hmw几何概型1

1、模拟方法 概率的应用一一问题问题1 1：如图所示在边长为：如图所示在边长为a a的正方形内有一个不规则的阴的正方形内有一个不规则的阴影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？问题问题2:一个人上班的时间可以是一个人上班的时间可以是8:009:00之间的任一时刻，那么他之间的任一时刻，那么他在在8:30之前到达的概率是多大呢？之前到达的概率是多大呢？问题问题3:已知在边长为已知在边长为a的正方形内有的正方形内有一个半为一个半为0.5圆。向正方形内随机地圆。向正方形内随机地投石头，那么石头落在圆内的概率投石头，那么石头落在圆内的概率是多大呢？是多大呢？带着上述的问

2、题，我们开始学习新带着上述的问题，我们开始学习新的内容的内容模拟方法与概率的应用模拟方法与概率的应用问题情境：问题问题4 4：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为外向内为黑色、黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色白色、蓝色、红色，靶心为黄色, ,靶面直径为靶面直径为122cm，靶心直径为，靶心直径为12.2cm，运动员，运动员在在70m外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？多大？122cm（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的

3、基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本射中靶面上每一点都是一个基本事件事件, ,这一点可以是靶面直径为这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点的大圆内的任意一点. .（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？问题问题5:5:取一根长度为取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概的概率有多大？率有多大？3m（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？（2 2）每个基本事件的发生是等可能

4、的）每个基本事件的发生是等可能的吗？吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件从每一个位置剪断都是一个基本事件, ,剪断位置可以是长度为剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意的绳子上的任意一点一点. .（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件微生物出现的每一个位置都是一个基本事件, ,微微生物生物出现位置可以是出现位置可以是1 1升水中的任意一点升水中的任意一点. .l上面三个随机试验有什么

5、共同特点？ 对于一个随机试验对于一个随机试验, ,如果将每个基本事件理解为如果将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域从某个特定的几何区域D D内随机地投一点内随机地投一点, ,该点落该点落在区域在区域D D中每一个点的机会都一样中每一个点的机会都一样; ;而一个随机事而一个随机事件件A A的发生则理解为恰好落到区域的发生则理解为恰好落到区域D D内的某个指定内的某个指定区域区域P P中中. .这里的区域这里的区域D D可以是可以是平面图形平面图形, ,线段线段, , 立立体图形等体图形等. .用这种方法处理随机试验用这种方法处理随机试验, ,称为称为几何概几何概型型. .数学理论： 将古典概

6、型中的将古典概型中的基本事件的基本事件的有限性推广到无限性，有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型而保留等可能性，就得到几何概型古典概型的本质特征：古典概型的本质特征：1、基本事件的个数有限，、基本事件的个数有限，2、每一个基本事件都是等可能发生的、每一个基本事件都是等可能发生的几何概型的特点几何概型的特点：（1）试验的所有可能出现的结果有无限多个（2）每个试验结果的发生是等可能的古典概型与几何概型之间的联系古典概型与几何概型之间的联系:试验试验1 1：取一个矩形，在面积为四分之：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影，随机地向矩形中一的部分画上阴影，随机地向矩形中撒一把撒一把

7、芝麻芝麻（以数（以数100粒为例），粒为例），假设假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等置的可能性大小相等. .统计落在阴影内统计落在阴影内的的芝麻芝麻数与落在矩形内的总数与落在矩形内的总芝麻芝麻数，数，观察它们有怎样的比例关系？观察它们有怎样的比例关系？ A落在区域落在区域A A内的芝麻数内的芝麻数落在正方形内的芝麻数落在正方形内的芝麻数区域区域A A的面积的面积正方形的面积正方形的面积一般地一般地,在向几何区域在向几何区域D中随机地投一点中随机地投一点,记事件记事件A为为“该点该点落在其内部一个区域落在其内部一个区域d内内”,则事件则事件A发

8、生的概率为发生的概率为:区域区域D D的面积的面积( (长度或体积长度或体积) )P(A)=区域区域d d的面积的面积( (长度或体积长度或体积) )例例1 1 某人午觉醒来，发现表停了，他打某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于时间不多于1010分钟的概率。分钟的概率。解：设解：设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟 ，事件，事件A A恰恰好是打开收音机的时刻位于好是打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内时间段内，因此由几何概型的求概率公式得，因此由几何概型的求概率公式得P P（A A）= =（

9、60-5060-50）/60=1/6/60=1/6“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/61/6例题讲解：长度比长度比例例2在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，在斜边中，在斜边AB上任上任取一点取一点M，求，求AM小于小于AC的概率的概率CACBM解：解： 在在AB上截取上截取ACAC， 故故AMAC的概率等于的概率等于AMAC的概率的概率记事件A为“AM小于AC”，222)(ACACABCAABACAP答：答：AMAC的概率等于的概率等于22结论结论( )试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度构成事件构

10、成事件A A的区域长度的区域长度AP长度比长度比角度比而非长度比角度比而非长度比例例3 3、小明家的晚报在下午、小明家的晚报在下午5 5：30306 6：3030之间的任之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6 6：00007 7：0000之间的任何一个时间随机地开始晚餐。之间的任何一个时间随机地开始晚餐。（1 1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？开始之后被送到哪一种可能性更大？晚报晚报6 6：30306:156:156：156:006：005:455:455:307

