Staged financing in venture capital moral hazard and risks翻译课件

1、风险投资中的分阶段投资：道德风险和风险Susheng Wang, Hailan Zhou摘要:本文研究分阶段投资所处的企业家面临着不完善的资本市场和投资者面临的道德风险和不确定性的环境。分阶段投资在这个模型中扮演两个角色：控制风险和减轻道德风险。 在使用参数化功能以及比较分阶段投资与前期融资后，我们发现了一些有关分阶段投资的有趣的特性。特别是，我们发现，当与一个分享的合同一起使用时，分阶段投资作为一个有效而充足的结构在代理问题中起到联系的作用关键词：分阶段投资；风险投资；道德风险；风险一、介绍分阶段投资已被广泛应用于风险投资，特别是在美国。分阶段投资能够被用于风险投资，以降低风险和控制道德风险

2、么？分阶段投资能够提高效率么？，特别是对非常有前途的企业。许多新的高科技产业创业公司的一个显著特点是收益的很大的不确定性所引出的高风险以及缺乏实质性的有形的资产和缺乏操作的跟踪记录。在他们开始看见收益之前，许多高科技初创企业可能需要面对多年的负收益。根据Bergemann and Hege (1998)的观点，这些投资者可以成功套现（大多数都是通过ipo）的项目的比例仅仅只有20%或者更少。鉴于这种情况，银行和其他中介机构都不愿意，甚至禁止把钱借给这些公司。此外，这些金融机构通常缺乏投资于年轻，高风险公司的专业知识。因此，这些创业公司往往通过以获得提供在股权合资的形式分享收入的方式来寻求风险投

3、资家参与活动，以此得到必要的资金，并从风险资本家的管理经验和金融经验中获益。风险资本融资的主要特点是分期投资的承诺和保存选项放弃该项目的权利。与在前期提供所有一切必要的资金，风险资本家往往分期投资以便于能更好的控制住该项目。阶段性的投资让风险资本家在他们做出再融资的决定之前监控公司。通过这样的监测而得到有关项目的可行性的信息有助于风险资本家将资金投入不良项目。它减少了因低效而导致的持续亏损，并为风险投资的提供了退出的这一选项。一个项目的风险越高，这个选项对于风险投资的价值也就越高。这种退出的选项和债务相似，因为他们都限制了潜在的金融损失。此外，通过监测和可信的状况变坏的终止，风险资本家还能更好

4、地控制潜在的道德风险。这也许会有一些代理成本产生在合资企业之中，如果现金流不是完全能被证实的，企业家可以适当投资。如果努力不是能被证实的，企业家可以推卸工作责任。此外，如果在持续项目中包含私人利益，创业者可能会让项目持续进行下去，即使它的预期利润是负面的。Gompers (1995)提供了一个有关当道德风险存在时影响分阶段投资的结构的因素的实证研究。他表示，在普遍存在道德风险的高风险融资公司中，分阶段投资可以让风险投资家，收集信息并监督项目的进展情况，同时保持退出的可能性。我们的论文是在最近的几篇论文的基础上去提供一个有关分阶段投资在风险投资中对控制风险和道德风险所起到的作用的正式的模型。我们

5、通过分析分阶段投资中的补足作用和签订合约的过程找到一个标准形式的解决方案。我们专注于新创公司中的有关道德风险和参与融资不确定性的问题。具体而言，我们认为被财政约束的企业家（EN）和有意投资的EN的项目的风险投资家（VC）。这个项目是有风险的，并且EN的努力是无法被衡量的。EN面对的是一个不完善的资本市场，VC是唯一的一个了解该计划的潜在的投资者（即VC知道输出的分布函数）.。VE提供了一个共享合同，并且在各个战略阶段为这个项目提供资金。使用参数函数，我们能够得出分阶段投资的一些有趣的特性。我们的研究结果清楚地表明，除了承包，分阶段投资是一种让风险投资家降低代理成本和控制风险的有效机制。与分阶段

6、投资的灵活性相比，很多在前期融资阶段被抛弃的项目变得有利可图。我们发现，分阶段投资效率接近第一往往是的极具潜力的公司。然而，分阶段投资并不总是在社会福利方面的融资中占据主导地位。当项目看起来并不是非常有前途的时候，分阶段投资不如前期融资。其原因是，当项目看起来不是很乐观时，VC并不愿意在项目的前期投入过多资金，这可能导致一个可行的项目失败，并导致社会福利的损失。最近有一篇相对较小的有关风险投资的文献，这篇文章强调了创业者的激励所起到的作用以及研究了创业融资如何减轻扭曲的激励作用。Sahlman (1990) 讨论了风险资本的各个方面，并强调了代理问题。Sahlman将重心放在了法律上的正式定义

