矩阵可逆的判定及求解

1、华 北 水 利 水 电 大 学矩阵可逆的判定及求解课 程 名 称： 线性代数 专 业 班 级： 测控技术与仪器88班 成 员 组 成： 姓名： 联 系 方 式：2012年 10 月16日矩阵可逆的判定及求解摘要：在高代数中,矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念,特别是可逆矩阵已成为代数特别是高等代数的一个主要研究对象,必需深入了解.求逆矩阵的方法有定义法、公式法、初等变换法、分块矩阵求逆法等,本文将提供这几种方法供大家参考.关键词：可逆矩阵的定义、齐次方程组、初等变换化为单位矩阵、分块矩阵求逆、分解矩阵求逆、递推法Matrix reversible deci

2、sion and the solutionAbstract: In the higher algebra, the matrix in mathematics has become an extremely important concept of widely used, especially invertible matrix algebra especially higher algebra has become one of the main research object, it is necessary to deeply understand. Inverse matrix me

3、thod is definition method, formula method, the elementary transformation method, block inverse matrix method, etc, this paper will provide the several methods for your reference.Key words: Invertible matrix of the definition, homogeneous equations, elementary transformation into unit matrix, partiti

4、oned matrix inversion, decomposition of matrix inversion, recursive method引言：矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结，在阶数较高的矩阵可逆判定、用分块矩阵求逆矩阵、分解矩阵求逆法上略有拓展，另外参考相关资料列出递推法求逆。1、可逆矩阵的定义定义:设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得n，则称是可逆矩阵（或称为非奇异矩阵），是的逆矩阵。从

5、这个定义可知，单位矩阵E的可逆矩阵就是其自身。2、矩阵可逆性的判定2.1 n阶方阵可逆的充分必要条件是|A|0，且此时.此定理判断矩阵可逆很容易，只是求逆矩阵非常的麻烦，适用于求低阶矩（二阶、三阶）的逆矩阵的情况。2.2 利用矩阵的初等行变换，若矩阵可化为单位矩阵，则可逆，并可直接求出逆矩阵。此种方法最常用。 矩阵可以化为单位矩阵，所以矩阵可逆。2.3A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B满足AB=E（或BA=E），则矩阵是可逆的，且=、.若要判断是否可逆，则只要看是否能找到与其乘积等于的矩阵即可。例2.1 矩阵和满足-=，证明可逆，并求其逆矩阵。证明：由=可得-=，即（）（），于是（）（）=.所以可

6、逆，且逆矩阵为2.4 若n阶矩阵的秩为n，即r(A)=n,则矩阵可逆。 利用矩阵秩的定义或利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩，看是否等于矩阵的阶数。例2.2 判断矩阵是否可逆？ =.解：所以R（A）=3，矩阵可逆。2.5 方阵A为可逆矩阵的充要条件是A可以写成初等矩阵的乘积。即A=P1P2Ps，其中Pi是初等矩阵。2.6 可逆 A的行（列）向量组线性无关。2.7 可逆 齐次方程组AX=0只有零解。 若齐次方程组AX=0只有零解，则r(A)=n，A可逆。2.8 可逆 非齐次线性方程组AX=B总有唯一解。2.9 n阶矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不等于0. 即 |A|=12i0，A可

7、逆。 此方法将判断矩阵是否可逆转化为求方程的解。例2.3判断矩阵是否可逆？=.解：解得特征值为=-1，=2，=5.因此矩阵可逆。2.10 一类阶数较高矩阵可逆性的判定对于二阶矩阵（1）当时，则可逆，且其逆为，利用这一简单结论可简单的判定形如（2） 一类方阵是否可逆，其中（2）中未标的元素主对角线上全为1，其它元全为0. 定理2.10矩阵（2）可逆当且仅当矩阵（1）可逆。证：记矩阵（2）为，由于 则有：矩阵（2）可逆矩阵可逆。3、逆矩阵的求法3.1用定义去求逆矩阵 定义3.1 设是一个阶矩阵，如果存在阶矩阵，使=，则称为可逆矩阵，并称是的可逆矩阵。 例3.1 已知阶矩阵满足。证明+4可逆并求出.

8、证明：把变形为(+4)（）=-5，可得（+4）（）=，所以存在一个矩阵=，B使（+4）=。由定义得+4可逆，且=.3.2用初等变换去求逆矩阵 如果可逆，则可通过初等行变换化为单位矩阵，即存在相应的初等矩阵、使（1），用又乘上式两端，得（2），比较（1）、（2）两式，可知当通过行初等变换化为的同时，对单位矩阵作同样的初等行变换，就化为的逆矩阵.同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。(1)初等行变换如果阶矩阵可逆，作一个 2的矩阵（，），然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时即化为了。即（，）（，）(2)初等列变换如果阶矩阵可逆，作一个2的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵

9、化为单位矩阵，则同时化为,即.(3)混合采用初等行、列变换如果阶矩阵可逆，列出三个矩阵如下：，（为单位矩阵）。对这三个矩阵施以变换，当对做一次行变换，便对左边的矩阵做同样的行变换；每对做一次列变换，便对右边的矩阵作同样的列变换。最后可得：，,所以=.用伴随矩阵去求逆矩阵例3.2判断矩阵是否可逆，=解： 矩阵可以化为单位矩阵，所以矩阵可逆。3.3用伴随矩阵求逆矩阵定理3.3 阶矩阵=（）为可逆的充要条件是非奇异。且 =，其中是中元素的代数余子式。矩阵称为矩阵的伴随矩阵，记作，于是有= .3.4用分块矩阵去求逆矩阵 设、分别为、阶可逆矩阵，则，.例3.3求矩阵的逆矩阵。解：令，所以，.故3.5分解

10、矩阵求逆法 分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。定理3.5 设为阶可逆矩阵，且，其中已知，是可逆阵，又设可逆，则.（）例3.4求矩阵=的逆矩阵。解：=+=+=+由公式得：=特别的，当是l,是1，且=（1）时，公式（1）就变成了=-3.6特征多项式法定理3.6 设是矩阵，可逆存在常数项不为0的多项式（x），使()=0.使|，得出的特征值1、2、i，则有对角阵（1，2，i），有可逆矩阵P、Q，使 P¯¹AP=，则有 A¯¹=Q¯¹¯¹Q.3.7递推法 递推法利用阶可逆矩阵的-1阶矩阵的逆来递推

11、得到原矩阵的逆。引理3.7 任何一个+1阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为阶可逆块的方块方阵形式，即对任意+1阶可逆方阵，存在互换初等矩阵 （=）（=1,2,）使得=，其中，为阶可逆方阵，为×1阶矩阵，为1×阶矩阵，=，于是=.证明：由可逆知，至少有一个阶子式不为零，于是可以只通过行列的互换变换将此子式对应的矩阵换到左上角，得到新矩阵形式，即存在互换初等矩阵（=）（=1,2,）使得=，其中，、如条件所设，于是根据互换初等矩阵性质=即可得到定理后半部分结论。根据引理3.7,只需要考虑左上角的阶分块为可逆矩阵的+1阶可逆方阵.引理3.8设+1阶可逆方阵=（）=，其中为阶可逆方阵， 为×1阶矩阵，为1×阶矩阵，=，则-0.例3.5求矩阵的逆矩阵，其中=.解：=（1），且=-40，于是=（-3），=（-4），=（-4），所以=-=；又=-（-58，26），=-，=-，所以=+（-2）=.最后给出右下角为+1阶可逆矩阵的逆矩阵的递推公式。本文中判定可逆矩阵的方法