概率论与数理统计(I)课件

1、在许多实际问题中在许多实际问题中, , 常需要考虑随机变量函常需要考虑随机变量函数的分布数的分布. .如在一些试验中如在一些试验中, ,所关心的随机变所关心的随机变量往往不能直接测量得到量往往不能直接测量得到, , 而是某个能直接而是某个能直接测量的随机变量的函数测量的随机变量的函数. .在本节中在本节中, ,我们将讨我们将讨论如何由论如何由已知的随机变量已知的随机变量X 的分布去求它的的分布去求它的函数函数Y= =f( (X) )分布分布. .设设 X 为为离离散散型型随随机机变变量量,其其分分布布律律为为, 2 , 1,)( ipxXPii,随随机机变变量量)(XgY ,从从而而 Y 的的

2、所所有有可可能能取取值值为为, 2 , 1),( ixgyii,因因此此 Y 也也是是离离散散型型随随机机变变量量.注注意意到到ji 时时,也也有有可可能能出出现现)()(jixgxg 的的情情况况,故故 Y的的分分布布律律为为 , 2 , 1 ),()()( ixXPyYPikyxgki X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2 例例 1 1 设随机变量设随机变量X X的分布律如下表的分布律如下表, ,试求试求Y=Y=( (X-X-1)1)2 2的分布律的分布律. .解解 Y所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,4.0,1,4.由

3、由即得即得Y Y的分布律为的分布律为1 . 0)1()0)1()0(2 XPXPYP)1)1()1(2 XPYP7 . 04 . 03 . 0)2()0( XPXP2 . 0)1()4)1()4(2 XPXPYP例例 2 2 设设X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布, ,试求试求Y= =f( (X) )的的分布列分布列. .其中其中 为为奇奇数数为为偶偶数数xxxxf, 10, 0, 1)(解解 易知易知Y的可能取值为的可能取值为-1,0,1,-1,0,1,且有且有 0120)!12()12()1(kkkekkXPYP eXPYP)0()0( 121)!2()2()1(kkkekkXPY

4、P 设设 X 为连续型随机变量为连续型随机变量,已知其分布函数已知其分布函数)(xFX和密度函数和密度函数)(xfX,随机变量随机变量)(XgY ,要求要求 Y 的分布函数的分布函数)(yFY和密度函数和密度函数)(yfY. 其他其他0408)(xxxfX求随机变量求随机变量Y=2X+8Y=2X+8的概率密度的概率密度. .例例3 3 设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度解解 先求先求Y=2=2X+8+8的分布函数的分布函数FY( (y).).82)(yXPyYPyFY 于是得于是得Y=2=2X+8+8的概率密度为的概率密度为2828)( yyfyfXY 28)()28(yXdx

5、xfyXP 其其他他 , 04280 ,21)28(81yy 其他其他 , 0168 ,328yy例例4 4 设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度fX( (x),-),-x0 0 时时, ,有有dxxfyXyPyXPyYPyFyyXY )()()()()(2于是得于是得Y的概率密度为的概率密度为 0 ),()(210 ,0)(yypypyyYXXyf例例 5 5 设设随随机机变变量量),(2 NX, ,试试求求)0( abaXY的的密密度度函函数数. . 解解 先根据先根据Y与与X的函数关系式求的函数关系式求Y的分布函数的分布函数)()()(ybaXPyYPyFY 0),(1)(

6、0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX若若若若)( ,( , ,21 21 2)(2)(2)(2222 aabNYyeaeaaabyaby 即即其中其中 从而从而 0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY若若若若aabyfX1)( 例例 6 设设随随机机变变量量)1 , 0( UX,求求122 XY的的密密度度函函数数. 解解 X的取值范围为的取值范围为(0,1), 从而从而Y 的取值范围的取值范围为为(1,3) 当当1y3时时,Y的分布函数为的分布函数为)12()()(2yXPyYPyFY 2121yXyP 2121yFyFXXdyydFyfYY)()( 而而Y1和和Y4是不可能事件是不可能事件, 从而有从而有 21)(yFyFXY0)( ,0 xFxX时时由由于于当当021 yFX从而从而因此当因此当1y0(或或g(x)0),则则Y=g(X)的概率密度为的概率密度为 其他其他0|,)( |)()( yyhyhfyfXY )(),(max )(),(min ,)()( ggggxgyh 的的反反函函数数是是其其中中证明证明 (略略)例例7 7 设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度求求Y= =ln X 的概率密度的概率密度. . 其他其他, 00,)1(2)