随机过程在金融中的应用10衍生产品的定价

1、第十章 衍生产品的定价 -偏微分方程偏微分方程 (PDE)第一节 无风险组合与偏微分方程 第二节 衍生产品期权的定价第一节第一节 无风险组合与偏微分方程无风险组合与偏微分方程一、无风险组合一、无风险组合衍生产品是以其它证券为基础签订的合同，此合同有一定的期限，用T来表示到期日，则衍生工具的价格 只取决于基础证券的价值 和时间T，即有TFtS()TTFF ST，即在到期日, 能确切的知道函数 的形式()TF ST，首页首页 如果知道基础证券的价值的运动规律 ，那么我们就可以用Ito定理来确定衍生产品的价格的变化 。这意味 和 都与基础证券的不确定性，即扰动项 有关，则这就使得在连续时间下构造无风

2、险组合成为可能。其中 分别是购买的衍生工具和基础证券的数量，其代表组合的权重。当其为常数时tdStdFtdStdFtdW假定将tP元投资于)(tSFt，和tS的组合1,2()tttPF S tS12, 12tttdPdFdS则有具体方法首页首页假定基础资产遵循随机方程模型用Ito定理得到衍生资产价格函数的偏微分方程首先，由市场参与者来决定组合的权重再连同 和 一起代入12, 12tttdPdFdS则有(, )(, )ttttdSa S t dtS t dW212tstssttsttdFF aFF dtFdWtdStdF若取112sF 212()ttsstdPFFdt上式没有扰动项， 完全可预见

3、，在任意时刻都是一个确定的增量，这也就意味着组合无风险。tdP表明首页首页由于无风险，为了避免套利，在相同的时间间隔 里，增量 一定等于无风险投资的收益。假定无风险收益为常数r，则以不支付红利的情况为例，则tdP当 不支付红利时，预期的资本收益一定等于tStrPdtdt当 每单位时间支付红利 时，预期的资本收益一定等于tStrPdtdt212ttsstrPdtFdtFdt即212ttsstrPFFtstPFF S又故212tsttssrS FFFrF偏微分方程首页首页 由于以S 作为基础产品的衍生产品有许多种，因而该方程就有许多不同解。要想解出某种特定的衍生产品，必须用到其边界条件。即一旦给出

4、S 和t 的边界值，则衍生产品的价值也就随之确定。,TTF STG ST这里)(G是一个关于tS，T的已知函数。边界条件 衍生产品的到期日是T，基础证券的价格与衍生证券的价格之间的关系在到期日是可明确确定的，即在到期日衍生产品的价格可由下式给出：又因为则称此式为偏微分方程的边界条件首页首页如欧式看涨期权 ，若执行价格为K，则边界条件为即表示：若到期时股票价格低于执行价格，即 ，则此看涨期权就不被执行，期权就是无价值的。否则期权价值等于股票价格与执行价格之差。,max,0TTF STSK0TSK当 时tT同样，对欧式看跌期权 ，则边界条件为,max,0TTF STKS当 时tT首页首页二、偏微分

5、方程的二、偏微分方程的一般形式一般形式形如边界条件为01230stssa Fa SFa Fa F,TTF STG ST即为衍生产品的偏微分方程的一般形式。说明1为得出衍生工具的无套利价格，需构造无风险组合，由此方法导出偏微分方程。另外，边界条件和偏微分方程都受相关衍生产品的影响。其中，一般变量为S，G（）是一个已知函数。首页首页说明2这种方法的核心即解一个偏微分方程。即求函数 ，对其求不同的偏导数, 代入方程使其成立。同样，当 ,函数F一定等于已知函数G-必需满足的边界条件。()tF St，tT 在金融领域中边界条件代表各种衍生产品的约束条款。从现有的金融产品和问题来看，边界条件是变化的。最明

