《数字信号处理》第二章

1、LOGO数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing侯兆然侯兆然Cell:-mail: Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 l 离散时间傅立叶变换（离散时间傅立叶变换（DTFT）l Z变换变换l 系统函数系统函数H(z)相关扩展相关扩展 定义定义 性质性质 常用变换常用变换 定义、收敛域定义、收敛域 性质、常用变换性质、常用变换 ZTZT与与DTFTDTFT的关系的关系 利用利用Z Z变换解差分方程变换解差分方程 频率响应函数的因果性和稳定性分析频率响应函数的因果性和稳定性分析

2、 几种特殊系统：全通、梳状、最小相位系统几种特殊系统：全通、梳状、最小相位系统Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 ( )()( )1( )()()2jj nnjjj mFT x nX ex nex nIFT X eX eed2.2 时域离散信号的傅立叶变换（时域离散信号的傅立叶变换（DTFT）（一）定义（一）定义 Discrete Time Fourier Transform:Discrete Time Fourier Transform: DTFTDTFT的存在前提的存在前提 - - 充要条件：充要条件： （序列（序列x(n)绝对可

3、和）绝对可和） | ( )|nx n Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （二）性质（二）性质 l 周期性周期性 - 2l 线性线性 (2)()( )jjM nnX ex n e 可见，序列的傅里叶变换是频率可见，序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周的周期函数，周期是期是22；由于由于FTFT的周期性，一般只分析的周期性，一般只分析- -+或或0 022之间的之间的FTFT。1212( )( )()()jjFT ax nbx naX ebXeCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析

4、 （二）性质（二）性质 3. 时域时域/频域移位频域移位4. 共轭对称性共轭对称性 000(0 ()()( )()njjjnjFT x neX eFT ex nXne 共轭的概念共轭的概念 序列的共轭构造与表示序列的共轭构造与表示 共轭对称分量的共轭对称分量的FTFT - - 实因果序列的实因果序列的FTFT对称对称性性移位量是常数移位量是常数Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 4. 共轭对称性共轭对称性 共轭的概念共轭的概念 ( )Re ( )Im ( )x nx njx n共轭对称序列：共轭对称序列：)()(nxnxee 共轭反对

5、称序列：共轭反对称序列：)()(nxnxoo 实部为偶函数实部为偶函数虚部为奇函数虚部为奇函数实部为奇函数实部为奇函数虚部为偶函数虚部为偶函数实序列实序列x(n)x(n)为为偶对称偶对称实序列实序列x(n)x(n)为为奇对称奇对称Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 4. 共轭对称性共轭对称性 序列的共轭构造与表示序列的共轭构造与表示 时域构造时域构造( )( )( )eox nx nx n()()()jjjeoX eXeXe*1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn*1()()()21()()(

6、)2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe频域构造频域构造欧拉公式欧拉公式Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 4. 共轭对称性共轭对称性 共轭对称分量的共轭对称分量的FTFT ( ) ()( ) ()jrejiojx nXex nXe ( )( ) +( )rijx nx nx n()()()jjjeoX eXeXe( )( ) +( )eox nx nx n( ) ()( ) ()jeRjoIx nXexjnXe ()()()jjjRIjX eXeXe实虚拆分实虚拆分共轭拆分共轭拆分Company Logo第二章第二章 时域离

7、散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 4. 共轭对称性共轭对称性 实因果序列实因果序列h(n)h(n)的的FTFT对称性对称性 ( )( ) +( )eoh nh nh n( )eh n ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn( ),01( ),021(),02h onh nnhnn( )oh n )(nh000),(20),0 (nnnhnhee)(nh,02( )(0),000onh nnhn推论：实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复推论：实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的