11、:006:456：456:306：306:156:156:00晚餐思路一：我们用模拟方思路一：我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开法来估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率始之前被送到的概率: : 用两个转盘来模拟用两个转盘来模拟上述过程，一个转盘上述过程，一个转盘用于模拟晚报的送达，用于模拟晚报的送达，另一个转盘用于模拟晚另一个转盘用于模拟晚餐，两个转盘各转动一餐，两个转盘各转动一次并记录下结果就完成次并记录下结果就完成一次模拟。一次模拟。 费时费力费时费力OXY675.565G思路二：在平面上如图所示建立坐标系，图思路二：在平面上如图所示建立坐标系，图中直线中直线x x6 6，x x7 7，y y

12、5.55.5，y y6.56.5围成一围成一个正方形区域，设晚餐在个正方形区域，设晚餐在x x时开始，晚报在时开始，晚报在y y时被送到，时被送到，两个数面积比两个数面积比例例4. 有一杯有一杯1升的水，其中含有升的水，其中含有1个细菌，用一个个细菌，用一个小杯从这杯水中取出小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个升，求小杯水中含有这个细菌的概率细菌的概率.分析：细菌在这升水中的分布分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得可以看作是随机的，取得0.10.1升水可作为事件的区域。升水可作为事件的区域。解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则 ( )1 . 011 . 0

13、杯中所有水的体积取出水的体积AP结论( )试验的所有可能出现的结果所构成的区域体积试验的所有可能出现的结果所构成的区域体积构成事件构成事件A A的区域体积的区域体积AP体积比体积比1.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。可能发生的概率类型。2.2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目的题目, ,几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . 3.3.注意理解几何概型与古典概型的区别。注意理解几何概型与古典概型的区别。4.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，理解如何将实际问题

14、转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。利用几何概型公式求解。( )AP A 构成事件 的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）课堂小结课堂小结用模拟方法估计圆周率的值yx01-11-1基本思想: 先作出圆的外切正方形,再向正方形中随机地撒芝麻,数出落在圆内的芝麻数和落在正方形中的芝麻数,用芝麻落在圆内的频率来估计圆与正方形的面积比,由此得出 的近似值.正方形的面积=落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数 圆的面积4问题：如果正方形面积不变，但形状改变，所得的比例发生变化吗？每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（面积或体积）成比例，与图形的形状无关。我国古代数学家

15、祖冲之早在1500多年前就算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这是我国古代数学家的一大成就，请问你知道祖冲之是怎样算出的近似值的吗？问题问题1 1：如图所示在边长为：如图所示在边长为a a的正方形内有一个不规则的阴的正方形内有一个不规则的阴影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？问题问题2:一个人上班的时间可以是一个人上班的时间可以是8:009:00之间的任一时刻，那么他之间的任一时刻，那么他在在8:30之前到达的概率是多大呢？之前到达的概率是多大呢？问题问题3:已知在边长为已知在边长为a的正方形内有的正方形内有一个半为一个半为0.5

16、圆。向正方形内随机地圆。向正方形内随机地投石头，那么石头落在圆内的概率投石头，那么石头落在圆内的概率是多大呢？是多大呢？带着上述的问题，我们开始学习新带着上述的问题，我们开始学习新的内容的内容模拟方法与概率的应用模拟方法与概率的应用一个路口的红绿灯，红灯的时间为一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，秒，黄灯的时间为黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为秒，绿灯的时间为40秒。当秒。当你到达路口时，看见下列三种情况的你到达路口时，看见下列三种情况的 概率概率各是多少？各是多少？（1）红灯；（）红灯；（2）黄灯；（）黄灯；（3）不是红灯。）不是红灯。1 1在在500ml的水中有一个草履虫，的水中有一个草履

17、虫，现从中随机取出现从中随机取出2ml水样放到显微镜水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是下观察，则发现草履虫的概率是（ ）A0.5 B0.4 C0.004 D不能确定不能确定练习练习3.取一根长为取一根长为3米的绳子米的绳子,拉直后在拉直后在任意位置剪断任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少那么剪得两段的长都不少于于1米的概率有多大米的概率有多大?解：如上图，记解：如上图，记“剪得两段绳子长都不剪得两段绳子长都不小于小于1m”为事件为事件A，把绳子三等分，于，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子发生。由于中间

18、一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件长的三分之一，所以事件A发生的概率发生的概率P（A）=1/3。3m1m1m 射箭比赛的箭靶是涂有五射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环个彩色的分环. .从外向内为从外向内为白色、黑色、蓝色、红色白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，靶心是金色, ,金色靶心叫金色靶心叫“黄心黄心”。奥运会的比赛。奥运会的比赛靶面直径为靶面直径为122cm,122cm,靶心直靶心直径为径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭, ,假设每箭都能中靶假设每箭都能中靶, ,那么射中黄心的概率是多那么射中黄心的概率是多少少? ?图图3.3-2练习练习1：公共汽车在：公共汽车在05分钟内随机地到达分钟内随机地到达车站，求汽车在车站，求汽车在13分钟之间到达的概率。分钟之间到达的概率。分析分析：将：将05分钟这段时间看作是一段长度为分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则个单位长度的线段，则13分钟是这一线段中分钟是这一线段中的的2个单位长度。个单位长度。解：设解：设“汽车在汽车在13分钟之间到达分钟之间到达”为事件为事件A，则，则52513)( AP所以所以“汽车在汽车在13分钟之间到达分钟之间到达”的概率的概率为为5