江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测三数学试题

1、江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测三数学试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上.)1 .已知集合 A= xx 2 , B= xx(x 4) 0 ,则(.A) I B =.2 .若i是虚数单位，复数 z= (a+i)(1 +2i)是纯虚数，则实数 a的值为.3 .某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150, 150, 400, 300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为.4 .根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为.5 .将一枚质地均匀且各面分别标有数字1, 2,

2、 3, 4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a和b,则点(a, b)在直线y=2x上的概率为 .6 .已知Sn为数列an的前n项和，若 & 2a° 2 ,则S5 S4 =.7 .阿基米德(公元前 287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家， 他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的八 2 ，2,、体积是圆柱体积的 一，并且球的表面积也是圆柱表面积的 一”这一完美的结论.已知某33圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24兀，则该圆柱的内切球体积为 . 一3 8 .已知x轴为曲线f(x) 4x 4(a 1)x 1的切

3、线，则实数 a的值为uur9 .如图，已知正方形 ABCD的边长为2,点P是半圆O上一点(包括端点 A, D),则PAumPB的取值范围是.10.已知函数f(x) e ' x a的最小值为e(e为自然对数的底数)，则f (2) f(ln2) ex, x a1/1. c. 2r.11 .已知正实数a, b满足a 1,且一b 2t 7t恒成立，则实数t的取值范围为 b a2 .一 x12.已知椭圆C:a2yY1(a>b>0)的焦点为Fi, F2,如果椭圆C上存在一点P,使得b2uuu uuu 一PF, PF， 0,且 PF1F2的面积等于4,则ab的取值范围为 22X V222

4、13.如图,把半椭圆: 2r 1(x>0)和圆弧：(x 1) V a (XV 0)合成的曲线称为 a b“曲圆”，其中点F(1, 0)是半椭圆的右焦点， A1, A2, B1, B2分别是“曲圆”与 x轴，y轴的交点，已知/ B1FB2=120°,过点F的直线与“曲圆”交于P, Q两点，则AAQ 的周长的取值范围是14 .已知实数a>0,函数y=sinx在闭区间0, a上最大值为 M,在闭区间a, 2a上的最大值为N ,若M = J2 N ,则a的值为二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本

5、小题满分14分)如图，在三柱 A1B1C1ABC中，AB=AC,D为BC中点，平面ABC，平面BCC1B1, BC11B1D.(1)求证：A,C/平面 ABD;(2)求证：AB11BC1.16 .(本小题满分14分)urr已知 A、B、C 是锐角 ABC 的内角，向量 m =(cos(A+.)，sin(A+)，n = (cosB,ur rsinB),且 m n .(1)求A - B的值；(2)若 cosB= 3, AC = 8,求 BC 的长.517 .(本小题满分14分)22213在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O： x y r (r>0),点M( - ,-), N( - 1,-3)

6、,点 A 在圆。上，AN- J2. AM(1)求圆O的方程；1(2)直线x= 2与圆。交于E, F两点(E点在x轴上万)，点P(m, n)(0vmv万)是抛物线y2 2x上的动点，点 Q为 PEF的外心，求线段 OQ长度的最大值，并求出当线段 OQ长度最大时， PEF外接圆的标准方程.18 .(本小题满分16分)把一块边长为a(a>0)cm的正六边形铁皮，沿图中的虚线(虚线与正六边形的对应边垂 直)剪去六个全等的四边形(阴影部分) ，折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容 器(焊接损耗忽略)，设容器的底面边长为 xcm.(1)若a =16,且该容器的表面积为6073 cm2时，在该容

7、器内注入水，水深为 5cm,若将一根长度为10cm的玻璃棒(粗细忽略)放入容器内，一端置于 A处，另一端置于侧棱DD1上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的长度；(2)求该容器的底面边长 a的范围，使得该容器的体积始终不大于9000cm3.19 .(本小题满分16分)已知数列an、bn中，& 1,b,2,且 am( 1丫4bn, n N，设数列an、bn的前n项和分别为An和Bn.(1)若数列 an是等差数列，求 An和Bn；(2)若数列bn是公比为2的等比数列.求A2n-1；是否存在实数 m,使A4n = m-a4n 对任意自然数n N都成立？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.

8、20 .(本小题满分16分)一一，一 1已知函数 f(x) alnx(a R).x(1)当a= 1时，求函数f(x)的单调减区间；(2)若不等式f(x) x对x (0, 1恒成立，求实数a的取值范围；(3)当aw 2时，试问过点P(0, 2)可作y f(x)的几条切线？并说明理由.10高三 阶段性 抽测三数学参考答案2020. 5一、填空国：本大肱共14小题.每小肺5分.共70分.把答案填写在答题卷相应位置匕I. <2,42.23. 184.16 5d 6.327. j 77 R. 5 9t 2,2 +2#10.+ 2e IL -12“ 413.（6间 一或誓二、解答题：本大题共6小超，

9、共90分,请在答题卷指定区域内作答，.解答时应写出文字说明.证明 过程或演算步赛K.证明式1）连结从出交月用于点U .控结OD.因为人花G - ABC是三核柱.所以ABA,是平行四边形，所以0为4月中点.又因为正为BC中点*点以机）J 3分又.4, 0平面融出.01）匚平面加，所以儿C/平面H昆D. 6分（2）因为AB =4C.D为中点.所以4D 1 HC. 8分又因为平面1平面ACC,/?】，平面看SC A平面ECG乱=BC , AD U平面从日（？,所以HD J.平面6CC避一因为Eg U平面EC&& .所以4。，EC II分又闲为月G ± BtD tAf） n与