8、频域分析 4. 共轭对称性共轭对称性 实因果序列实因果序列h(n)h(n)的的FTFT对称性对称性 arg*()()(), ()0()()()()()()()()jwjwjwjweojwjwjwjwRRjwjwIIjHjwwejH eH eHeH eHeHeHeHeHeH eeH e 共轭反对称共轭反对称部分是零部分是零频谱共轭对称频谱共轭对称实部是偶函数实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数相位函数是相位函数是的奇函数的奇函数幅度函数是幅度函数是的偶函数的偶函数Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 例例 2.2.3 x(n)=anu(n

9、); 0a1; 求其偶分量求其偶分量xe(n)和奇分量和奇分量xo(n)。 解：解：(0),01( ),021(),02xnx n nx n n( )ex n 1,01,021,02nnna nan(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ox n 1,01,021,02nnnananCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （二）性质（二）性质 5. 时域卷积时域卷积6. 频域卷积频域卷积7. Parseval定理定理( )* ( ) ()()jjx nh nH eX e 12( )( ) ()*()jjx nh n

10、H eX e 221( )(2jnx nx ed信号的时域能量信号的时域能量与频域能量守恒与频域能量守恒Company Logo卷积卷积时域移位时域移位线性线性频域微分频域微分共轭共轭共轭序列的共轭序列的FT帕斯瓦尔帕斯瓦尔自变量取负自变量取负离散时间傅立叶变换的性质与定理离散时间傅立叶变换的性质与定理Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 表表 2.3.2 常见序列的傅里叶变换常见序列的傅里叶变换 （三）常见变换（三）常见变换Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 对比图对比图2.

11、3.12.3.1，对于同一，对于同一个周期信号，其个周期信号，其DFSDFS和和FTFT分别取分别取模的形状是一样的，不同的是模的形状是一样的，不同的是FTFT用单位冲激函数表示用单位冲激函数表示( (用带箭用带箭头的竖线表示头的竖线表示) )。 因此周期序列的频谱分布因此周期序列的频谱分布用其用其DFSDFS或者或者FTFT表示都可以，表示都可以， 但画图时应注意单位冲激函数但画图时应注意单位冲激函数的画法。的画法。 周期序列周期序列傅立叶级数傅立叶级数FTFT频谱频谱2.3 周期序列的傅立叶变换周期序列的傅立叶变换 FTFT、DFSDFS、DFTDFT在频域上的相似性在频域上的相似性Com

12、pany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 2.4 模拟信号模拟信号FT与离散信号与离散信号FT之间的关系之间的关系 12 ()()aakssXjXjjkTT ()12()jaksskXeXjTTx n 离散频谱与模离散频谱与模拟频谱一致拟频谱一致( ) ( )( ) ( )aaax tx tp tx t 模拟信号模拟信号理想采样理想采样理想采样信号理想采样信号()aXj()aXj周期延拓周期延拓( )x nCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 0 0 m1 )( jXa -2 -2 s -

13、 - s 0 0 s 2 2 s1/T )( jXa -2-2 - - 0 0 2 21/Tw)(jeXCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 Xa(j )00 s2s2s sTXa(j )022（ a ）（ b ）（ c ）X(ej)02f02f02f02f22模拟频谱模拟频谱理想采样后频谱理想采样后频谱离散信号频谱离散信号频谱频谱一致频谱一致周期延拓周期延拓尺度更改尺度更改Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 三点结论：三点结论： 1.1.序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换

14、之间的序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的关系，与采样信号、模拟信号分别的FTFT之间的关系一样，之间的关系一样，都是都是X Xa a(j)(j)以周期以周期s s=2/T=2/T进行周期延拓；进行周期延拓； 2. 2.频率混叠在模拟频域频率混叠在模拟频域s s/2/2附近最严重，在数字频域附近最严重，在数字频域的的附近最严重；附近最严重； 3.x(t) 3.x(t)的频谱和的频谱和x(n)x(n)的的DTFTDTFT频谱频谱 都在频域连续都在频域连续()jXeCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析

