第7章 3曲线拟合讲义

1、7.3 曲线估计曲线估计即曲线拟合，恰当的曲线拟合方法可以准确而快速地反映出实际情况。在曲线估计中，一般首先绘制自变量和因变量间的散点图，然后通过数据在散点图中的分布特点选择所要进行回归分析的类型。确定函数关系后再进一步确定函数关系中的未知参数，并进行显著性检验。曲线估计可以拟合许多常用的曲线关系，当变量之间存在可以使用这些曲线描述的关系时，我们便可以使用曲线回归分析进行拟合。（一）曲线回归分析的基本原理曲线回归分析的基本任务是通过两个相关变量x与y的实际观测数据建立曲线回归方程，以揭示x与y间的曲线联系的形式。曲线回归分析最困难和首要的工作是确定因变量y与自变量x之间曲线关系的类型。通常通过

2、两个途径来确定：(1)利用有关专业知识，根据已知的理论规律和实践经验。例如，幂函数的形式能较好地表现生产函数；多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等；(2)若没有已知的理论规律和经验可利用，可在直角坐标系作散点图，观察实测点的分布趋势与哪一类已知函数曲线最接近，然后再选用该函数关系式来拟合数据。对于可直线化的曲线函数类型，曲线回归分析的基本过程是：先将x和（或）y进行变量转换，然后对新变量进行直线回归分析建立直线回归方程并进行显著性检验，最后将新变量还原为原变量，由新变量的直线回归方程得出原变量的曲线回归方程。还有一情况是找不到已知的函数曲线较接近数据的分布趋势，这时可利用多项式回

3、归，通过逐渐增加多项式的高次项来拟合，直到满意为止。在实际问题中，用户往往不能确定究竟该选择何种函数模型更接近样本数据，这时可以采用曲线估计的方法，其步骤如下： 1.根据实际问题本身特点，同时选择几种模型； 2.SPSS自动完成模型的参数估计，并显示R2、F检验值、相伴概率值等统计量； 3.选择具有R2统计量值最大的模型作为此问题的回归模型，并作一些预测。（二）曲线回归模型SPSS中的本质线性模型有：模型回归方程变换后的线性方程一元曲线（linear）二次曲线（Quadratic）复合曲线（Compound）增长曲线（Growth）对数曲线（Logarithmic）三次曲线（Cubic）S曲线

4、（S）指数曲线（Exponential）逆函数（Inverse）幂函数（Power）逻辑函数（Logistic）SPSS曲线估计中，首先，在不能明确究竟哪种模型更接近样本数据时，可在以上多种可选择的模型中，选择几种模型；然后由SPSS自动完成模型的参数估计，并输出回归方程的显著性检验F值和P值（Sig），判定系数等统计量。最后对模型进行取舍，选取最优的模型，并进行预测分析。 （三）选择最优化模型的标准:(1)分析各模型的F检验值,看各方程是否达到显著或极显著,剔除那些不显著的模型；(2)对表现为显著或极显著的模型,检查模型系数的 t 检验值,不显著的也予以剔除；(3)再列表比较模型的

5、决定系数R2值大小, R2值越大的,表示经该代换后,曲线关系越密切；(4)选取R2值最大的模型作为最优化模型。在这过程中,模型的R2值与模型系数t检验的计算,可借助计算机,这样可大大减少研究者的工作量,而且增加计算结果的准确性,提高最后选择的客观性。实例操作：用曲线估计研究某公司10年中的收入与支出之间的关系数据文件“公司收入与支出调查表”Nd表示年度，x表示总收入，y表示支出 单位为亿元Step1 【分析】【回归】【曲线估计】Step2 将y（支出）选入因变量中，x（收入）选入自变量中，勾选估计的曲线模型95%的置信区间输出结果与分析：选取R2值最大的模型作为最优化模型。由拟合图、表可以linear、cubic、Quadratic、compound、logistic和exponenbial几种曲线的拟合度较高。SPSS22.0操作界面：数据输入Step1 【分析】【回归】【曲线估计】Step2 将y（支出）选入因变量中，x（收入）选入自变量中，勾选估计的曲线模型输出结果与分析：