结构力学超静定总论

1、基本解法的分类和比较基本解法的分类和比较基本解法的推广和联合应用基本解法的推广和联合应用混合法与近似法混合法与近似法超静定结构的特性超静定结构的特性关于计算简图的补充讨论关于计算简图的补充讨论第 十 四 章14-1 14-1 超静定结构解法的分类和比较超静定结构解法的分类和比较力法类型力法类型位移法类型位移法类型基本形式基本形式力法力法位移法位移法能量形式能量形式余能法余能法势能法势能法渐近形式渐近形式（渐近力法）（渐近力法）力矩分配法、无剪力分配法力矩分配法、无剪力分配法手手算算电算电算矩阵形式矩阵形式（矩阵力法）（矩阵力法）矩阵位移法矩阵位移法说明：说明：手算时，凡是多余约束多、结点位移少

2、的结构用位移法；手算时，凡是多余约束多、结点位移少的结构用位移法； 反之用力法。反之用力法。结构形式结构形式适宜的方法适宜的方法超静定桁架、超静定拱超静定桁架、超静定拱力法力法连续梁、无侧移刚架连续梁、无侧移刚架力矩分配法力矩分配法有侧移刚架有侧移刚架位移法无剪力分配法、联合法位移法无剪力分配法、联合法14-2 14-2 基本解法的推广和联合应用基本解法的推广和联合应用一、力法中采用超静定结构的基本体系一、力法中采用超静定结构的基本体系X1画画M1、MP有现成的公有现成的公式可用式可用二、位移法中采用复杂单元二、位移法中采用复杂单元 只需推倒复杂单元的刚度只需推倒复杂单元的刚度方程，整体分析按

3、常规步方程，整体分析按常规步骤进行。骤进行。变截面单元变截面单元变截面单元变截面单元单拱单拱单元单元三、几种方法的联合应用三、几种方法的联合应用（各取所长）（各取所长）4I4I5I3I3IABCDEF20kN/m4I4I5I3I3IABCDEF20kN/m4I4I5I3I3IABCDEF=1例题例题12-10 12-10 试用联合法求试用联合法求图示刚架的弯矩图。图示刚架的弯矩图。F1Pk11用力矩分配法，用力矩分配法，并求出并求出F1P、k1101111PFk再叠加再叠加M图图。例、联合应用力矩分配法与位移法求等截面连续梁结构的弯矩图。例、联合应用力矩分配法与位移法求等截面连续梁结构的弯矩图

4、。8m4m4m4m4m2mABECFDG20kN/m100kN20kN 分析分析 图示结构中图示结构中E E点处有竖向线位移，故不能直接应用力矩分点处有竖向线位移，故不能直接应用力矩分配法，可利用位移法与力矩分配法联合进行计算。配法，可利用位移法与力矩分配法联合进行计算。选选E E点竖向线位移为位移法基本未知量，点竖向线位移为位移法基本未知量，B B、C C点角位移用点角位移用力矩分配法计算。力矩分配法计算。解：解：（1 1）取）取E E点竖向线位移为位移法基本未知量点竖向线位移为位移法基本未知量kFP11110 典型方程为：典型方程为：（2 2）用力矩分配法求基本体系，在荷载作用下的弯矩图）

5、用力矩分配法求基本体系，在荷载作用下的弯矩图8m4m4m4m4m2mABECFDG20kN/m100kN20kN杆件相对线刚度iEIAB8iEIBE4iEIEC4iEICD8杆端分配系数BA25BE35CE23CD13固端弯矩MMqlABBA 212 2081210672.kN.mMPlmCD 3162 310081620130kN.mMDC20240kN.m23133525-106.7106.7-13040-42.68 -64.02-21.34-128.064.0-64.043.386.786.7-86.7401286486.773.3407535841.FPFP1377.kN.m（3 3）

6、用力矩分配法计算）用力矩分配法计算 时的弯矩图时的弯矩图11 时，梁端固端弯矩时，梁端固端弯矩：11MiliBE 334MiliCE33423133525-0.750.750.30.450.150.150.3-0.3-0.5-0.250.25-0.250.15i0.3i0.25i02758411.ikki1101375 .ABECFDG（4 4）代入典型方程得）代入典型方程得0137537701.i 12742 .i（5 5）求作连续梁弯矩图）求作连续梁弯矩图MMMP11169.118.318.340170.91601286486.773.3400.15i0.3i0.25i还有其它形式的联合应