15、 2.5 序列的序列的Z变换变换 - ZT 变换组变换组 ( ) ) (X jx tX sFTjzesj ( ( ) )jX ex nX zDTFTLaplasLaplasZTDFT( )X k Z Z变换及其逆变换定义变换及其逆变换定义 序列的收敛性与收敛域序列的收敛性与收敛域 逆逆Z Z变换的两种求法变换的两种求法 常见变换对、性质、定理常见变换对、性质、定理l ZTZT与与DTFTDTFT的关系的关系l 利用利用Z Z变换解系统的差分方程变换解系统的差分方程Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 正变换：正变换：( ) ( )( )

16、nnX zZ x nx n z0( ) ( )( )nnX zZ x nx n z双边双边Z Z变换变换单边单边Z Z变换变换（一）定义（一）定义 Discrete Time Fourier Transform:Discrete Time Fourier Transform: 11( )( ),(,)2nxxcx nX z zdzcRRj逆变换：逆变换：推论：推论： 因果序列的单边变换和双边变换结果一样。因果序列的单边变换和双边变换结果一样。Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （二）（二）ZT的收敛域及序列的收敛性的收敛域及序列的收敛

17、性 1. 收敛域收敛域 nnznxnxZzX)()()( Mznxnn|)(|收敛存在收敛存在的充要条件的充要条件xxRZR收敛域收敛域Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 图图 2.5.1 Z变换的收敛域变换的收敛域 Z Z变换的常见形式：变换的常见形式：( )( )( )P zX zQ zxxRZR( )0P z ( )0Q z 零点零点极点极点收敛域中必定不含极点。收敛域中必定不含极点。Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 各种序列的收敛特性各种序列的收敛特性 （1 1）有

18、限长序列）有限长序列 n1n20 - 零负型零负型 - 0|z| n10n2 - 过零型过零型 - 0 |z| 0n1n2 - 零正型零正型 - 0 |z| 有限长序列有限长序列jImzRez| |z|(0,z|(0, ) )Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （2 2）右边序列）右边序列 因果序列是重要的右边序列，它是当因果序列是重要的右边序列，它是当n0n0时时x(n)=0 x(n)=0的序列。的序列。因果序列的收敛域：因果序列的收敛域：Rx-|z|+结论结论: 如果一个序列如果一个序列ROC中包含了中包含了+,则该序列一定为因果

19、序列则该序列一定为因果序列Rx- |z| Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （3 3）左边序列）左边序列 0|z| Rx+反因果序列的收敛域：反因果序列的收敛域： 0 |z| Rx+结论结论: 如果一个序列如果一个序列ROC中包含了中包含了0,则该序列一定为反因果序列则该序列一定为反因果序列Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （4 4）双边序列）双边序列 Rx- |z| Rx+Rx- Rx+ - 收敛域不存在收敛域不存在 该序列的该序列的Z变换不存在变换不存在Company

20、 Logo有限长序列有限长序列jImzRez| |z|(0,z|(0, ) )| |z|(0,Rz|(0,Rx+x+) )右边序列右边序列jImzRezR Rx-x-双边序列双边序列jImzRezR Rx+x+R Rx-x-| |z|(Rz|(Rx-x-,R,Rx+x+) )左边序列左边序列jImzRezR Rx+x+| |z|(Rz|(Rx-x-, , ) )第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 例例2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求为实数，求x(n)的

21、的Z变换及变换及 其收敛域。其收敛域。 解：解：0001( )nnnnnnnnnnnnnnnX za zazz zaz zz|az|1|az-1|1公共收敛域为：公共收敛域为：|a|z|a|z|a|z|b|z|c|z|c|a ab bc cRezRezjImzjImz左边序列：左边序列：| |z|a|z|a|a ab bc cRezRezjImzjImz双边序列：双边序列：| |b|z|c|b|z|c|a ab bc cRezRezjImzjImz双边序列：双边序列：| |a|z|b|a|z|a-1| - x(n)- x(n)右序列右序列 (2) |a|z|z-1| - x(n)- x(n)双