6、显的边界价值是衍生合同最初和最终的价值。通常，由金融理论得出一些衍生合同的价格是基础证券到期日价值的函数，它可作为必须满足的边界条件。首页首页三、二阶偏微分方程的类型三、二阶偏微分方程的类型对二阶偏微分方程：对二阶偏微分方程：0123450tsssttstaa Fa Fa Fa Fa F若253440aa a则称其为椭圆型偏微分方程若253440aa a则称其为抛物线型偏微分方程若253440aa a则称其为双曲线型偏微分方程首页首页例例衍生产品的偏微分方程：衍生产品的偏微分方程：01230stssa Fa SFa Fa F由于40a 50a 253440aa a满足因此它是抛物线型的偏微分方

7、程。返回首页首页第二节 衍生产品期权的定价 （补充内容）若假设基础资产为股票，即股票的价格变化遵循微分方程2212sttssrSFFS FrF此式即为著名的dSSdtSdW则在第一节推出的偏微分方程，将变成布莱克-斯科尔斯方程一、布莱克-斯科尔斯方程首页首页例1 设有某种不支付股息的股票的远期合约，其价值F与股票S的关系为：则价值F满足布莱克-斯科尔斯方程。解()r T tFSKe（K为交割价格）因为()r TtFrKedt 1FdS220FS2212sttssrSFFS F则有()r T trSrKerF即满足布莱克-斯科尔斯方程。首页首页函数 即为布莱克-斯科尔斯方程的解。说明()r T

8、tFSKe因此，可用偏微分方程来求出衍生产品的价格。二、定价公式 在风险中立化条件下，欧式看涨期权的期望价值为 布莱克-斯科尔斯微分方程，解决了欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价问题。max(,0)TESK其中 表示远期合约到期时间T时的股票价格， K表示交割价格。TS首页首页 根据风险中立化原理，欧式看涨期权的价格c 就是将此期望值按无风险利率进行贴现后的值，即()max(,0)r T tTceESK又在风险中立化条件下， 的概率分布满足TS2lnln()(),2TSSrTtTt利用期望的积分定义，可估算出c的值为()12()()r TtcSN dKeN d其中21ln(/)(/ 2)()SK

9、rTtdTt首页首页表示变量的期望值 表示期权被执行的概率N（X）是均值为0，标准差为1的累积正态分布函数22ln(/)(/ 2)()SKrTtdTt1dTt注价格c的公式可改写为()()12()()r Ttr TtceSN deKN d其中2()N d2()KN d表示期权协定价格与协定价格将会被执行的概率的积()1()r TtSN de为TSKTSK为 0TS当首页首页同样欧式看跌期权的价格公式为()21()()r TtpKeNdSNd说明当股票价格S变得非常大， 和 都会随之增大， 和 都趋于1，则欧式看涨期权的价值 1d2d1()N d2()N d()r TtcSKe当股票价格S变得非

10、常大， 和 都趋于0，则看跌期权的价值 0。1()Nd2()Nd首页首页三、累积正态分布函数利用定价公式，需要计算累积正态分布函数( )N x下面给出多项式的近似计算方法：231231( )()0( )1()0Nxa Ma Ma MxN xNxx 其中11Mx0.3326710.4361836a 20.1201676a 30.9372980a 221( )2xNxe首页首页按此公式可以求出累积正态分布函数 的值，并且通常可以精确到小数点四位数，其误差也总是在0.0002的范围之内。例2( )N x 假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，此时股票价格为42美元，股票期权的协定价格是40美元，无风险利率是10%，每年的易变性是20%。求欧式看涨期权 和看跌期权的价值 。解由于42S 40K 0.1r 0.20.5Tt因此1ln1.050.120.50.76930.20.5d首页首页2ln1.050.080.50.62780.20.5d()0.054038.049r TtKee故欧式看涨期权的价值为()12()()r TtcSN dKeN d42(0.7693)38.049(0.6278)NN欧式看跌期权的价值为()21()()r TtpKeNdSNd38.049( 0.6278)42( 0.7693)NN首页