7、用，如力法与位移法的联合，力法与还有其它形式的联合应用，如力法与位移法的联合，力法与力矩分配法的联合，力矩分配法与无剪力分配法的联合等。力矩分配法的联合，力矩分配法与无剪力分配法的联合等。X X1 1力法与力矩分配法的联合力法与力矩分配法的联合画画M可用力可用力矩分配法求矩分配法求画画MP可可用公式求用公式求力法与位移法的联合力法与位移法的联合 P P P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2对对称称反反对对称称对称问题按位对称问题按位移法或力矩分移法或力矩分配法计算，反配法计算，反对称问题按力对称问题按力法或无剪切分法或无剪切分配法计算。配法计算。14-3 14-3 混

8、合法混合法混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。两个多余两个多余未知力，未知力，五个结点五个结点位移。用位移。用力法作。力法作。六个多余六个多余未知力，未知力，两个结点两个结点位移。用位移。用位移法作。位移法作。合理的方法是混合法：合理的方法是混合法：基本未知量：基本未知量：X1 X234X2X134基本方程：变形条件、平衡条件。基本方程：变形条件、平衡条件。变形条件：变形条件：0024243232221211414313212111PPXXXX平衡条件：平衡条件：0, 00, 0DFDEDBDBDBCBABMMMMMMMMABCD

9、EF20kN/m4m4m8m4m4m 3m20kN/mX12例15-120kN/mX1=1M37160MP001212111BDBCBAPMMMX3 .1107327232643232353134005160411433316053122111P72112110.3X1+72+3400=016071XMBD,41422MBC,343422MBA7X1+42160=0 X1=30.32=12.55上部上部M图由叠图由叠加得到加得到, ,下部杆下部杆端弯矩由刚度端弯矩由刚度方程得到。方程得到。69.9150.21=37.65=12.55MAB=1.52MCD=0.52=18.83=6.2837.6

10、518.8312.556.28M图(kN.M)EI=3EI=1EI=3EI=1BACD14-4 14-4 近似法近似法一、分层法 （适用于竖向荷载作用）两个近似假设（适用于竖向荷载作用）两个近似假设 1 1）忽略侧移，）忽略侧移， 用力矩分配法计算。用力矩分配法计算。2 2）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架 分成一层一层地计算。分成一层一层地计算。除底层柱底外，其余各柱端是除底层柱底外，其余各柱端是弹性固定端。故将上层各柱的弹性固定端。故将上层各柱的i0.9,0.9,传递系数改为传递系数改为1/31/3。柱的弯矩为相邻两层叠加。

11、柱的弯矩为相邻两层叠加。刚结点上不平衡弯矩大时，刚结点上不平衡弯矩大时，可再进行一次力矩分配。可再进行一次力矩分配。h2/2h2/2二、反弯点法 （适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）（适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）PQ1Q2Q2h2/2khiQ212QQ1=k1，Q2=k2，PPkkQiii反弯点法（剪力分配法）的要点：反弯点法（剪力分配法）的要点：1 1）适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构（）适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构（ib3ic）；）；2 2）假设：横梁为刚性梁，结点无转角，只有侧移。假设：横梁为刚性梁，结点无转角，只有侧移。3）各层的总剪力按各柱侧移刚度成比例地分配到各柱

12、。）各层的总剪力按各柱侧移刚度成比例地分配到各柱。4）上层各柱的反弯点在柱中点处，底层柱的反弯点常）上层各柱的反弯点在柱中点处，底层柱的反弯点常 设在柱的设在柱的2/3高度处。高度处。5）柱端弯矩由柱的剪力和反弯点的位置确定。边跨结）柱端弯矩由柱的剪力和反弯点的位置确定。边跨结 点梁端弯矩由平衡条件确定，中间结点两侧梁端弯点梁端弯矩由平衡条件确定，中间结点两侧梁端弯 矩，按梁的转动刚度分配不平衡力矩得到。矩，按梁的转动刚度分配不平衡力矩得到。假设假设：横梁为刚性梁；：横梁为刚性梁；结点无转角。柱的反弯点在其中点。结点无转角。柱的反弯点在其中点。Q1+Q2=P12121515例例14-2 14-

13、2 用反弯点法计算图示结构用反弯点法计算图示结构, ,并画弯矩图并画弯矩图. .8kN17kN解解: :设柱的反弯点在中间设柱的反弯点在中间. .1)1)求求428. 02323,288. 02322EHIFGD4 . 03434, 3 . 03433EHCFAD顶层顶层: :底层底层: :1)求各柱剪力QGD=QIF=0.2888=2.29kNQHE=0.4288=3.42kNQAD=QCF=0.325=7.5kNQBE=0.425=10kN8kN17kN3.6m4.5m3.3m3.6mABCDEFGHI3.783.783.783.785.645.6413.513.513.513.51818

