人教版九年级数学上册《22-3 第1课时 实际问题与二次函数》作业同步练习题及参考答案

1、22.3 实际问题与二次函数第 1 课时 实际问题与二次函数1. 如图,用 12 m 长的木方做一个有一条横档的矩形窗子,为使透进的光线最多,选择窗子的高 AB(木方粗细忽略不计)为()A.1 mB.2 mC.3 mD.4 m2. 生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润 y 和月份 n 之间的函数关系式为 y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是( )A.1 月、2 月、3 月B.2 月、3 月、4 月C.1 月、2 月、12 月D.1 月、11 月、12 月3. 某商场购进一批 L 型服装(数量足够多),进价为

2、40 元/件,以 60 元/件销售,每天销售 20 件.根据市场调研,若每件每降价 1 元,则每天销售数量比原来多 3 件.现商场决定对 L 型服装开展降价促销活动,每件降价 x 元(x 为正整数).在促销期间,商场要想每天获得最大销售毛利润,每件应降价 元 , 每天最大销售毛利润为 元.(注:每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的 差)4. 如图,在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别从点 A,B,C,D 同时出发,均以 1 cm/s 的速 度向点 B,C,D,A 匀速运动,当点 E 到达点 B 时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 s

3、时,四边形 EFGH 的面积最小,其最小值是 cm2.95. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围 墙的总长为 50 m.设饲养室长为 x(单位:m),占地面积为 y(单位:m2).(1) 如图 1,问饲养室长 x 为多少时,占地面积 y 最大?(2) 如图 2,现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多 2 m 就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.6. 某果园有 100 棵橙子树,平均每棵树结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那

4、么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子.假设果园多种 x 棵橙子树.(1) 直接写出平均每棵树结的橙子数 y(单位:个)与 x 之间的函数解析式.(2) 果园多种多少棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大?最大为多少个?7. 如图,在ABCD 中,AB=4,BC=3,BAD=120°,E 为 BC 上一动点(不与 B 重合),作 EFAB 于点F,FE,DC 的延长线交于点 G,设 BE=x,DEF 的面积为 S.(1) 求用 x 表示 S 的函数解析式,并写出 x 的取值范围.(2) 当 E 运动到何处时,S 有最大值,

5、最大值为多少?8. 某城镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润 P=- 1 (x-60)2+41(单位:万元).当地政府拟在五年规划中加快开发该特产的销售,100其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资,在实施规划五年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的三年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润 Q=- 99 (100-x)2+294(100-x)+160(单位:

6、万元).1005(1) 若不进行开发,求五年所获利润的最大值是多少.(2) 若按规划实施,求五年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少.(3) 根据(1)(2),该方案是否具有实施价值?9. 某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示.由四个边长均为 3 m 的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示,DG=1 m,AE=AF=x m,在五边形 EFBCG 区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是( )10. 某工厂生产某品牌的护眼灯,并将护眼灯按质量分成 15 个等级(等级越高,灯的质量越好.如:二级产品好于一级产品)

7、.若出售这批护眼灯,一级产品每台可获利 21 元,每提高一个等级每台可多获利润1 元,工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯,每个等级每天生产的台数如下表所示:等级 x/级一级二级三级生产量 y/(台/天)787674已知护眼灯每天的生产量 y(单位:台)是等级 x(单位:级)的一次函数,若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出,工厂应生产 等级的护眼灯,才能获得最大利润 元.11. 每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以 5 元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗 5%,运输费用是 0.7 元/千克,假设不计其他费用.(1) 水果商要把荔枝售价至少定为多少钱才不会亏本?(2)

8、在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量 m(单位:千克)与销售单价 x(单位:元/千克)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润 w 最大?12. (2018·湖南衡阳中考)一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为 10 元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件.市场调查发现,该产品每天的销售量 y(单位:件)与销售价 x(单位:元/件)之间的函数关系如图所示.(1) 求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围;(2) 求每天的销售利润 W(单位:元)与

9、销售价 x(单位:元/件)之间的函数解析式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?周数 x1234价格 y(元/千克)22.22.42.613.由于受干旱的影响,5 月份,某市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:进入 6 月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格 y(单位:元/千克)从 6 月第 1 周的 2.8 元/千克下降至第 2 周的 2.4 元/千克,且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数 y=- 1 x2+bx+c.20(1) 请观察题中的表格,用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出 5 月份 y 与 x 的函数解析

10、式,并求出 6 月份 y 与 x 的函数解析式.(2) 若 5 月份此种蔬菜的进价 m(单位:元/千克)与周数 x 所满足的函数关系为 m=1x+1.2,6 月份此种蔬4菜的进价 m(单位:元/千克)与周数 x 所满足的函数关系为 m=-1x+2.试问 5 月份与 6 月份分别在哪一5周销售此种蔬菜 1 千克的利润最大?且最大利润分别是多少?14.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为 18 元,试销过程中发现,每月销售量 y(单位: 万件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一次函数 y=-2x+100.(利润=售价-制造成本) (1)写出每月的利润 z(单位:万元)与

11、销售单价 x(单位:元)之间的函数解析式.(2) 当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 350 万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3) 根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于 32 元,如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?参考答案夯基达标1.C设窗子的面积为 y m2,AB 的长为 x m,根据题意,得 y=1(12-2x)x=-2x2+4x,33显然,当 x=- 4 2× -23=3 时,函数 y 有最大值.2.Cy=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),当 y

