严格减函数。2. 如果在(a, b)内恒有f * (x) =0,那么f (x)在(a, b)内是常数。3. f * (x) > 0是f (x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件。求函数单调区间的步骤：1 .确定y二f (x)的定义域；2. 求导数f ' (x),求出f * (x) =0的根；3. 函数的无

5、定义点和f * (x) =0的根将f (x)的定义域分成若 干区间，列表考查这若干区间内f ' (x)的符号，进而确定f(x)的单调区间。注意：A.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，明|! 个这些单调区间不能用“U”连接，只能用逗号或“和”字隔 开。B. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。二、函数的极值：1定义，设函数f (x)在点X。附近有定义，如果对X0附近的 所有点，都有f (x)< f (xo),则称f (xo)是函数f(X)的一个极大值；如果对X0附近的所有点，都有f(X)> f (xo),则称 f (xo)是函数f (x)的一个

6、极小值。极大值点、极小值点统称极值 点，极大值和极小值统称极值。2 判断f(xo)是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f * (x)；第二步，求方程f * (x) =0的根；第三步，检查f ' (x)在f * (x) =0的根左右两侧的值的符 号1 如果“左正右负”，那么f(X)在这个根处取到极大值；2 如果“左负右正”,那么f (x)在这个根处取到极小值；3. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f (x)在这 个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程f ' (x) =0的根，顺次将函数的 定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。函数在极值

7、点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值 点.如函数f (x) =x3,点x=0就不是极值点，但f ' (0)=0；函数的极大值不一定大于极小值;在给定的一个区间上.函数可能有若干个极值点, 也可能不存在极值点。三函数的最值:设函数yh (x)是定义在区间a, b上的函数，yh (x)在 区间(a, b)内有导数，求y二f (x)在a, b上的最大值与最小 值，其步骤为：先求函数y=f (x)在(a, b)内的极值；再将函数y=f (x)的 各极值与端点的函数值f (a)、f (b )比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值。如果在区间a, b上，函数yh (x)的图象是一条

8、连续不 断的曲线，则函数在a, b上一定能够取得最大值和最小 值，并且函数的最值必在极值点或端点处取得。提示：1. 若函数yh (x)在区间a, b上单调递增，则f (a)为最小值，f(b)为最大值；若若函数yh (x)在区间a, b上单调递减，则f (a)为最 大值，f (b)为最小值。2. 图象连续不断的函数在开区间(a, b)上不一定有最大(小)值，如果 图象连续不断的函数在开区间(a, b)上只有一个极值，则该极值就是最值。3. 函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论，其是极大值还是极小值， 只需将导数为0的点的函数

9、和端点函数值时行比较。在解决实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义2只 有一个点使f (x) =0的情形，如果在点有最大(小)值，不与端点比较也 能知道是最大(小)值。3不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出 来，而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。四.定积分及应用定积分定义：若函数yh (x)在区间a, b上连续用分点 a = xo < XJ < Xi - 1 Xi Xn=b,将区间a, b等分成 n个小区间，在每个小区间x1, Xi上任取点§： (j=1, 2,3, “),作和式( 4 i)=(§i),当too时，上述和式无限接近某

10、个常数，这个常数叫函数yh(x)在区间a, b上定积分，记作J：f (x) dxo即J：f (x) dx 二詛虫斗“字f(J)其中f (x)叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。定积分j：f (x) dx不是一个表达式，是一个常数。定积分几何意义：从几何上看，若函数yh (x)在区间a, b 上连续且恒有f (x)$ 0,那么定积分J：f (x) dx表示直线x二a,x二b (a =# b) , y二0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的 面积；定积分性质：J：kf (x) dx二kJ：f (x) dx(k为常数)J：f (x)± g(x)dx二J：f (x) dx ±

11、; J：g (x) dx(x) dx = - J；f (x) dx以上是线性性质.下面是对区间可加性J；f (x) dx =J：f (x) dx +J；f (x) dx (a < b < c)微积分基本定理一一牛顿一莱布尼兹公式一般地，如果f (x)在区间a, b上的连续函数，并且F ' (x)= f (x),那么(x) dx = F (b) F (a) o定积分的简单应用：、求平面图形面积的应用1. 定积分与平面图形面积的关系通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也 可为0.(1 )当对应的曲边梯形位于X轴上方，定积分值取正值，且 等于曲边梯形的面积；(2) 当对应的曲边梯形位于X轴下方，定积分值取负值，且 等于曲边梯形面积的相反数；(3) 当位于X轴上方的曲边梯形的面积等于位于X轴下方的 曲边梯形的面积时，定积分的值为0,且等于位于X轴上方的曲边梯形的