7、，风险资本家之间的组织形式和关系以及投资者和企业家的关系。我们的理论发现与萨尔曼的看法相似，即分阶段投资是最有效的控制机制，风险资本家可以使用这个去处理代理问题。Admati and Perry (1991)考虑到一种情况，即强制执行的合同是不可能存在的，合同一被委托，投资就会被损失。在这样的情况下，分阶段投资被用作一种减少委托成本的方法。我们允许一个可执行的收入分享合同。由于公司的收入可在现实中审计，简单的收入分成合同通常被法律强制执行。Admati and Pfleiderer (1994) 认为稳定的合同在诱导投资者做出一个有关投资最佳的持续的决定。他们的合同中规定VC持有收益的固定比例

8、。在他们的模型中，第一次投资是外部给出的，第二次的投资则是内生的，在我们的模型之中 所有的投资都是从外部得到的，与之相对的是，这个阶段中的投资分配是内生的。第二个关键的区别是，在VC提供财务投资的同时，EN在我们的模型还提供了一个不可缺少的（非金融类）的努力，EN所扮演的这一角色并没有被Admati and Pfleiderer所考虑到。使用一个由风险经济公司所设定的独特的数据，Hellmann (1994) 风险投资家提供分阶段投资是为了规避风险，但在同一时间，分阶段投资触发了EN的短期行为。为了应对这种短期行为，风险投资家被分配了一个更大的份额，这激励他们监察EN 。我们发现在公平金融环境

9、中的分阶段投资能够达到最好的高风险投资。这表明分阶段投资造成的短期行为仅仅会导致轻微的后果。Gompers (1995) 提供了当代理和监督成本存在时有关风险资本的实证研究。他的实证研究结果与我们的理论中的代理成本和事后的再融资决策中的作用的预测相一致。Repullo and Suarezs (1998) 的最优契约类似于在双重道德风险和两阶段融资模式中的可转换优先股。在他们的模型，是由外生资金给定投资在各个时期的量，而我们解决内生跨期资金的优化配置。我们模型中的投资分配的内生作用在减轻道德风险中起到了至关重要的作用。Bergemann and Hege (1998) 强调企业通过分阶段投资的

10、而得到的真实潜能。他们的模型并未考虑到EN的努力，而考虑到了没被偷走的激励环境。在我们的模型中， EN的无法核实的努力起着至关重要的作用。Neher (1999) 在没有风险和代理问题的模型中研究分阶段投资对减轻EN的承诺问题的作用。通过分期投资，前几轮投资创建了抵押品，用来保护VC在未来重新谈判索赔的权利。为了补充Neher (1999)的观点，我们采用禁止重新谈判的方式忽视了承诺问题，相反，我们专注于风险项目中的代理问题。本文的内容如下。在下一节中，我们在充满不确定性和道德风险的环境中定义了风险资本模型。在第3节中，我们考虑了模型的几个变化，包括在分阶段投资和前期投资的在有或没有重新谈判机

11、会的情况下的次优解和最优解。在第4节中我们讨论了我们模型中分阶段投资的特点和属性。最后，我们在第5节总结全文。二、模型2.1项目考虑到依赖于风险投资（VC）的投资一个创新的企业家（EN），该项目持续两个时期。设x为EN的努力，则x在两个时期中都有变化。设k为VC在这两个时期中提供的一个总投资。EN的努力做出的损耗为c（x）。将EN在这两个时期的总努力x和VC在这两个时期中所投入的总资本带入进去运算，得到了一个想要的结果F(x,k)。这个输出结果具有随机性。设一个随机参数，使得输出结果为y=F（x，k）。在第一时期的初始阶段，VC知道的分配函数，这个函数L将在第二时期的初始阶段被实现和公开。在第