12、=0 时,n=2 或 n=12.又该函数的图象开口向下,1 月,y<0;2 月、12 月,y=0.该企业一年中应停产的月份是 1 月、2 月、12 月.故选 C.3.7533设促销期间每天销售 L 型服装所获得的毛利润为 W 元,220 2 + 1 600 .由题意得 W=(20+3x)(60-40-x)=-3x +40x+400=-3 - 33因为 x 为正整数,所以当 x=7 时,每天销售毛利润最大,最大值为 533 元.4.318设运动时间为 t s(0t6),则 AE=t,AH=6-t,根据题意得 S四边形EFGH=S正方形ABCD-4SAEH=6×6-4×1

13、t(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,2所以当 t=3 时,四边形 EFGH 的面积取最小值,最小值为 18 cm2.5. 解 (1)y=x·50- =-1(x-25)2+625,222当 x=25 时,y 最大,即饲养室长 x 为 25 m 时,占地面积 y 最大.(2)由题意得 y=x·50-( -2)=-1(x-26)2+338,当 x=26 时,占地面积 y 最大,22即饲养室长 x 为 26 m 时,占地面积 y 最大; 因为 26-25=12,所以小敏的说法不正确. 6.解 (1)y=600-5x.(2)设橙子的总产量为 W 个, 由题意得

14、W=(600-5x)(100+x),W=-5x2+100x+60 000=-5(x-10)2+60 500,当 x=10 时,W 取得最大值且 W 最大=60 500.果园多种 10 棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大,最大总产量为 60 500 个.7. 解 (1)在ABCD 中,ABCD,EFAB,故有 DGFE,即 DG 为DEF 中 EF 边上的高.BAD=120°,B=60°.BEF=CEG=30°.在RtBEF 与RtEGC 中,EF= 3x,CG=1CE=1(3-x),DG=CD+CG=11- .2222于是 S=1EF·DG=- 3x2+

15、11 3x,其中 0<x3.288(2)由(1)知,当 0<x3 时,S 随 x 的增大而增大,故当 x=3,即 E 与 C 重合时,S 有最大值,且 S 最大=3 3.8. 分析 (1)利用二次函数顶点公式即可求解.(2) 前两年,0x50,在对称轴的左侧,P 随 x 的增大而增大,当 x 最大为 50 时,P 值最大且为 40 万元, 所以这两年获利最大为 40×2=80(万元).后三年:设每年获利为 y 万元,当地投资额为 x 万元,则外地投资额为(100-x)万元.关键要注意此时的自变量只有一个,共投资 100 万元,将 x 和(100-x)分别代入相应的关系式即

16、可得到 y 与 x 的二次函数解析式,进而利用配方法或顶点公式求出最值.(3) 把(1)(2)中的最值作比较即可发现该方案有极大的实施价值.解 (1)当 x=60 时,P 取最大值 41,故五年获利的最大值是 41×5=205(万元).(2) 前两年:0x50,此时因为 P 随 x 增大而增大,所以当 x=50 时,P 值最大且为 40 万元,所以这两年获利最大为 40×2=80(万元).后三年:设每年获利为 y 万元,当地投资额为 x 万元,则外地投资额为(100-x)万元,所 以 y=P+Q= - 1 ( -60)2 + 41 + - 99 2 + 294 + 160

17、=-x2+60x+165=-(x-30)2+1 065,1001005当 x=30 时,y 最大且为 1 065,那么后三年获利最大值为 1 065×3=3 195(万元),故五年获利的最大值为80+3 195-50×2=3 175(万元).(3) 由(1)(2)可知该方案有极大的实施价值.培优促能 9.ASAEF=1AE·AF=1x2,SDEG=1DG·DE=1×1×(3-x)=3- ,SEFBCG =SABCD-SAEF-SDEG=9-1x2-22223- =-1x2+1x+15, 22222 五边形正方形2则y=4×

18、- 1 2 + 1 +15=-2x2+2x+30.2220<AE<AD,0<x<3.综上,可得 y=-2x2+2x+30(0<x<3).故选 A.10.十1 800设所获利润为 W 元,由题意,得 W=(80-2x)(x+20)=-2x2+40x+1 600=-2(x-10)2+1 800.由 a=-2<0,知当 x=10 时,W 最大=1 800.故当每天生产十级护眼灯时,可获得最大利润 1 800 元.11. 解 (1)设荔枝售价定为 y 元/千克时,水果商才不会亏本. 由题意得 y(1-5%)(5+0.7),解得 y6.所以,水果商要把荔枝售价至

19、少定为 6 元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为 6 元,由题意得 w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90.因此,当 x=9 时,w 有最大值.所以,当销售单价定为 9 元/千克时,每天获得的利润 w 最大.12. 解 (1)设 y 与 x 的函数解析式为 y=kx+b,将(10,30),(16,24)代入 y=kx+b,得 10 + = 30, = -1,16 + = 24,解得 = 40.故 y 与 x 的函数解析式为 y=-x+40(10x16).(2)W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-

20、(x-25)2+225,a=-1<0,当 x<25 时,W 随 x 的增大而增大.10x16,当 x=16 时,W 取得最大值,最大值为 144.每件销售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 144 元. 13.解 (1)通过观察可见 5 月份价格 y 与周数 x 符合一次函数解析式, 即 y=0.2x+1.8.将(1,2.8),(2,2.4)代入 y=- 1 x2+bx+c,202.8 = - 1 + + ,可得202.4 = - 1 + 2 + ,5 = - 1 ,解之,得4 = 3.1,即 y=- 1 x2-1x+3.1.204(2)设 5 月份第 x 周销售此种蔬菜 1 千克的利润为 W1 元,6 月份第 x 周销售此种蔬菜 1 千克的利润为W2 元,W1=(0.2x+1.8)- 1 + 1.2 =-0.05x+0.6,4因为-0.05<0,所以 W1 随 x 的增大而减小.所以当 x=1 时, 1最大=-0.05+0.6=0