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11、14分一 ：! 5 -一a * L '= P ' " *,' " " " B *»!*1' it B 'b fe fc i! -B t S » a " '!525210*4万+3由正弦定理得8c二等胃人。=-T x 8 = 4万千3 .11集式1）就山口F因为铝=总凸an量方卬.所以+ “m *犷=2（o *” * ；力.AM£上由上式用N + V=5,所以二5,所以国。的方程为/ +/ = 5 3分（2）把h = 2代人阳。的方程得y二事1.所以E1L3 - 1）,

12、 4分作出线稷亶:的中雏缓L则忤¥，的外心。为直线I与工物的交点. H直线 I 的方程为！T 一 二.叫一 ；（Y _m ； 2* * 6分£- Iit当0时,一以丁；丁因为点F£%Q在抛物线d=2、上，所以小=2m 所以工工；" K分上（wi - 2 1由0 £E匕:得打=7;垢三7所以0Q =七2卅：（0 - 2z（m -2Um * 2J10Q - - * 编二 5 二 （2-m % 3 ） + 3 W - ； M 2 J（2 .m）、§ + 3 = 3 A2（ m - 2）22 - hi2 V2 - m当且仅当2 - nt =

13、丁$一时阴m = 2 -4时0。取到最大值3 -B 0分2 m此时。点坐标为3 .“;0L所以APEF外接网的半羟/=0E h,所以尸EF外接圆的标准方程为5 +万一 3-/匚5 * 2技 14分设解:由跑意= *.则。3 设该松的高为九则6二亭52分16时.容器底而租风工6 乂 （亨J | -举'/ .但（面积S工=6xA=3丹贝 16 - x) T所炽容器力面积5 =亭/ +3月公【& - V = 16B灯.整理得/ -3b+ 112 = 0,得 K = 4 或土 M 羽（舍）. * 5分当或璃樟一个端点置于A处,另一端逆于侧棱0。上时， 如图.设莪隐棒音/切，上的交点为尸

14、.械璃棒与水面交点为a 因为且BE。上F -4& C,"A；扎为正六棱柱.厩以四边形 九用D7 为m形，在平而一4/。"中.过。作。斤,月。交月。于 从如留所示,国力4产=1O,，D±8J|JF。= 6,国为QH/产口. 所以42 = OIL mdC - AAP PD JO 6所以乂Q = 亍0皿 g分（2）设藻容施的体叔为v,f兰风卜二 甲/乂孝« 力二弓/（。-工） 因为该容森的体积始终不大于须比 .所以Vx2（a -G W9W0对名。通）恒成立.即（口 -x）40W对箝丘令立（工）5 /（口 f工兀力'（ X）（。2）恒成立，三一3

15、k + 2ax,（0号）2aT<0一增展大值减现工）<. = （y）=fel-HdBb«i»-«i|Bil!|i|l 4I4IIVVH44- 4»1|4|4.1|.14-11-49 V ¥ 4 « 4 4 p p -|. | |. |4令汇=0玛则版工变化的表格如下t所以缪近4000,得口 &3%得。< a «30. 4 *答：该容器底面辿长以满足0 C a S 30时r窗制的体枳始终不大于gOOfml19,解:门）依即“泊-,二瓦品数列GJ是等差数列.所以数列QJ的公差是儿=2,所以A工弱-1 .

16、所以人= 2 分当n是奇数时，尻二瓦*电4后+乩=（q -/） *（/+%） +（4-%） +事（fli 一 %）=一% + 2（ a2 + a4 + a, 当n是偶按时.支=Q +b.2/ +物Ml? + 汽” =nfns +以M是奇数.n1 4 3n»n是偶数.=<J）+q + 与 +*/ +&ht +aa-la-i * %匕+瓦+儿* 8 JJh】 -占汰-1 =（G/i *心）-（七口 - a） = 0%“，兄二（气题-5/1 ） +<. + %= 口父”Jrtr +%，"/口 A 口】十 的 十% + 曲+ att_3 * 口u_t=+，）十（

17、附+。）* “十+ 0+, 1 ） + （ «2 -KJi ） + （ flfc -Klj ）* +（。小；+ 6小）=（6j - 6；） + （b -bt） + ,-* + 一 8+ （鱼十瓦）+ l i j） + 叶（鼠一碧 +）1572分由儿.不配*得4科=依（月垢一 4t"对任意门£ .恒成立.对任意博gN*恒成立，所以肌二导即存在实效E J；使上* =中%.对代意h e N恒成立.20,斛“l）a = 1 时v 令/'（#） E O.fflx /0/）. 所以/U）的单 * 工，网诫区间为（0）. 2分门）令飘）=加）7 工 fllns + -

18、-A _ ± _ _ - x + flJ.4/ jrx令.（h） = - a +- I / （0） = - 1 < O| X I） = a - 2 ,当RW0时产<6 < 0,（.） < 在口上恒成立在（0 J上熊调递减遣M氯I）=。成立：黑。Eu/z 时.自=/4 /0卡口）£<0./.1（*）4E（0ti上单局递减点（外二胃口）M。成立彳当a2时用I） >0.二以的在1层（01）上有哦一每点，记为先.且虱工）在川上速融,在（01）上递上,n当年£（而!）时乩（高）（£（【）R0.不成立.综上；u 毛 2. * -3 分 设过汽口工）的切线的切点为但,不）网!Vk） =-T知，切线方程为一（J+】必j =（-占+ k某）*又切缝过F92L得2-=（+ +#-力）,»2.川 alm| +0-2 = 0, * 7分“】令 h（x） =