12、一个周期的开始阶段VC提供了一个总额为k1的借款，在第二周期的开始阶段的不确定性实现之后VC思考后提供了一个总额为k2的借款。为了在第二周期的结束阶段实现这个输出，必要的投资数额k必须等于k1+k2.。如果这个项目在中途被EN或是VC所抛弃。项目失败并且没有任何输出，初始投资k1也被丢失。EN在这个项目中是必不可少的。如果没有EN存在，这个项目不可能成功。在这个项目的结束阶段EN和VC根据现有的合同分享收益。2.2 合同在一个典型的代理模型中，我们假设只有输出是可以改变的。特别是EN的努力，x，是不可变的。VC的投资策略也是不可变的。后面的数据与VC在未来对于一个项目的放弃选择与否相一致。以此

13、我们有一个具有双重道德风险的模型。风险投资一般采取两种形式融资：股权融资或债权融资。因为如果项目失败，EN将没有钱还清债务，我们将只考虑股权融资。换句话说， VC提出的合同是一个在收入（/输出）方面的分成合同（S，1- S）。EN获得S的收益，而VC获得1-S的收益。考虑到EN的努力x和随机变量，VC策略性的分阶段提供分享合同和投资项目。变量S，X，k1和k2是由内源性的平衡来确定。正如我们稍后显示的，最优的股权的合同，在分阶段投资的帮助下，可以近似达到最佳的第一高潜力的企业。因此，对分享合同的限制意味着更小的效率损失，这可能是分享合同被普遍采用于风险资本融资的一个原因。伴随着一些信息变得可以

14、提供，比如变为确定的，双方可能要重新协商合同。我们会考虑允许和不允许事后重新谈判的两种情况。重新谈判可以保证事后效率，但它会导致事后机会主义行为，这可能会导致事前无效率。换句话说，这里存在着一种权衡取舍：没有重新协商可以导致事后效率低下，但重新协商可以导致事前低效率。经济主体在现实中有时会想方设法承诺没有重新谈判。例如，政府在许多情况下，制定法律，以防止重新谈判。经济主体也可以通过邀请第三方来执行不重新谈判的规则，尤其是在声誉非常重要的重复环境中。在我们的理论分析中，我们认为这两种情况都是同样重要的，因此将同时考虑这两种情况。2.3. 时机事件的定时示于图1：（1）在t =0时，VC提供了一个

15、分成合同（s，1-s）给EN。并且决定投资计划（K1，K2）。如果合同被接受，VC投资K1和EN做出x的努力并导致付出c（x）。（2）在t =1时，不确定性得以解决。VC开始考虑选择退出或者重新谈判的权利。如果项目不好，她将放弃该项目并不在投资k2。 如果项目表现平平，她会要求重新谈判一份新合同。如果项目好，她继续投资于该项目，并提供必要的投资k2。而EN，在另一方面，在我们的模型中永远也不想重新谈判，因为一旦项目开始，他的努力便投入进去了。（3）在t= 2时，该项目完成， VC和EN基于现有合同划分收益。2.4假设一个容易处理的模型中都需要一些假设，我们首先假设资本投资k是不整除的。这意味着

16、该项目需要的一个最小量的资金投入k。换句话说，k是给定的常数，并且该项目预计将在EN努力为x的情况下产生收益F（X，k）。当且仅当资本投资是大于或等于k时。风险资本融资更重视新产品的生存。为了开发这款新产品，需要一定量的资金，这是我们的常数k。然而，尽管k为固定的，VC可以将所需要的量分成两批，k1和k2，供给两个时期，而VC也可以通过不提供计划的第二批投资K2在事后做出放弃该项目的选项。虽然投资在这两个时段的分布并不直接影响输出，它可能会影响EN工作的热情，从而间接影响输出。该VC可以通过事后的投资受益于不确定性的解决。然而，事后的投资将强加给EN风险（从VC拥有的选择退出或重新谈判的权利中

17、得到），这可能会导致较低的努力。因此，VC需要选择投资的分布适当，以平衡与EN的工作激励和后期投资。假设有一个线性的生产函数f（x）=ax，输出为y= F（X）是随机的事前和观察到事后。为了有一个标准的解，我们也将使用下列具体参数函数：其中U0,2表示在区间0,2的均匀分布。这两个功能的形式是不是必需的，但它们会导致一种独特的标准的解决方案，这使我们能够在几个明确的结论，迅速到达。这里，<1表示输出的收缩, >1表示输出的扩展，并在我们的平衡的解决方案的费用伴随着趋向于无穷而快速收敛于零。最后，假设两个EN和VC是风险中性的收入。为简单起见，还假设不打折的时间偏好和跨期不加息。三、

