二次根式化简地方法与技巧

1、二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： 先将式中的二次根式适当化简 二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式a b ab a 0,b0 对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算. 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项. 运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办运用转化策略，换个角度思

2、考，往往可以打破 僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。一、巧用公式法a 2、ba b例1.计算分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与 b成立，且分式也成立，故有a 0,b 0, C.a , b 0）而同时公式:a b 2 a2 2ab b2, a2 b2 (a b)( a b

3、),可以帮助我们将a 2、ab b和a b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式 a b( a b)( a b)a Aba b(、a b) (、a vb)2 a 2 b、适当配方法。322、36例2计算：12 、3分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点,分母含有1、2、3其分子必有含123的因式，于是可以发现 3 2 2122 ，且 V3 V 6 V3 1 V2 ,通过因式分解，分子所含的 1.2,3的因式就出来了。解：原式32丿23 v6141V3(1 vT)23(141 )iVTV31 vT三、正确设元化简法。2、6例3:化简 2、3, 5分析：本例主要说明让数字

4、根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：2 a，5 c,'.3 b,ab -.6,正好与分子吻合。对于分子，我们发现a2 b2 c2所以2 2 2 2 2 2a b c 0，于是在分子上可加 a b c 0，因此可能能使分子也有望化为含有a b c因式的积，这样便于约分化简。解：设. 2 a, . 3 b, = 5 c,则2ab 2,6,且 a2 b2 c20所以：2aba b c2 2 22ab a b cb2b c2ca b ca b c a b cab cabc 3v 5四、拆项变】形法.72、65例4

5、,计算、566、7分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通a b 11 过约分化简，如转化成：再化简，便可知其答案。ab a b解：原式v 5 、6 k 6 、l% 6 、6<7、5. 6.6.7、5v 6v 6、门v5.6爼6、门11、57 6.6、76.5v7V6五、整体倒数法。533 1a b 丄 ab a1-，化简但b例5、计算 5 2 3 1分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式:还要通过折项变形，使其具有公因式。解：设A丄5 3亠3 1<52311V52 v 31AJ5v 3v 3V3"齐 1v51v3j 311X 31、33

6、 一1则2 2x/512所以A.512借用整数“ 1”处理法。1 3 2 2 3例6、计算 23,6分析：本例运用很多方面的知识如：1,3.2、.3.2和.aa b a2 b2，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。 解：原式丄3_ 2 3_ 2_3丄2_2上3 V2 V3 V6丄3_ 2 3_ 2_ 6丄3_ 242 43 46(32)(326)73 V2 V63 X 2六恒等变形整体代入结合法例7：已知x1(.725) , yA 7 5)，求卜列各式的值。(1)2x xy2y ; (2)X_yy x分析:本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x

7、+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式,2 2 2如x xy y (x y) 3xy，然后再约分化简。1 1 一解：因为：x 7 V5)， y (V7 V5)，所以：x y . 7, xy 丄。22 2x xy y(x y )2 3xy(、7)2311£2xyyx22xyxy22 xyxyxy(J7 ) 2212_1212七、降次收幕法：例8、已知x23,予3x2求2x 52x 5的值。2x 7分析：本例运用了使题中 2次幕项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项 式X2 4x 1转化为4x 1,这样进行低次幕运算就容易了。解：由 x 2

8、.3,得 x 2 3。(x 2)2 3 整理得：x2 = 4x 1。所以：3x2 2x 53(4x 1) 2x 510(23)222 1032x 72(22 3 3所以原式22 10 v32 x/33竹74 J3423二次根式的化简与计算的策略与方法1 .公式法H十丁十2何【例1】计算'1；'【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 .观察特征法2舅+愿-3罷【例2】计算： ：'【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以''，

9、即得分子,于是可以简解如下:【解】原式：'、【例3】把下列各式的分母有理化.甩Jx 十+ 2-Jx 1（）*,' I '（2）|（八 1）【方法导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就Jb + 五、五 + -/T+& -I；ab启示我们可以用如下解法:二【解】原式（亦-笳）+（逅-后）.1+1卜历-五） 7弟-品【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简.但是，不难发现式分子中尺“的系数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:十Ei【解】原式&

10、lt; - =I + f If "f 、（丿不+1 + J葢-i艮* + - J托-1）3 .运用配方法【例4】化简'：，'：【解】原式= 7（ - 2x2 XI+12=2【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数， 显然不能等于“4 .平方法【例5】化简【解】6-35 + 76/35三6 辰十2匚序幕石詞十6十735= 12 + 2x/62-35=4A匸.，三 j三般用平方法【解后评注】对于这类共轭根式''与 二 的有关问题,都可以进行化简5.恒等变形公式法例 6】化简一 ： 亠厂 一： + '-'【方法导引】若直接展开，计算较

11、繁，如利用公式''' + '* 则使运算简化.【解】原式丨=2卜哥十（75-76 =2x（5+E-4-?3）6 常值换元法【例 7】化简 ；'' 1 1' I【解】令二兀-，则:原式l：'，_ J'"'二肿十锁）十为+ 2）+1=+3af -+ 2（口空十3a）+1=十孑口十= /+%+1=199HMx199E+1=39975997 .裂项法1 1 1 A 1 7= + -7=r 4 -fr + 厲 + r=1=【例8】化简i '【解】原式各项分母有理化得原式 - I- - -（/-. -<

12、-11-:=400-1 = 10-1 = 9【例9】化简2 + 27 +7104+2/13 710的+怖2 +頂）而斗俪帚冋【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每 个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：【解】原式十十+石十原2 + 7 十価4+a/13歸討冷_2丄r衍二而4 _33323&构造对偶式法刑 4 2 斗 J/ - 4 m 2 +- 4 + ”【例 10】化简' '1 '< : I【解】构造对偶式，于是没贝y負十乃=2起十4,爼丘=4就十呂a b / !丽侶斗鸟尸小a +> n-+ - -2 2原式 -=尬十2一2=总9由里向外，逐层化简J1 卿Ji997炳氏/19冠 1993+1T 十 1 十 1【解】.】；' 1 IJi 诙=1994而I /'- II- '.'I亠71997x1995 + 1 Jfiggs 41)(1996-1)讥 J199F 1996.原式厂；'' 1: I ' '【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理.10.由右到左