22、边序列双边序列 (3) |z|aROC |z|a-1-1| | 右序列（因果）右序列（因果）211211( )(1)(1)1()()nnaF zzazazaza za za围线积分围线积分c c内有二个极点内有二个极点z=az=a和和z=az=a-1-1112112Res ( ),( )Res ( ), (1)()()(1) (1)()()()( )nz anz annnnF z aazzaa za zax nF z aazzazaazaaauan Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 (2) (2) 情况二情况二 - ROC |z|a

23、| ROC |z|a| 左序列（反因果）左序列（反因果）211211( )(1)(1)1()()nnaF zzazazaza za za围线围线c c内无极点，圆外留数取负：内无极点，圆外留数取负：1121121Res ( ),(1)()()()() ( )Res ( ), (1)()()()(1) )nz annnnnz annF z aazzaa za zaax nF z aazzaa za zaaaaauna Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 (3) (3) 情况三情况三 - ROC |a|z|aROC |a|z|a-1-1|

24、 | 双边序列双边序列211( )()()naF zza za zal 对于围线对于围线c c外侧，外侧，00n n 且且z=az=a( )Res ( ), ( )nnx nF z anaau l 对于围线对于围线c c内侧，内侧，n0 nmax(|a|,|b|)|z|max(|a|,|b|)，Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 11121( )1(1)(1)bY zbzazbz1111( )2(),0nnny nbabnabCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 2.6 系统函

25、数系统函数H(z)及相关扩展及相关扩展（一）利用（一）利用Z变换解差分方程变换解差分方程 利用利用Z Z变换解差分方程变换解差分方程 频率响应函数的因果性和稳定性分析频率响应函数的因果性和稳定性分析 几种特殊系统：全通、梳状、最小相位系统几种特殊系统：全通、梳状、最小相位系统kkNkkkMkzazbzXzYzH00)()()(线性时不变系统：线性时不变系统：Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 （二）频率响应函数的因果性及稳定性分析（二）频率响应函数的因果性及稳定性分析 (n)h(n)零状态零状态FTH(e j)H(z)ZT 一般称一般

26、称H(e j)为系统的传输函数或频率响应函数，它为系统的传输函数或频率响应函数，它表征系统的频率特性。表征系统的频率特性。 H(z)的的ROC包含单位圆时，可以方包含单位圆时，可以方便的利用便的利用Z变换求得：变换求得：如果如果H(z)H(z)的的ROCROC包含包含单位圆单位圆|z|=1|z|=1：()( )jjz eH eH z(),( ), ( )jH eH z h n()()()jjjH eH ee相频特性相频特性幅频特性幅频特性Company Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 因果系统因果系统: : n0nRz|Rx-x- 稳定系统稳定系

27、统: : H(z)H(z)的收敛域必须包含单位圆的收敛域必须包含单位圆| |z|=1z|=1 因果且稳定的系统因果且稳定的系统: : H(z)H(z)的收敛域在的收敛域在某圆外某圆外、包含单位圆、包含单位圆| |z|=1z|=1及及 或者说极点全部在单位圆内或者说极点全部在单位圆内RezjImz1rCompany Logo第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析 例例 :已知已知 分析其因果性和稳定性分析其因果性和稳定性.211( ),01(1)(1)aH zaazaz因为因为H(z)H(z)的极点为的极点为z=az=a，z=a-1z=a-1，容易知道：，容易知道：(1)(1)收敛域收敛域a a-1-1|z| - |z| - 因果、不稳定因果、不稳定(2)(2)收敛域收敛域0|z|0|z|a - a - 非因果、不稳定系统非因果、不稳定系统(3)(3)收敛域收敛域a|z|aa|z|a-1-1 - - 非因果、稳定系统非因果、稳定系统 利用芯片寄存器或计算机的存储性利用芯片寄存器或计算机的存储性实现对理想的、非因果系统的逼近实现对理想的、非因果系统的逼近Company Logo第二章