18、风险资本融资我们检查模型在本节中的几种变化。前两个小节，我们不允许事后重新谈判。在第三小节，我们不允许分阶段投资；在这种情况下，重新协商是无所谓的。在最后的小节中，我们允许事后重新谈判。3.1 分阶段投资在这一部分中我们研究的分阶段投资没有重新谈判。在第二周期的开始阶段给出投资额k1，EN的努力水平x，和不确定变量。VC决定是否继续投资这个项目或者放弃它。因为EN总是倾向于继续投资，只有VC的再融资需要确定。使由VC的事后个人合理环境暗示。如果，VC将会提供再投资。否则VC将会停止投资。因此，为终止的阈值。一个更大的努力x，或者一个更小的分享s 和一个较大的前期投入k1都会导致门槛的降低。这意

19、味着再融资的机会会变得更多。考虑到事后终止的可能性。EN在这个项目中的预计收益为设是努力的空间， 是资本的空间。假设EN的预留的利润是零， VC的事前利润最大化的问题是也就是说， VC最大化她事前的利润受到她事后IR状况（）的影响。也就是受到EN的事前IR条件(Eq. (1a)，EN的激励相容(IC)条件(Eq.(1b)以及资本要求的条件(Eq. (1c)的影响。我们把这种情况下的解叫做第二最优解。注意，如果没有重新谈判， VC的事后利润可能不会最大化。这一限制消除了VC的事后机会主义行为，还避免了EN的事前激励反应。这个限制将在3.4节被应用。问题（1）被发现在下面具有唯一标准解。推导这个解

20、决方案的过程和所有其他的解决方案在附录A给出。解决方案1、在没有重新谈判的分阶段投资中，第二最优解为：3.2最优解现在我们假设EN的努力是可验证的。在没有道德风险和提供足够的诱因的情况下，VC可以在合同中确定努力程度，分阶段投资仅仅被用来控制风险，我们把这种情况下的解叫做第一最优解。忽略了第一个问题中的IC情况，VC的问题变成了问题（2）也找到了一个独特的标准解，该解在下。解决方案2.在没有重新投资的分阶段投资情况下，第一最优解为：在IR条件（2a）中，我们可以看到，VC可以通过较高的合同付款s或更高的初始投资k1使EN保持在项目中的兴趣。因此，第一最优解并不意味着VC应扣压所有的投资直到第二

21、个时期。备注1.我们还没有实行对最低的初始资本的要求，比如在我们的模型中给出一个。这不会影响我们的主要结论。例如，对于方案1 ，在最小初始资本要求条件下，我们需要这相当于对参数轻微限制备注2.我们都隐含的假定，对公司所有的投资都变成了企业特有的（物理）的资产。也就是说，我们假设当它在事后被抛弃时，该公司清算价值为零。如果我们假定为公司清算价值非零，解决方案将不会有太大变化。对于初期投资K1 ，假设企业可以进行清算事后的价值为k1（0<<1）。为了符合实际，我们假设VC获得的清算价值。然后，根据到事前的合同，当且仅当时，该公司将在事后被清算。因此，事前的期望效用值为我们发现，在这种情

22、况下，第二最优解和第一最优解与解1.2中的第二最优解和第一最优解相同。所不同的是，我们应该将最佳的第二周期的资本投资更换为和。 K2 *和K2 *的定义存在于解1和2的中（见附录A） 3.3前期融资在本节中，我们考虑VC需要在前期投入全部所需的资本k的情况。在这种情况下，VC失去退出选项。她只拥有在项目开始时是否资助的二元选择。这种努力是无法证实和共享的合同，是现在可以用来控制道德风险的唯一手段。通过降低在问题1中的资本要求的条件和VC的事后IR状态，VC的问题变为：问题（3）被发现在下面具有唯一标准解.解决方案3.在前期融资的情况下，第二最优解为：与分阶段投资不同， EN的前期融资IR情况不

