七桥问题与一笔画(空中课堂)

1、2021/8/141执教老师：叶浙俊2021/8/142 1818世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄罗斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建罗斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时候有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的座桥，而且每座桥都只通过一次？最后是否谁能够一

2、次走遍所有的座桥，而且每座桥都只通过一次？最后是否仍能回到出发点？仍能回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题。这就是数学史上著名的七桥问题。ABCD2021/8/143 这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意是尝试，但没有找到合适的路线。是尝试，但没有找到合适的路线。 问题传开后，许多欧洲有学问的人也参与思问题传开后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是一筹莫展，有人想到了当时正在俄国考，同样是一筹莫展，有人想到了当时正在俄国圣彼得堡科学院任职的天才数学家圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉欧拉，请他帮，请他帮助解决。助解决。 欧拉依靠他深厚的数学功底，

3、运用娴熟的变欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变换技巧，经过一年的研究，于换技巧，经过一年的研究，于17361736年递交了一份年递交了一份题为哥尼斯堡七座桥的论文，圆满地解决了题为哥尼斯堡七座桥的论文，圆满地解决了这一问题。这一问题。2021/8/144欧拉欧拉 （Leonhard Euler 公元1707-1783年） 2021/8/145 欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。1313岁时入读岁时入读巴塞尔大学，巴塞尔大学，1515岁大学毕业，岁大学毕业，1616岁获得硕士学位。欧拉是岁获得硕士学位。欧拉是1818世世纪数学界最杰出的人物之一，

4、他不但为数学界作出贡献，更把纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，数学家，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目边喧哗他那顽强的毅力和孜

5、孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的也没有停止对数学的研究，在失明后的1717年间，年间，他还口述了几本书和他还口述了几本书和400400篇左右的论文篇左右的论文1919世纪伟大数学家高世纪伟大数学家高斯（斯（GaussGauss，1777-18551777-1855年）曾说：年）曾说： 研究欧拉的著作永远是了研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法解数学的最好方法 2021/8/146 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长心的只是一次不重复地

6、走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，AB 而桥则可而桥则可以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。2021/8/147v所谓图的所谓图的一笔画一笔画，指的是：从图的一点出发，笔不离纸，指的是：从图的一点出发，笔不离纸，每条边都只画一次，不准重复。每条边都只画一次，不准重复。2021/8/148偶点偶点:与偶数条边相连的点叫偶点。与偶数条边相连的点叫偶点。奇点奇

7、点:与奇数条边相连的点叫奇点。与奇数条边相连的点叫奇点。能够一笔画的图形必须是连通图形。能够一笔画的图形必须是连通图形。2021/8/149图形奇点个数偶点个数 能否一笔画04能能能能07能能不能不能40512021/8/14101 1、奇点个数为、奇点个数为0 0的连通图是一笔画图形。的连通图是一笔画图形。可任选一点为起点，起点和终点为可任选一点为起点，起点和终点为同一点。同一点。2021/8/1411ABCDEABCD(5)（8）(6)下面哪些图形可以一笔画下面哪些图形可以一笔画出出?（7）2021/8/1412图形奇点个数偶点个数能否一笔画能能不能不能 能能能能2224325 12021

8、/8/14132 2、奇点数为，偶点数为任意的连通、奇点数为，偶点数为任意的连通 图是一笔画图形。图是一笔画图形。可选其中一个奇点做起点，而终点一定可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。出发点。2021/8/1414现在七桥问题可以解决了吗？现在七桥问题可以解决了吗？AB四个点都是奇点四个点都是奇点2021/8/1415课堂练习 1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？菜市场菜市场小广场小广场文具店文具店超市超市电器城电器城服装城服装

9、城2021/8/14162、 下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？课堂练习 B BA AC CD DE EF FG G2021/8/14172021/8/14182021/8/14192021/8/14202021/8/14212021/8/14222021/8/14232021/8/1424 下面这些图形，哪些是一 笔画，那些不是一笔画？（1）（2）（3）（5）（4）2021/8/1425 答案： 在上图中，能一笔画出的是（1）、（2），画法见下图。 （1）（2）2021/8/1426练一练一.填空1.图（1）中，有-个奇点；有-个偶点？2.图（2）中，有-个奇点；有-个偶点？3.图（3）中，有-个奇点；有-个偶点？4.图（4）中，有-个奇点；有-个偶点？（1）（2）（3）（4）2021/8/1427练一练二.在下图中,哪个图形能一笔画出？哪个不能一笔画出？能一笔画出的，请把他们画出来。（1）（2）（3）（4）（5）2021/8/1428 试一试一、下面这个图形能一笔画出吗？2021/8/1429一笔画的规律小结一笔画必须是连通的（图形的各部分之间连接在一起）；没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；只有两奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为