二面角的求法

1、三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平 面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效 地利用 三垂线定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解题受阻.我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其 作图模型为：如图1,在二面角:一I 一中，过平面内一点A作Ao丄平面，垂足为O, 过点O作OB丄I于B （过A点作AB丄于B），连结AB （或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB丄1 （或OB丄I），则z ABO为二面角。一 I一 ：的平面 角.作图过程中，作出了两条垂线AO与OB （或AB），后连结

2、AB两点（或OB 两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”.“第一垂线” 能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的矢键，在具体解题过程 中要注意以下几点：G图21-善于利用图中已有的“第一垂线"例1已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，Z BCA=90°, AC=BC, Ai在底 面ABC的射影恰为AC的中点M,又知AAi与底面ABC所成的角为60°.（1）求证：BC丄平面AAiCCi ；（2）求二面角B AAi C的大小.咅晰：注意该题的第问，事实上本题已经暗示了 BC就是我们要寻求略解2”A与底面AB成的角为60。,所以Z AAC

3、二60。，又M是AC中点，所 以厶AAC是正三角形，作CN丄AA于N,点N为儿力的中点，连 结BN,由BC丄 平面AA1CC1, BN丄AA1，则z BNC为二面角B - AAi - C的平面角.设AC二 BC二8,正厶AAiC的边长为a,所以CN3a ,在Rg2BNC 中，tanz BNC=BC 二空，即 Z BNAarCtan23 NCaV333例2如图3,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，Z ABC二90°,SA 丄面 ABCD, SA=AB=BC二 1, AD2(1 )求四棱锥S-ABCD的体积；求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.咅【J析：由SA丄面ABCD及Z

4、 ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”， 但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱.略解2延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱，因为 AD / BC,BC=2AD,所以 EA=AB=SA,所以 SE丄 SB,因为 SA丄面 ABCD,得面SEB丄面EBC, EB是交线，又BC丄EB,所以BC丄面SEB,故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS丄SE,所以Z BSC是所求二面角的平面角，因 为sB=SA2ABj 2 , bcj BC丄SB,因为tanZ BSW，即所 求二面角的正切值为2. 借助第三个平面，作“第一垂线”例彳如图4,正三棱柱A

5、BC-aibici的底边长为a，侧棱长为子'若经过对角线ABi 且与对角线BCi平行的平面交上底面一边ACi于点D.(1) 确定点D的位置，并证明你的结论；(2) 求二面角AiABi D的大小.剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是AC中点二面角AiABi D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面 ABC过点D且与平面AiABi垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们 称为第三个平面过D作DF丄AiBi,由面面垂直的性质知，DF丄面AiABi，即DF 为我们要作的“第一垂线”.略解2在平面AiBiCi内，作CF丄ABi于F,连DC，由三垂线定理可 证A

6、Bi丄DG,z DGF就是二面角AiABi D的平面角，在正 AiBiCi中，因为D是ACi 中点，AiB匸 a,所以 BiF =3a , DF3a ,在 Rt A DFG，可44求得Z DCF=45°.3. 利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”例4已知：RtA ABC的斜边BC在平面内，AB、AC分别与平面。成30。和45。角，求平面与厶ABC所在平面所成二面角的大小.剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我 们注意到AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO丄于O,就可以同时 找到AB、AC在平面内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位 置，有利于二面角大小的计算.解：作AO丄于O, OD丄BC于D,连OB, AD, OC,由三垂线定理 得：AD 丄BC,所以z ADO是二面角A- BC- O的平面角，令AO二X,在Rt AOB 中，z ABO二 30° ,所以 AB 二 2x,在 RtAAOC 中，z ACO 二 45°,所以ACj2x ,因为 Z BAC=90°,所以 BC 二6x,所