23、具有约束力。EN能够在事前赚取盈余的一部分。VC不能剥夺所有剩余盈余的原因：是在前期融资的情况下，她只有一台工具，承包收入份额，以控制道德风险和降低风险。而分阶段投资，风险投资有两个手段，在t = 0时签订合同和在t = 1时融资收缩。分阶段投资给VC额外的力量，这使得她的征用所有事前盈余。3.4重新谈判在这一小节中，我们允许事后重新谈判的可能性。当不确定性消除后，该项目可能变成是坏的或平庸的，这样的话VC将不愿意根据现有的合同继续投资。然而，该项目可能仍然是可行的。在这种情况下， EN没有办法，只好重新谈判与VC签订新合同。我们假设VC具有控制权，这样她会从事后重新谈判中得到所有的效率增益。

24、在现实世界中，当项目结果是坏的，它将被放弃;当它真可谓是表现平平， VC将接管公司的控制权，她通常会炒掉EN ，并用市场上的职业经理人取代他。因此，我们的VC控制的假设是现实的，尽管如后来由备注3所指出的，这是没有必要的。具体地讲，有三种可能的情况：1、当时，该项目将继续进行不进行重新谈判。重新谈判不能增加事后的效率在这种情况下，因此，一方当事人将拒绝重新谈判。2、当时，该项目还在社会上可行，而VC需要一个新的合同继续融资。在这种情况下， VC必须提供额外的补偿，EN没有任何选择，只好屈服于VC的需求。因为具有控制权， VC接管公司，并捕获所有的效率增益ax-k2。3、当时，该项目不再是社会上

25、可行的，这将被终止。虽然重新谈判在前期不会对融资的影响，它通常对分阶段投资会产生影响。如后面所示，在我们的一些主要结论中。事后重新谈判的可能性，可以产生一个关键的区别。而其他人也没有这样做。随着重新谈判，分阶段投资中VC的第二最优解为：第二最优解和第一最优解被发现在下面具有唯一标准解.解决方案4，在有重新谈判的分阶段投资的情况下，第二最优解为：解决方案5：在有重新谈判的分阶段投资的情况下，第一最优解为：备注3.一旦在一个模型中重新协商被允许，事情可能会变得非常复杂。与事后的再谈判，平衡的解决方案可能取决于（事后）控制权的分配和（事后）议价能力的分布。什么是控制权的合理分配，还是应该考虑到控制权

26、的优化配置？幸运的是，在代理模式与收入风险中，由Wang (2002)展示的那样，控制权和议价能力是无关的，即控制权的分配和议价能力的分配不会影响事前的效率和最佳的投资/努力，因此，在我们的模型之中我们能有随意的把控制权分配给VC。而这也恰好是符合实际的。四、分析为了了解分阶段投资在缓解道德风险和分担风险的作用，我们考虑了五个不同的情况。他们的解决方案总结在表1中，其中，社会福利由限定。我们将使用SF ， UF ， SB和FB分别代表分阶段投资，前期融资，退而求其次，最好的。命题1（效率）。有或没有重新谈判，在分阶段投资中，当趋于无穷大时，解决方案接近最好。命题1表明，分阶段投资，再加上分成合

27、同，可以近似地实现最优解。这也许可以解释为什么很多合资企业使用股权共享的简单形式，由于合营企业在分阶段投资的帮助下可以达到最优。这也是我们局限于一个共享合同由于第一最好可近似得到即使合同本身可能不是最优的缘故。最优合同可能需要更复杂的形式，但，在分阶段投资的帮助下，我们效率的损失很小。三个社会福利曲线的比较示于图. 2.最上面一行是在分阶段投资情况下社会福利最好; 中间的线是分阶段投资情况下社会福利的第二最优的; 最下面的线就是社会福利在前期融资情况下的第二最优的。当迅速变大时，分阶段投资情况下的努力程度和福利趋向于最优解。直觉是明确的。系数衡量的道德风险问题的强弱，的值越高，意味着企业道德风

28、险越弱。这就解释了当趋近于无穷时，最优和次优的效率差异减轻。命题2（社会福利）。没有重新谈判的情况下，存在当且仅当时，有，当有重新谈判时对于任意有。图.3呈现不允许再谈判时，命题2的图解说明。这表明，当道德风险严重（用小表示前期融资是更好的。原因是，虽然VC喜欢分阶段投资，EN喜欢前期融资，在分阶段投资中EN的福利为零。但是在前期融资中，他觉又积极的福利和更多的热情。由此，可以存在在其中朝向EN和前期融资余额尖端变得更好的情况。 给出努力x，在没有重新谈判的分阶段投资和前期融资中，我们能得出，如果大于 VC更倾向于分阶段投资，但是如果变得更小且这种偏好减弱，直到EN偏爱前期融资有差别。另一方面