14、3.7817.28m=MEH+MEB=5.6418 =23.64MED=23.6412/27=10.51MEF=23.6417/27=13.13M图图(kN.m)14-5 超静定结构的特性 1 1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；必须考虑变形条件； 如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由计算。再由M=MiXi+MP 叠加内力图。如只考虑平衡条件画叠加内力图。如

15、只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，出单位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3 3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。据内力重新选择截

16、面。 另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。8m6m20kN/mI1I2I2I1=2I253.353.3106.720kN/mI1I2I2I1I20106.7020kN/mI1I2I2I1I2106.7106.753.320kN/mI1I2I2I1=1.5I2808080 一般情况下一般情况下, ,非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值成反比。成反比。 因此因此, ,为了提高结构对温度改变和支座移动等因素的抵抗为了提高结构对温度改变和支座移动等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸，不是明智的选择。能

17、力，增大结构截面尺寸，不是明智的选择。 工程实践应用： 1 1）设计结构要注意防止、消除或减轻自内力的影响。）设计结构要注意防止、消除或减轻自内力的影响。 （设置沉降缝、温度缝）（设置沉降缝、温度缝） 2 2）利用自内力来调节超静定结构的内力。（预应力结构）利用自内力来调节超静定结构的内力。（预应力结构）4 4、温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素对超、温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素对超静定结构会产生内力。静定结构会产生内力。( (自内力状态自内力状态) ) ijXi+iC+it=0 i=1，2，nij与各杆刚度成反比与各杆刚度成反比， iC与刚度无关与刚度无关， it由

18、下式计算由下式计算dsNtdsMhtit0l/2l/2Pl/4PPPPPl/4 5 5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。高的防御能力。6 6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。局部的内力幅值和位移幅值。PlP22)( lEIPcr 多余约束约束的存在，使结构的强度、刚度、稳定性都有所提高。=1=1/214-6 14-6 关于计算简图的进一步讨论关于计算简图的进一步讨论 (1)(1)取平面单元计算取平面单元计算 对于棱柱形结构（沿纵向横

19、截面不变）对于棱柱形结构（沿纵向横截面不变）和由一系列平面单元组成的结构，可取一平面单元计算。和由一系列平面单元组成的结构，可取一平面单元计算。(2)(2)沿横向和纵向分别按平面结构计算沿横向和纵向分别按平面结构计算纵纵向向刚刚架架横横向向刚刚架架柱柱平平面面布布置置1 1、结构体系的简化、结构体系的简化2 2、杆件的简化、杆件的简化一般原则：杆件简化为轴线，杆件之间的连接简化为结点，一般原则：杆件简化为轴线，杆件之间的连接简化为结点，杆长用结点间距表示，荷载作用在轴线上。杆长用结点间距表示，荷载作用在轴线上。补充：补充：1 1）以直杆代替微弯或微折的杆件。）以直杆代替微弯或微折的杆件。梁截面

20、形心不是直线，柱截面形心不是竖直线。梁截面形心不是直线，柱截面形心不是竖直线。按以上简图计算的内力是计算简图轴线上的内力。按以上简图计算的内力是计算简图轴线上的内力。h 柱高柱高l 跨度跨度lN 上下柱截面形心连线不是一条直线。在计算简图上用一条上下柱截面形心连线不是一条直线。在计算简图上用一条直线表示。如柱顶为刚结，取上柱轴线为柱的轴线，如柱顶为直线表示。如柱顶为刚结，取上柱轴线为柱的轴线，如柱顶为铰结，取下柱轴线为柱的轴线。铰结，取下柱轴线为柱的轴线。2 2）以实体杆件代替格构式杆件。）以实体杆件代替格构式杆件。实体梁代替屋架实体梁代替屋架屋架按桁架计算屋架按桁架计算3 3）杆件的刚度简化）杆件的刚度简化 如在计算刚架的位移时，忽略轴向变形的影响。如在计算刚架的位移时，忽略轴向变形的影响。 当刚架的横梁刚度远大于竖柱刚度且受水平荷载作用时，当刚架的横梁刚度远大于竖柱刚度且受水平荷载作用时，假设横梁刚度为无穷大。假设横梁刚度为无穷大。3 3、结点的简化、结点的简化常将结点简化铰结点、刚结点和组合结点。常将结点简化铰结点、刚结点和组合结点。确定结点简图时，首先要考虑