函数的极限_实用教案

1、一、自变量趋于有限一、自变量趋于有限(yuxin)值值时函数的极限时函数的极限0)1(xx 0)2(xx0) 3(xx 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数(chngsh)A 则常数(chngsh)A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作 1. 函数(hnsh)极限的定义分析:当xx0时 f(x)A 当|x-x0|0时 |f(x)-A|0 当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e 0limxxf ( x) = A或f ( x) A (当x0 x) 第1页/共18页第一页，共

2、19页。定义定义(dngy)1 . 设函数设函数在点的某去心邻域(ln y)内有定义 ,当时, 有则称常数(chngsh) A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作几何解释几何解释:d0 xd0 xeAeAAx0 xy)(xfy =极限存在函数局部有界函数局部有界(P36定理2)这表明: 第2页/共18页第二页，共19页。注注1） 语言表述 d de e 2） 表示 时 有00 xx 00,xxxx )(xf3) e 任意任意(rny)给定后，才能找到给定后，才能找到d ， d 依赖于依赖于 e ，一般的，一般的e 越小，越小，d 越小越小.4) d 不唯一，也不必找最大的，只要(zhyo)

3、存在即可.,0e,0d当),(0dxx时, 有e Axf)(Axfxx=)(lim0)(0 xf无极限 与 有无定义没有关系.第3页/共18页第三页，共19页。例例1 1,lim0CCxx= =证明 (C为常数) 证证, 0 e e, 0 d d当当 时时,d d 00 xxAxf )(CC = =e0= =成立成立,例例2 2.lim00 xxxx= =证明证明证证,)(0 xxAxf = = , 0 e e,e ed d= =取取e ed d= = 00 xx当当 时时,0)(xxAxf = = e成立,第4页/共18页第四页，共19页。例例3. 证明证明(zhngmng)证证: :欲使取

4、则当时 , 必有因此(ync)只要(zhyo)1)12(lim1=xx第5页/共18页第五页，共19页。例例4. 证明证明(zhngmng)证证:Axf)(故,0e取当时 , 必有因此(ync)第6页/共18页第六页，共19页。例例4. 证明证明(zhngmng): 当当证证:欲使且而可用因此(ync)只要(zhyo)时故取则当d00 xx时,保证 .必有ox0 xx第7页/共18页第七页，共19页。 2. 单侧极限(jxin) 当 自 变 量 x 从 x 0 的 左 ( 或 右 ) 侧 趋 于 x 0 时 ， 函 数 ( h n s h ) f ( x ) 有 极限A，则称A为函数(hnsh

5、)f(x)当xx0时的左(右)极限，记作或00() ( ()f xAf xA=思考题: 写出左右极限的精确(jngqu)定义 3. 单侧极限和极限的关系 函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即= =Axfxx)(lim0Axfxf= = = = )0()0(00 第8页/共18页第八页，共19页。例例5. 设函数设函数(hnsh)讨论(toln) 时的极限(jxin)是否存在 . xyo11= xy11= xy解解:因为显然所以不存在 .第9页/共18页第九页，共19页。 4. 极限(jxin)的性质定理定理1 (函数函数(hnsh)极限的唯一性极限的唯一

6、性) 定理定理2 (函数函数(hnsh)极限的局部有界性极限的局部有界性) 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 定理定理3 (函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的定理定理4 4 (函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 xn是任一收敛于x0的数列 则函数值数列f(xn)必收敛 且 第10页/共18页第十页，共19页。证 因为,)(lim0Axfxx= =所以取, 1= =e e则, 0 d d当 时

7、,有d d 00 xx记, 1 = = AM则定理则定理2获得证明获得证明.,)(lim0Axfxx= =定理定理2 （函数极限的局部函数极限的局部有界性有界性）如果）如果 则则d d 00 xx存常数存常数M 0和和0, 使得当使得当 时时,有有|f(x)|M.返回第11页/共18页第十一页，共19页。,)(lim0Axfxx= =定理定理3 （函数极限的局部函数极限的局部保号性保号性）如果）如果 而而d d 00 xx且且A 0(或或A0, 使得当使得当 时时,有有f(x)0 (或或f(x)0.)某一去心邻域 ，当x 时，就有)(0 xU。2)(Axf )(0 xU。)0()(lim =

8、= AAxfn定理定理3 如果，那末就存在着x0的证: 就A0的情形(qng xing)证明.所以取, 02 = =Ae e则, 0 d d当 时,有d d 00 xx 推 论 如 果 ( r g u ) 在 x 0 的 某 一 去 心 邻 域 内 f ( x )0 ( 或 f ( x )0 )且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 返回第12页/共18页第十二页，共19页。二、自变量趋于无穷大时函数二、自变量趋于无穷大时函数(hnsh)的极限的极限 类似(li s)地可定义 如果当|x|无限增大(zn d)时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为e

9、0 X0 当|x|X时 有|f(x)A|e xlimf(x)=A 精确定义 结论 第13页/共18页第十三页，共19页。XXeAeAoxy)(xfy =A几何几何(j h)解释解释: e e 0, , X 0, ,当|x|X时 有|f(x) A|e e: :水平水平(shupng)(shupng)渐近线渐近线 水平水平(shupng)渐近线渐近线 如果如果xlimf( x) = c 则直线则直线y= c称为函数称为函数y= f ( x)的图形的的图形的 第14页/共18页第十四页，共19页。例例6. 6. 证明证明(zhngmng)(zhngmng)证证: :取因此(ync)注注: :就有故,0e欲使即oxy第15页/共18页第十五页，共19页。思考思考(sko)与练习与练习1. 若极限(jxin)存在(cnzi),2. 设函数且存在, 则是否一定有？第16页/共18页第十六页，共19页。 作业(zuy)：p-37 习题1-3 1(2)(4), 2(2), 6, 8 第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结一、自变量趋于有限(yuxin)值时函数的极限。当|x-x0|0时 |f(x)-A|0。当|x-x0|小于某一正数d后