29、，事后再谈判给VC的一个额外的机制来控制道德风险。从节约一个平庸的项目，事后效率的提高， VC可以提供较高的占有率给EN吸引更多的努力。当道德风险问题严重（即很小）时，这种机制就显得尤为重要。在这种情况下它导致的事前效率的提高，使分阶段投资仍然比前期融资更好。命题3 （激励） 。无论有或没有重新谈判，在分阶段投资的努力水平douy比在前期融资高。三个努力程度的比较示于图.4。在分阶段投资中较高的努力程度可以很容易理解。前期融资涉及单一的道德风险，同时分阶段投资涉及双重道德风险。分阶段投资引入了VC可能放弃该项目的威胁，这导致了EN额外努力，试图提供VC与事后再融资奖励。换句话说，分阶段投资中部

30、分VC的道德风险会对EN的奖励产生额外影响，这导致较高的努力水平。命题4 （合同） 。如果没有重新谈判，在所有情况下的最优股票是相同的。以重新协商，对于EN来讲，第二最优的份额比第一最优的份额高。命题4表明，如果没有事后重新谈判的选项，则合同在控制道德风险，只是一个边缘的角色，因为合同是不是根据不同的情况进行调整的。因此，作为一种补充机制去合作，分阶段投资必须在控制道德风险至关重要的作用。这是对于VC犯下的第一最优下比第二最优少初始投资的事实做出进一步证实。更晚的投资规定EN产生付出更多的努力的压力。而另一方面，随着事后重新谈判的选项，因为VC是控制者，她愿意提供更高份额给EN ，诱使从EN付

31、出更多的努力。命题4能够从两个不同的机制进行成本效益分析来理解。VC使用分阶段投资和共享合同是有付出的。分阶段投资的成本是早期投资的风险；分享合同的成本为给以VC较低的份额。当采用分阶段投资的边际成本总是比使用共享合同的边际成本越低， VC将在很大程度上依赖于她的融资策略，并留下她的合同选项不变。只有当VC拥有重新谈判的选项时。使用合同选项也是如此。有趣的是，Sahlman (1990) ， Admati 和Pfleiderer (1994)的研究结果和我们的命题4一致。当主要风险投资家能得到更好的信息时，Admati and Pfleiderer (1994)得到健全的合同。他们证明，其中引

32、VC维护企业权益的恒定比例合同是融资的唯一形式，会导致稳健的可能结果的微小变化。Sahlman (1990)发现：控制风险最重要的机制是分期注入资本。除了上述特性外，分阶段投资还有几个更直观特性。首先，相比于分阶段投资的灵活性，VC通常会对一个项目产生更高的期望值。因此，那些在前期融资不盈利的项目可能在分阶段投资中变得有利可图其次，阀值在分阶段投资中会更高。换句话说，在项目的中间阶段，道德风险使得这个项目被放弃的可能性变得更高。第三，当较大时，由于激励问题变得不那么重要，EN的收入份额变得更小。最后，因为道德风险，VC是倾向于在早期提供较少的投资。需要后期投资强加给EN压力时， VC用她的投资

33、模式来控制道德风险。五、结束语分阶段投资是风险投资中广泛采用的形式。在企业家面临着不完善的资本市场和投资者面临的不确定性和道德风险的环境中，我们研究分阶段投资是如何 用于减轻道德风险和降低风险。在一定的假设，我们得到了一些独特的结果和分阶段投资的所扮演的角色，它可以提高我们对风险资本的认识。我们发现，分阶段投资可以实现高效率，特别是对非常有前途的企业。除了通过后期的投资降低风险，作为一种补充机制，分阶段投资也在控制道德风险至关重要的作用。特别是分阶段投资引起的企业家较高的努力。然而，对于前途不好的企业，前期融资可能是一个社会更好的选择，因为风险投资家前期的投资不足可能会矫枉过正一个可行的风险。而我们的论文是指风险投资，分阶段投资已用于许多不同的情形。例如，在R D中的连续投资，支付采购全部上演分期付款涉及分阶段投资在多个时段。我们的模式应该是很容易适用于涉及投资随着时间的推移这些情况。在现实中，一个风险投资的融资计划可能包括在复杂的环境中许多选项。控制变量可以包括的周期数，每个周期的持续时间，也可以是投入在每个周